Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления), страница 4

Подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла (4) должен быть меньше верхнего. В случае кривой„заданной явным уравнением у=у(х) (а<к<1), формула (4) принимает вид: ь ) у (Л4) йз = ~ у (х, у (х)) ) ' 1 + [у' (х) [э йх. ((о а (б) Этому соотношению можяо придать н другую форму.

В предположении неярерыяности функции у(х) вместе с ее производной у'(х), кривая (К) в каждой точке будет иметь определенную касательную, не параллельную оси у. Обозначив через к угол касательной с осью х, получим: 1 тя а = у' (х), ) соз а [ = $' !+[у'(х))' ь Мы имеем э виду непрерывность в точках кривой (К) вдоль нее. На языке лл-аэ это означает, что по е ~ О найдется такое а ) О, что ~У(М) — У(М) ~ < э при ММ'<а (М и М' — точки кривой).

Прн этом предположении и сложная функция т(х(з), у(л)), поскольку х(з) и у(з) непрерывны, есть также непрерывная функция от а. Эта н е п о с р е д с т в е н н о с т ь сведбния криволинейного интеграла первого типа к обыкновенному интегралу, разумеется, понижает его теоретическое значение, но методическое значение он все же сохраняет. Интеграл, очевидно, существует, например, в случае непрерывности функции у(М)ч, что мы будем впредь предползгать. Пусть теперь простая кривая (К) задана произвольными парамет'рическими уравнениями х — р(1), у — ф(1) ((э<1< Т) бчб1 ' ' в г.

кРИЕОЛиНЕйНЫЕ интЕГРАЛЫ ПЕРВОГО ТИпд Позтому 15 3 ( У(М) Ла = ~ У( 'У ( )) Нх. ] сова] а (6) В частности, так как, очевидно, ~ в(а=3, 1АТ где через 8 обозначена длина всей кривой (АВ), то ггх ]сова] (7) 3 А ми чан ив. Формула(7) получена нами в результате формальных преобразований.

Если бы мы определили длину дуги кривой, как предел периметра о и и с а н н о й (а не вписанной) ломаной, то зто определение — в случае я в н о г о задания кривой — непосредственно привело бы к формуле (7). Предлагаем читателю самому убедиться в атом. 545. Примеры.

1) Вычислить интеграл 7= ~ ху в(а, если (К) есть чет- </О х' всрть зллипса — в+вот=1, лежащая в первом квадранте. а' Р вша и ин. (а) Имеем — Ьх у = — )/а' — х', у' =— а ' а)/ав — хв' 1 -а /ав — (а' — Ь') х' так что по формуле (5) а Ь,, 1 а' — (ав — Ь") х' 1= ~х — )/а' — х' — „, в(х= а а а" — х' о в = —, 1 )/ав — (а' — Ьв) х' хв)х, ав 1 Выполняя интегрирование, найдем: а — Ь 2... — 1а аЬ а'+аЬ+Ьв 1=... ° — [ав — (а' — Ь') х'] а ~ 2а'(а' — Ь') 3 ~ о 3 а+ Ь Следует заметить, что проведенная выкладка на деле требует еще некоторых оговорок, поскольку при х = а угловой козффиниент касательной о б р аща ется в бесконечность.

От етого недостатка свободно следующее решение. б) Если перейти к параметрическому представлению эллипса: х = а соа т, у= юпг, так что Ув= Ь сов Св )/ хт'+ув' = )/ а'а)п'т-]- Ь'солт, 16 гл. хт. коиволииийнын интиголлы. иитнгвдл стилтьнса [646 то вычисление можно произвести по формуле (4): 1 = ) а соз Г Ь в! и 1 ° Ь" а' з! па Г + Ьа сова Г ат = о аЬ Г .

