Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления), страница 7

Пусть явные уравнения кривых (РЯ) и (ЮЯ) будут (Р(«). у — уь (х) (8й): у= у(х), О а д. причем х изменяется в проме- жутке (а, Ь1.. Рис, 8. Рассматривая площадь 0 «кри- волинейной трапеции» РЯЙЮ как разность плошадей двух «криволинейных трапеций» аЬ)сЮ и аЬь(Р, можем написать ь ь () = ~ у (х) ((х — ~ уь (х) (гх С другой стороны, по формуле (7) ь У Ух = ~ Уь (х) Кх, ~ У Их = ~ У(х) ((х. ( ()) ь (ал) а Поэтому П= ~ у(ьх+ 1 удх; (Ф) (ол) мы изменили знак перед вторым интегралом, но зато изменили и направление интегрирования. Если прибавить к правой части равенства интегралы У Их и у«(х, ( а) ( и) равные нулю (так как они взяты по отрезкам, параллельным оси у), то равенство не нарушится. В результате получим П = ~ у(ьх, (РзлоР) причем контур пробегается в порядке букв, указанных под символом интеграла.

55Ц а 2. кРиВОлинейные интеГРАлы ВТОРОГО типА 33 Если обозначить контур области (О) через (Е), то символ ~у)хв )с) по заключенному в и' 548 условию будет означать интеграл, взятый в положительном направлении. При правой ориентации осей, которая принята на рис, 8, это будет направление обхода, оставляющее область слева, в то время как направление РЮГЕР оставляет эту область си р а в а. Поэтому уЬ= — ~уЬ ЧРа ОР) )с) и, следовательно, О = — ~у )(х.

(9) с помощью сходных рассуждений получается формула О= ~ хну. А Впрочем, она может быть выведена и непосредственно из формулы (9), если обменять ролями оси х н у. Знак при этом придется изменить именно потому, что, несмотря иа изменение ролей координатных осей, положительное направление обхода все же осталось прежним. () о) Предположим теперь,. что хотя фигура (О) ограничена контуром более сложного вида (который может даже состоять из нескольких отдельных кривых), но зту фигуру прямыми, параллельными у -оси у, можно разложить нз конечное число частей рзссмотренного типа (рис. 9).

Каждая из этих частей будет иметь площадгь выражающуюся по фор- 1 ! 3~ муле (9). Сложив все эти ра- Й венства, мы получим слева площадь всей фигуры (О),.а справа сумму интегралов, распространенных на все частичные кон- Рис, 9. туры. Эти интегралы, однако, приводятся к одному, взятому по общему контуру (~), ибо интегралы по каждому из вспомогательных отрезков равны нулю. Таким образом, и в этом случае площадь О выражается по формуле (9). Для фигуры Р(Я$ (рис. 10), ограниченной прямолинейными отрезками РЯ и ОЯ, параллельными оси х, и двумя кривыми (Р8) -с = -'~а (у) (ж =л() 34 гл, хч, кРИВОлинвйныв ИнтвГРАЛЫ.

ИНТЕГРАЛ СтиЛтъвсА (55! Легко понять, что формула (10) будет справедлива и для более сложной фигуры, которая прямыми, параллельными оси х, разлагается на конечное число «криволинейных трапеций» второго типа. Полученный результат на деле имеет уже вполне достаточную общность. Однако проверка в конкретных случзях возможности разложить предложенную фигуру на части упомянутых специальных типов представляется обременительной.

Поэтому мы укажем и другое— тоже весьма общее, но легко проверяемое условие, при котором ока- У зываются приложимыми одноврел менно обе формулы (9) и (10). Именно, предположим, что об- ласть (Р) ограниченз произвольйуу )т""«ной кусочно-гладкой кривой (~) в. Так как эта область квади рируема 13371, то можно пос л строить входящую и выходящую многоугольные области (А) и (В) тзк, чтобы было Рис. 10.

А(Р(в; в-А(., где е — наперед заданное положительное число 1ЗЗБ). При этом можно предположить также, что контуры всех этих областей попзрно . не имеют общих точек. Обозначим через 3 наименьшее расстояние между точкзми различных контуров [см. 336, сноска). Если вписать в (Е) ломаную (Л) так, чтобы ее звенья все были (3, то эта ломаная уже не может иметь общих точек с контурами многоугольников (А) и (В), тзк что ограниченный ею многоугольник (Ь) содержит в себе (А) и сам содержится внутри (В).

Отсюда )Ь вЂ” Р)(в, так что а — Р при стремлении к нулю наибольшего из звеньев вписанной ломаной. Теперь нетрудно убедиться, что к вычислению площади Ь многоугольника приложимы как формула (9), так и формула (10), т. е. а= — ~уйх=' ~ хйу 1«1 ьм (ибо прямыми, параллельными оси у или оси х, легко разложить этот многоугольник на трапеции того или другого типа).

