Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.С. Давыдов - Квантовая механика

А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 48

DJVU-файл А.С. Давыдов - Квантовая механика, страница 48 Физика (2684): Книга - 4 семестрА.С. Давыдов - Квантовая механика: Физика - DJVU, страница 48 (2684) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.С. Давыдов - Квантовая механика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 48 - страница

е. сумму дкагояалькых элемектов от обеим частей получеккоге равекства между матркцамя, в учктьаа)г, что Бр (т!ул) О, квходяы зр (8т8) - А,„ Теперь кз условкя Зр (8~8) ) О кепосредствеяяо следует, что Х 1 длэ преобраэоваквй, ке меяяющях зяака времени (ам ) 0), я А = — 1 для преобразоваякй, мекяющях эязк времеяя (ам ч.. 6). Итак, -! 8Ф (61,19) — 8 г, есзя а!4(П Перейдем от равенства (61,15) к эрмитово сопряженному (Ч )т-Ч "8'..

280 .КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ 1гл. ши После умножения полученного соотношения справа на у„используя определение (61,5), имеем' 1 = Чгу43 уе Ф Из этого соотношения и (61,19) сразу получаем ( Ч"Я ', если аи>0; ~ — Ч"3, если аи ( О. Матрица преобразования 3 действует только на спияовые переменные функции Чг согласно правилу (61,15), которое в более подробной записи имеет вид Ч';(х')<= Х Я„ВЧгз (х) = ).", Я,ВЧг(а-!х'). (61,20) з В Правила преобразования координатной функции при преобразованиях координат были рассмотрены в 2 43. Так, например, при вращении системы координатных осей на угол В вокруг направления единичного вектора а, преобразование координатной функции определяется оператором момента количества движения Х., коммутирующим с матрнцей 3: 1'(г', 1) = Охра — „~1(г',.1).

Поскольку правая и левая части этого равенства относятся к одинаковым независимым переменным, то знак штрих можно опустить. Итак, при вращении координатных осей полная функция Ч' преобразуется по закону '~(*~- г(' 1'(змч~~). Матрица 3(~р) будет определена ниже (см. 61,26)). При любом ортогональном преобразовании (61,8) можно найти матрицу 3 преобразования спиновых волновых функций уравнения Дирака, удовлетворяющую соотношениям (61,16). Существование такой матрицы следует уже из того факта, что четырехмерные матрицы у„образуют неприводимую группу. Существование матрицы Я может быть также доказано и непосредственно путем явного построения матрицы 3 для пространственных отражений, вращений в трехмерном пространстве и перемещений, поскольку из этих элементарных преобразований можно построить любое другое конечное преобразование.

Рассмотрим, например, преобразование, соответствующее пространственной инверсии. Умножая равенство (61,16) слева па 3, приведем его к виду у.Я= Х ~„;Яу,. $ АП КОВАРИАНТНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА 28] Теперь, используя вид коэффициентов преобразования (61,9), имеем ЪЗ= — ~у ° ут9= — Зу, уз8= — Бум у48= Зу Полученные соотношения удовлетворяются, если о' = Хуь где Х вЂ” коммутирующий со всеми матрицами у„множитель, модуль которого равен единице, Явный вид этого мйожителя будет определен ниже. Определим внд оператора 8 для 'непрерывного преобразования пространственно-временных координат. Любое непрерывное преобразование получается путем последовательного применения бесконечно малых преобразований.

Поэтому достаточно определить вид матрицы 3 для бесконечно малых преобразований. Бесконечнр малые ортогональные преобразования (61,8) осуществляются матрицей пРУ 1]РР + ВРУ (61,21) где е„т — бесконечно малый тензор второго ранга. Чтобы преобразование (61,21) сохраняло длину 4-вектора„ необходимо выполнение равенства д„= ~~.", аА„аь =д„„+(е„„+е )+ ... Следовательно, бесконечно малый тензор второго ранга в (61,21) должен быть антисимметричным. Из (61,11), например, следует, что преобразованию Лоренца при бесконечно малом значении Х= 1- 'соответствует С 0 0 0 0 0 0 0 ВРУ О О О О э Х (61,22) — Х' 0 0 0 Вращению вокруг оси з на бесконечно малый угол Ьр, согласно (61,12), соответствует 0 дч 00 — д]р 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 0 (61,23) При бесконечно малом преобразовании х'„= Д (д„+ е„) х, матрица о будет отличаться от единичной матрицы бесконечно КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАИТОВАЯ ТЕОРИЯ (гл.

Тиь малой добавкой,.пропорциональной е„„ т. е. +2Х ""' или более подробно ~ «=й«в+ 2 Хаев ° Иоэтому равенство (61,20) можно записать в.внде ч'.~ч=т~ь +дс~, )ч,<ь '*). В~ ич Для вычисления явного вида генератора преобразования — С~в ! ч 2 можно использовать равенство (61,16), которое при условии (61,21) сводится к уравнению 2 ~~~~ (у„С вЂ” С" у„) евч — — ~~ езчтч. Ач ч Проведя преобразование ! ът евч'уч= 71 ех бхвуч= 2,Д~ ехч (бхвуч — АРТА) ч хч хч можно представить предыдущее уравнение в виде Х(у„с"' — С"у„— б,„у„+б у) „=0.