Г „1 — сов2Г, 1+сов21 о Положим здесь соз21 =л, тогда ми 2! от= — — а(л и 1 ! аЬ Г l а'+Ьа Ь" — а' 1= — ~ оу — + ха'л= 4 ,) Ь' 2 2 аЬ 2 2 ~а'+о* Ьа — а' з ~1 аЬа'+аЬ+от а 4 Ь' — а~3 2 + 2 ! 3 +Ь 2) Вычислить интеграл1=1 у ага, где (К) есть участоа параболы у'=2рх (В от начала координат до точки (х„ у,). Рв шин и к. Из уравнения кривой имеем уу'=*р, так что . у аЪ =у 3Г1+у' а(х = У у'+у'у' ЛЛ = Ь'а'+ 2рх((х ло в 1= ~ ) ра-)-2ах Вх= — [(ра+уцв) ра) зр о 3) Вычислить интеграл Е=') (х'+у')((з, где (А) есть прямолинейный (л! отрезок, соединяющий точки (а, а) и (Ь, Ь) (Ь) а).

2 гг2 У к а з а н и в. Уравнение прямой: у = х. Ошвеки — (Ь' — а'). 3 4) Вычислить интеграл К= '1 уе "т(з, где (С) есть участок кривой (с! х=1п(1+Го), у=2 агс(пт — 1+3 между точками Г=О и г=1. Указания; Ьгх,'+у(' =1, 1 Г 2агс(Пà — 1+3 Р 1 3 5) Для большинства постоянно встречающихся кривых (эллипс, гипербола, синусоида, лемннската и пр.) длина дуги не может быть выражена в элементарных функциях, так как г(з не интегрируется в конечном виде. Тем не ме- 64$! 0 К КРИВОЛИНВЙНЫИ ИНТЕГРАЛЫ ПНРВОГО ТИПА 17 нее, интеграл ) У(х,у) с(з и для таких кривых часто может быть вычислен (АЧ в злементарных функциях (см., например, упр. 1)), так как присоединение множителя у (х, у) меняет всю структуру подинтегрваьного дифференциала.'Предлагаем читателю построить примеры интегралов ! у (х,у) аз, распространенных (Мт на синусоиду у = з1п х илн гиперболу ху= 1 и выражающихся через злементарные функции.

6) Вычислить интеграл /= '1 хуз ((з, где (С) есть дуга кривой (б) х=т, у= — 0' 8Р 1 3 з= — Р между точками 1=0 и г=1. 3 2 Р в ш в н и в: ((з = 0' х," + у," + г," ш = (1 + т) аг, з у= — з (1+ т) ~(т = —, )Г2 Р з 16 Гг2 3 0) 143 7) Дать формулу для вычисления интеграла 7=(г(х,у)цз в случзе, Ф когда кРиваЯ (К) задана УРавнепием г= г(0) (О, ~0 ~за) в полЯРных каоР- дннатах. з Ответ. у= ~ у(г созе, гз!ив))ггл+г" с(0, з, аз 8) Вычисанть интеграл о= а, если (К) есть отрезок гнпер(я) ( +у) болической спирали г0=1 от 0= ргЗ до 0=2 $г2. 19 Ответ, —, 3' 9) Найти и асс у участка кривой у= !ох между точками с абсциссамих, и хм если' (линейная) плотность кривой в каждой точке равна квадрату абс- циссы точки.

Рвшянив. По формуле (2), так как в нашем случае р=х', имеем: хв Ъ' 1+х' т= ~ х'Ыз. Но с(з= ' с(х~ х так что хз а а = ~ У'1-)-" Н =-,' ~(1+хЭ' — (1+х1) з~. лв х 10) Найти ма с с у участка цепной линии у=ос)( — между точками а х=о и х=а, если плотность кривой вкаждойее точкеобратно пропорциональна ординате мачкзь 18 гл. хч. к»иволннпйнын интиг»ллы. ннтвг»лл Стнлтьнел 1949 М„= г) рх ~й, М = г) ру ~й, М М„ гп ) риз (К! ~»хай х,= — = 12) Укажем еще одно применение криволинейного интеграла первого типа — к вопросу о притяжении материальной точки материальною же кривою.

Как известно, по закону Н ь ю т о н а, материальная точка М массы а притягивает материальную точку М, массы а, с силой, направленной от М, аа« к М и численно равной я —,,где у я>4 г' ' г — расстояние М,М, а й — козффициент, зависящий от выбора основных единиц измерения; впрочем, для про- Ф стоты мы будем обычно считать его равным единице. Если точка М, притягивается системой точек М„М„..., М„, с массами а„а„'..., а„, то результируюl щая сила, йли равнодействующая, по~л4 лучается геометрическим сложением сил притяжения отдельными точками. В тоже время проекцииреРис.

2. зультирующей силы на координатныеоси равны алгебрзическим суммам проекций отдельных сил. Если обозначить проекции равнодействующей на оси через Х и У, а угол, составленный вектором гг=М«1Н«с осью х, через О! (Рис. 2), то, очевидно, и У= ~~ — а)п 0! "!«а! г) ! 1 Х= ~~ —, соа01, Ът а,а! г', ! ! (где гг, как обычно, означает длину вектора г!). Пусть теперь притягивающая масса распределена непрерывным образом по кривой (К). Для нахождения притяжения разобьем кривую на участки н, сосредоточив массу каждого участка в произвольно выбранной на нем Уклзлннв. р= —, !та=ей — !ух= — ~ух, а=0. й х у у' а я И другие вопросы, связанные с массами, непрерывно распределенными вдоль материальной крйвой, естественным образом приводят к криволинейным интегралам рассмотренного типа, 11) Мы уже имели дело в главе Х (349) с вычислением статических моментов плоской кривой относительно осейкоординат, а также координат ее центра тяжести, в предположении, что «линейная плотность> р= 1.

Читатель легко распространит полученные там формулы на общий случай непрерывногораспределения масс. Если использовать введенное понятие криволинейно! о интеграла, то результаты напищутся в следующем виде: Х . чьт жэР(М()а( гв соз 01, 1 'т' ' 6 г' ибо в этом случае масса отдельного участка приближенно равна р(М()а(. Если устремить все а( к нулю, то в пределе получатсв точные равенства, причем суммы замснятся интегралами: (' р (М) а(п В У=а, г яа; ( Х вЂ” ш 1 Р(М) Вяз г' ()О (8) здесь г означает длину вектора г = Мал(, !3) Найти притяжение, оказываемое 6 = 1) на единицу массы, помещенную в центре.

Р в ш в н и в. Поместим начало координат в центр полуокружности и ось абсцисс проведем через ее концы (рнс. 3). По соображениям симметрии Х= О, так что дело приводится к нахождению лишь проекции г'. По формуле (8) Р= ~ — Ла. ! э!ПВ а 0 — угол, составленный им с осью х. однородной полуокружностью (при ту Рис. 3. Но в нзшем случае г=тт (радиус полуакружности) и на=1(1 36. Поэтому г'= — з!и В т(6 = —. )6. 14) Найти притяжение, оказываемое бесконечной однородной прямой (р= 1) на точку единичной массы (ж,=!), лежащую на расстоянии Ь от прямой, Р кш В ни к. Рассмотрим йскомос притяжение, как предел притяжения, оказываемого конечным отрезком названной прямой при условии, что концы удаляются в разные стороны до бесконечности.

Если саму прямую нринлть за ось х, а ось у провести через заданную точку, то получим(учитывая, по в данном случае ((з=пх) ((х ! х (чэ 2 1 (хт +да)2 — СО Аналогично, Х=О (что; впрочем, ясно из соображений симметрии). 15) Найти притяжение, оказываемое дугой астроиды х = а солт т, у=а ыо'т, лежащей в первом. квадранте, на единицу массы, помещенную в начале каор.

динат, если плотность кривой в каждой ее точке равна кубу расстояния этой точки от начала координат. За' Овмгю. Х= 1'= —. 5 ' 545! 6 1. кРиВОлииейиые иитеГРллы пеРВОГО типа 19 точке М(, найДЕм приближенные значения проекций равнодействующей на осн: Ю Гл. хт. КРиВОлинейные интеГРАлы. интеГРал стилтъеса 1546 ф 2. Криволинейные интегралы второго типа 646. Определение криволинейных интегралов второго типа. Переходя к практически более важному понятию криволинейного интегралаа в т о р о г о типа, мы здесь начнем прямо с его определения, отложив приложения етого понятия до дальнейших номеров (см., например, п 664).