Если, опираясь на лемму предыдущего и' (см. замечания), перейти здесь к пределу, то и получим окончательно: плошадь фигуры (Р),,ограниченной кусочно-гладкой кривой, выражается любой из названных форлтул. " Напомним, что к у с о ч я о-г л ад ко й называется кривая, состоящая из нескольких гладких дуг 1см. 3371 ср. 261]. ББ2) в з. квнволинейные интегвллы втового типл 35 .0= — хну — уг(х,. 1 Г 2 ( г (11) которая легко получается иа формул (9) и (10) 1ср. 339 (16) 1. Замкчаник. Легко убедиться, что и наличие на кривой конечного числа особых точек не мешает на деле справедливости выведенных формул. Если выделить эти точки с помощью нх окрестностей, то к остающейся части фигуры формулы приложимы.

Ззтем нужно лишь перейти к пределу, предполагая дизметры упомянутых окрестностей стремящимися к нулю. 362. Примеры..!) Найти площадь эллипса с полуосями а и Ь. Р в ш л н и к. Воспользуемся парамстричсскими уравнениями эллипса: х=асозт, у=йяпС (О~С(2я).

По формуле (11) р = — а соз т ° Ь ам т лт — Ь яп Г ° ( — а яп Г) г)Е = — г(Г = яаЬ. г аЬ Г 2 2 Дла вычисления криволинейного интеграла мы применили формуау (6); прн расстановке пределов интегрирования было принято во внимание, чтоположительный обход контура отвечает возрастанию параметра. 2) Найти площадь аозроиды х=асшай у=лап'Г (О ~ т ~ 2я). Ответ. зч р ~,г 3 Зяа' 3) Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркяй эпицинлоиды х = а [(1 + т) соз ет — т соз (1 + т) Г], у = а 1(! + е) з1п тт — е яп (1+ т) г) и соответствующей дугой круга (рис.

11), Р вш кн ив, Интеграл (11) нужно взять сначала по кривой (АВС), аватсм по кривой (СОА). В первом случае мы можем воспользоваться написанными выше уравнениями, изменяат от О до 2я, Тогда х ау — у йх = а'т (1+ е) (! + 2т) (1 — соз т) ЛГ, так что — = яа'т (1 + т) (1 + 2т). 1 <л 1 Чаше всего, впрочем, для вычисления площади применяется дру-гая, более симметричная, формула: 36 гд. Зч, квиполиннйнын интпгндяы.

интнгвад стидтьпсл [552 Что же касается дуги круга (С)УА), то, сохраняя тот же параметр, ее можно выразить уравнениями х = а соз юе, у=аз!пют, изменяя т на этот раз от 2а до О. Соответствующий интеграл будет о 1 1, Г = — а ю ~ ае = — ва ю. 2 (с А) тч Итак, искомая площадь равна 0 = яааю' (2ж + 3). 4) Найти площадь петли декартова листа (рис.

12) хз + уз = За.ту. Р а ш в н и з. Для получения параметрических уравнений контура положим у= !х". Тогда [ср. 224, 5)[ Заг ЗаР х=— у= +та в !+та ° Из геометрических соображений ясно, что петли описывается при изменении параметра т от О до со (ибо т = У = х = !н З, где 0 изменяется от О до — ). Имеем 1 — 2та ах=За +,, «С, 2г — га ау=За +,, ат Оаа ! таШ 3 ~ (!+та) = 2 а Рис. !2 Отметим, что здесь мы использовали несобственный интеграл с бесконечным пределом, в то время как прн выводе формулы(6) мы считали, что промежуток изменения параметра конечен.

Оправдать сделанное легко, есяи нредварительно ввести другой параметр с конечным промежутком измейения (например, угол 3), а затем уже перейти к параметру у х 5) То же для кривой: (а) (х+у)' = ах у, (б) (х+у)'"+' = ах"у" (и — натурааьное), Указания. Ввести т'= —, меняя г от О до со. В случае (б) у х' евл х Зу — у ах=па,„~, ат, * Такая подстановка оказывается удобной, как правило, в тек случаях, когда в уравнении алгебраической кривой имеются две однородные группы членов, причем степени этих групп различаются на единицу, 3331 2 2. ЕРиВОлинейные интеГРАлы ВТОРОГО типА 37 При интегрировании разложение на простые дроби можно получить, исходя нз тождества 2л тв" = [(1+2) — 1Г" = Х С~. ( — 1)'(1+ т)".

а=о 2л а Отлет. (а) )2= 2 , '(б) 0= — Т'( — 1)" + а=о 6) Найти площадь фигуры, ограниченной осями координат и кривой х'+~'=х +.Р. 1 4л Ответ. П= — += 3 9)/'3 . 7) Б качестве примера применения общей формулы (10) для вычисления площадей плоских фигур любой формы л остановимся в заключение на такой задаче. Пусть основанием некоторого тела служат две произвольного вида фигуры, лежащие в двух параллельных плоскостях, а боковая поверхность его является линейчатой и образована прямыми, соединяющими по произвольному закону точки контуров упомннутых фигур (рнс.