Ач ! Последнее уравнение удовлетворяетея, если С = — уху„.. Таким образом, матрица преобразования' дираковских функций при бесконечно малом преобразовании пространственно-временных координат определяется соотношением + 4'Хдвчтвтч (61,24) Рч ! (61,25) Прн ПрОСтраНСтВЕННЫХ ВращЕНИяХ тнуч !ПА Гдс р, т, Х вЂ” цнК- лические индексы, пробегающие значения 1, 2, 3. В частности, при вращении вокруг оси 3 на бесконечно малый угол Йр, значения е „определяются матрицей (61,23) и ун!з = (ом следовательно, ~з(йу)=.(1+ 2 б уо,~. Заменяя в (61,23) индекс 3 на 1 и 2, получим операторы бесконечно малых поворотов соответственно вокруг осей 1 и 2.

Последовательно применяя оператор бесконечно малого поворота во- й ац коВАРиАитнАя зАпись инлвнеиия диРАкА 263' круг оси 1, можно определить оператор конечного поворота нв угол ф Зфр) = ехр( — о(ф), (61,26) й Учитывая, что — и является оператором момента количества движе-. 2 ния частицы со олином '/з, можно найти связь матрицы вращения )6(,26) с введенными в 6 йз,обобщенными сферическнмв функциями б~~' (й), определяющими 'преебразованне спиновых волновых функций куж при по- вороте ин угол Р вокруг оси р. Согласно (43ДЭ), можно написать й < ) ~ 8 — и д'*л(Р) ~0'„'е(0, Р,О)'=( — й1а ~ — т), где й, щ='4 — 'гз.

Для вычисления матричных клементов проведем преобразоваииег - (-'. )-Х вЂ” '(('2-.)'-1'-26)'+ )+ (Р ( (Р)з ) Р Р +(оа~ — — — ~ — ) + ...г соз — +(оиз!ив (2 31 (2г' " ) 2; 2.г УО Используя явный вид матрицы оа — — ~ . ), находим окончательно матрицу 0/' р соз — — зш— и'(Р)-(4*. (Р))- 5! и — соз— 2 2 Интересной особенностью матрицы преобразования (61,26) является то, что при полном повороте (ф = 2и) эта матрица не возвращается к своему первоначальному зная)ению, а переходит в — /, т. е. 8) (О) = 1, 3~ (2и) = — г.

Выше было показано, что при пространственном отражении (Р) преобразование функции, удовлетворяющей уравнению Ди- рака, определяется матрицей ЗР= Лум где ! Л)= 1. Двукратное отражение можно рассматривать как тождественное преобразование и как поворот на угол 2и. Последнее, как мы видели, 'приводит к изменению знака функции; поэтому дву- кратному отражению может соответствовать оператор Я~=Лаут=Лх=.ь 1, ч Следовательно, число Л может равняться четырем значениям Л=(, — 1, 1, — !. [Гл. Рш КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ Возможные значения Х определяют так называемые внутренние свойства частиц (их внутреннюю четность), описываемых функциями Чг.

Принято говорить, что функции Чг (спинорные поля) могут принадлежать к четырем классам: А, В, С или Р, соответственно значениям Х = г, — 1, 1, — 1, определяющим закон преобразования волновых функций при пространственном отражении. Функцию, преобразующуюся по закону РЧг Ч~" = = 1у,Ч", иногда называют полярным спинорным полем, а остальные — псеедоспинорными полями. В настоящее время нет возможности установить, к какому из этих классов относятся наблюдаемые в природе спинорные поля (см. $66). Используя (61,!5), (61,16) и (61,17), легко установить свойства преобразований некоторых билинейных выражений, составленных из функций Дирака.

Так, например, из (61,15) и (61,17) следует, что при ортогональных преобразованиях Ф'%" = Ч'З 'БЧ.'= ЧгЧ". Следовательно, величина С-ЧРЧ =Ч"у,Ч является скаляром. Из равенств (61,7) и (61,7а) следует, что $I„= 1Чгу„чг является 4-вектором, т. е. величиной, четыре компоненты которой преобразуются как координаты х„. В этом можно убедиться и непосредственно, если использовать (61,!5), (61,16) и (61,17), так как я 'ЬЧ =Ч'о уэо =ХазчЧгуч Таким же образом можно показать, что величины ЧгуэучЧг преОбраэуются как произведения двух координат, т.

е. являются компонентами тензора второго ранга. Как известно, любой тензор аса второго ранга можно представить в виде суммы симметричного '/э(ачА'+ аы) и антисимметричного тензора '/э(ачА — аы). Пользуясь (61,2)„легко показать, что симметричная часть тензора второго ранга ЧгуиучЧТ сводится к скаляру ~ Ч7(УРУч+ У„УВ) Ч7= '~ТРЬ„ч. Величина 7 Рч э ч (УР чч УчУР) является антисимметричным тензором второго ранга (с шестью независимыми компонентами).

Мнпжитель 1 перед этим выра- ковхгихнтнхя злпись тглвнвння дигхкх зев жением выбирается для того, чтобы пространственные компоненты тензорз- были действительны. Величины Чту„у~улЧ" преобразуются как компоненты тензора третьего ранга. Симметричные по любым двум индексам компоненты этого тензора сводятся к тензору первого ранга. Антисимметричный относительно перестановки любых двух индексов тензор третьего ранга сводится к аксиальному вектору (четыре компоненты). Произведение всех четырех матриц у„часто используется в теории, поэтому вводится специальное обозначение Тз = бутузу» Из эрмитевости матриц у„(р = 1, 2, 3, 4) и соотношений (61,2) следует, что матрица уз является эрмитовой матрицей уя (у!узузу4) Юзузу! у!утузу4 у5' Матрица уз антикоммутирует со всеми четырьмя матрицами у„, т.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее