А.С. Давыдов - Квантовая механика (1120560), страница 48
Текст из файла (страница 48)
е. сумму дкагояалькых элемектов от обеим частей получеккоге равекства между матркцамя, в учктьаа)г, что Бр (т!ул) О, квходяы зр (8т8) - А,„ Теперь кз условкя Зр (8~8) ) О кепосредствеяяо следует, что Х 1 длэ преобраэоваквй, ке меяяющях зяака времени (ам ) 0), я А = — 1 для преобразоваякй, мекяющях эязк времеяя (ам ч.. 6). Итак, -! 8Ф (61,19) — 8 г, есзя а!4(П Перейдем от равенства (61,15) к эрмитово сопряженному (Ч )т-Ч "8'..
280 .КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ 1гл. ши После умножения полученного соотношения справа на у„используя определение (61,5), имеем' 1 = Чгу43 уе Ф Из этого соотношения и (61,19) сразу получаем ( Ч"Я ', если аи>0; ~ — Ч"3, если аи ( О. Матрица преобразования 3 действует только на спияовые переменные функции Чг согласно правилу (61,15), которое в более подробной записи имеет вид Ч';(х')<= Х Я„ВЧгз (х) = ).", Я,ВЧг(а-!х'). (61,20) з В Правила преобразования координатной функции при преобразованиях координат были рассмотрены в 2 43. Так, например, при вращении системы координатных осей на угол В вокруг направления единичного вектора а, преобразование координатной функции определяется оператором момента количества движения Х., коммутирующим с матрнцей 3: 1'(г', 1) = Охра — „~1(г',.1).
Поскольку правая и левая части этого равенства относятся к одинаковым независимым переменным, то знак штрих можно опустить. Итак, при вращении координатных осей полная функция Ч' преобразуется по закону '~(*~- г(' 1'(змч~~). Матрица 3(~р) будет определена ниже (см. 61,26)). При любом ортогональном преобразовании (61,8) можно найти матрицу 3 преобразования спиновых волновых функций уравнения Дирака, удовлетворяющую соотношениям (61,16). Существование такой матрицы следует уже из того факта, что четырехмерные матрицы у„образуют неприводимую группу. Существование матрицы Я может быть также доказано и непосредственно путем явного построения матрицы 3 для пространственных отражений, вращений в трехмерном пространстве и перемещений, поскольку из этих элементарных преобразований можно построить любое другое конечное преобразование.
Рассмотрим, например, преобразование, соответствующее пространственной инверсии. Умножая равенство (61,16) слева па 3, приведем его к виду у.Я= Х ~„;Яу,. $ АП КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 28] Теперь, используя вид коэффициентов преобразования (61,9), имеем ЪЗ= — ~у ° ут9= — Зу, уз8= — Бум у48= Зу Полученные соотношения удовлетворяются, если о' = Хуь где Х вЂ” коммутирующий со всеми матрицами у„множитель, модуль которого равен единице, Явный вид этого мйожителя будет определен ниже. Определим внд оператора 8 для 'непрерывного преобразования пространственно-временных координат. Любое непрерывное преобразование получается путем последовательного применения бесконечно малых преобразований.
Поэтому достаточно определить вид матрицы 3 для бесконечно малых преобразований. Бесконечнр малые ортогональные преобразования (61,8) осуществляются матрицей пРУ 1]РР + ВРУ (61,21) где е„т — бесконечно малый тензор второго ранга. Чтобы преобразование (61,21) сохраняло длину 4-вектора„ необходимо выполнение равенства д„= ~~.", аА„аь =д„„+(е„„+е )+ ... Следовательно, бесконечно малый тензор второго ранга в (61,21) должен быть антисимметричным. Из (61,11), например, следует, что преобразованию Лоренца при бесконечно малом значении Х= 1- 'соответствует С 0 0 0 0 0 0 0 ВРУ О О О О э Х (61,22) — Х' 0 0 0 Вращению вокруг оси з на бесконечно малый угол Ьр, согласно (61,12), соответствует 0 дч 00 — д]р 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 0 (61,23) При бесконечно малом преобразовании х'„= Д (д„+ е„) х, матрица о будет отличаться от единичной матрицы бесконечно КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАИТОВАЯ ТЕОРИЯ (гл.
Тиь малой добавкой,.пропорциональной е„„ т. е. +2Х ""' или более подробно ~ «=й«в+ 2 Хаев ° Иоэтому равенство (61,20) можно записать в.внде ч'.~ч=т~ь +дс~, )ч,<ь '*). В~ ич Для вычисления явного вида генератора преобразования — С~в ! ч 2 можно использовать равенство (61,16), которое при условии (61,21) сводится к уравнению 2 ~~~~ (у„С вЂ” С" у„) евч — — ~~ езчтч. Ач ч Проведя преобразование ! ът евч'уч= 71 ех бхвуч= 2,Д~ ехч (бхвуч — АРТА) ч хч хч можно представить предыдущее уравнение в виде Х(у„с"' — С"у„— б,„у„+б у) „=0.
Ач ! Последнее уравнение удовлетворяетея, если С = — уху„.. Таким образом, матрица преобразования' дираковских функций при бесконечно малом преобразовании пространственно-временных координат определяется соотношением + 4'Хдвчтвтч (61,24) Рч ! (61,25) Прн ПрОСтраНСтВЕННЫХ ВращЕНИяХ тнуч !ПА Гдс р, т, Х вЂ” цнК- лические индексы, пробегающие значения 1, 2, 3. В частности, при вращении вокруг оси 3 на бесконечно малый угол Йр, значения е „определяются матрицей (61,23) и ун!з = (ом следовательно, ~з(йу)=.(1+ 2 б уо,~. Заменяя в (61,23) индекс 3 на 1 и 2, получим операторы бесконечно малых поворотов соответственно вокруг осей 1 и 2.
Последовательно применяя оператор бесконечно малого поворота во- й ац коВАРиАитнАя зАпись инлвнеиия диРАкА 263' круг оси 1, можно определить оператор конечного поворота нв угол ф Зфр) = ехр( — о(ф), (61,26) й Учитывая, что — и является оператором момента количества движе-. 2 ния частицы со олином '/з, можно найти связь матрицы вращения )6(,26) с введенными в 6 йз,обобщенными сферическнмв функциями б~~' (й), определяющими 'преебразованне спиновых волновых функций куж при по- вороте ин угол Р вокруг оси р. Согласно (43ДЭ), можно написать й < ) ~ 8 — и д'*л(Р) ~0'„'е(0, Р,О)'=( — й1а ~ — т), где й, щ='4 — 'гз.
Для вычисления матричных клементов проведем преобразоваииег - (-'. )-Х вЂ” '(('2-.)'-1'-26)'+ )+ (Р ( (Р)з ) Р Р +(оа~ — — — ~ — ) + ...г соз — +(оиз!ив (2 31 (2г' " ) 2; 2.г УО Используя явный вид матрицы оа — — ~ . ), находим окончательно матрицу 0/' р соз — — зш— и'(Р)-(4*. (Р))- 5! и — соз— 2 2 Интересной особенностью матрицы преобразования (61,26) является то, что при полном повороте (ф = 2и) эта матрица не возвращается к своему первоначальному зная)ению, а переходит в — /, т. е. 8) (О) = 1, 3~ (2и) = — г.
Выше было показано, что при пространственном отражении (Р) преобразование функции, удовлетворяющей уравнению Ди- рака, определяется матрицей ЗР= Лум где ! Л)= 1. Двукратное отражение можно рассматривать как тождественное преобразование и как поворот на угол 2и. Последнее, как мы видели, 'приводит к изменению знака функции; поэтому дву- кратному отражению может соответствовать оператор Я~=Лаут=Лх=.ь 1, ч Следовательно, число Л может равняться четырем значениям Л=(, — 1, 1, — !. [Гл. Рш КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ Возможные значения Х определяют так называемые внутренние свойства частиц (их внутреннюю четность), описываемых функциями Чг.
Принято говорить, что функции Чг (спинорные поля) могут принадлежать к четырем классам: А, В, С или Р, соответственно значениям Х = г, — 1, 1, — 1, определяющим закон преобразования волновых функций при пространственном отражении. Функцию, преобразующуюся по закону РЧг Ч~" = = 1у,Ч", иногда называют полярным спинорным полем, а остальные — псеедоспинорными полями. В настоящее время нет возможности установить, к какому из этих классов относятся наблюдаемые в природе спинорные поля (см. $66). Используя (61,!5), (61,16) и (61,17), легко установить свойства преобразований некоторых билинейных выражений, составленных из функций Дирака.
Так, например, из (61,15) и (61,17) следует, что при ортогональных преобразованиях Ф'%" = Ч'З 'БЧ.'= ЧгЧ". Следовательно, величина С-ЧРЧ =Ч"у,Ч является скаляром. Из равенств (61,7) и (61,7а) следует, что $I„= 1Чгу„чг является 4-вектором, т. е. величиной, четыре компоненты которой преобразуются как координаты х„. В этом можно убедиться и непосредственно, если использовать (61,!5), (61,16) и (61,17), так как я 'ЬЧ =Ч'о уэо =ХазчЧгуч Таким же образом можно показать, что величины ЧгуэучЧг преОбраэуются как произведения двух координат, т.
е. являются компонентами тензора второго ранга. Как известно, любой тензор аса второго ранга можно представить в виде суммы симметричного '/э(ачА'+ аы) и антисимметричного тензора '/э(ачА — аы). Пользуясь (61,2)„легко показать, что симметричная часть тензора второго ранга ЧгуиучЧТ сводится к скаляру ~ Ч7(УРУч+ У„УВ) Ч7= '~ТРЬ„ч. Величина 7 Рч э ч (УР чч УчУР) является антисимметричным тензором второго ранга (с шестью независимыми компонентами).
Мнпжитель 1 перед этим выра- ковхгихнтнхя злпись тглвнвння дигхкх зев жением выбирается для того, чтобы пространственные компоненты тензорз- были действительны. Величины Чту„у~улЧ" преобразуются как компоненты тензора третьего ранга. Симметричные по любым двум индексам компоненты этого тензора сводятся к тензору первого ранга. Антисимметричный относительно перестановки любых двух индексов тензор третьего ранга сводится к аксиальному вектору (четыре компоненты). Произведение всех четырех матриц у„часто используется в теории, поэтому вводится специальное обозначение Тз = бутузу» Из эрмитевости матриц у„(р = 1, 2, 3, 4) и соотношений (61,2) следует, что матрица уз является эрмитовой матрицей уя (у!узузу4) Юзузу! у!утузу4 у5' Матрица уз антикоммутирует со всеми четырьмя матрицами у„, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
