Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.3 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления), страница 11

Обращаясь к исследованию достаточности условия (А), мь ограничимся сначала случаем, когда область (й) представляет собоа пр'ямоугольник; пусть, для определенности, это будет конечный заикнутый прямоугольник [а, Ь; с, й). В предположении, что выпол. няется условие (А), мы непосредственно дадим для этого случаг построение первообразной.

Задача состоит в том, чтобы определить в прямоугольнике [а, Ь с, г(] функцию Ф(х,у), которая удовлетворяла бы двум уравнениям 52 гл. хч. каиволинвйныв ннтвггалы. интегвлл стнлтьвса (559 обоим уравнениям (6*). Относительно первого это очевидно, ибо производная по х первого слагаемого в (7) справа равна Р(х, у) 1306), а последние два слагаемых не зависят от х. Продифференпируем теперь равенство (7) по у, причем к первому интегралу справа применим правило Лейбница [6071: д'в Г дР д — = 1 д —,. й + О (М У).

ль В силу (А), вместо — можно сюда подставить —; тогда интеграл дР д0 ду дх' дФ сведется к разности Я(х, у) — Я (хц, у), а производная — окаду жется равной просто Я(х, у), что и требовалось доказать. Заметим, что если бы мы начали с интегрирования по у, то пришли бы к такому выражению для искомой первообразной: х У Ф (х, у) = ~ Р (х, уь) йх + ~ Я (х, у) йу+ С, (8) "о Уо лишь по форме отличающемуся от прежнего. Полезно дать себе отчет в том, что, фиксируя значение перво- образной в какой-нибудь точке области, мы тем самым выбираем постоянную в общем выражении первообразной и получаем уже вполне определенную и однозначную первообразную.

669. Обобщение на случай произвольной области. Рассмотрим теперь произвольную (конечно, с в я з н ую) область (О), ограниченную одной или несколькими кусочно-гладкими кривыми и при этом конечную или простирающуюся в бесконечность. Эту область мы впредь будем предполагать о т к р ы т о й. В таком случае каждая ее точка является внутренней 1163~ и принадлежит ей вместе с некоторой, скажем, п р ям о у г о л ь ной окрестностью. Так как к последней приложимы рассуждения предыдущего и', то при выполнении условия (А) в окрестности каждой точки области (О) для выражения (2) существует п ер во о бр а зная и даже бесконечное множество первообразных, разнящихся одна от другой на постоянную.

Однако согласование всех этих первообразных тзк, чтобы получилась однозначная первообразная для всей области (О), оказывается не всегда возможным! Вопрос здесь зависит от характера самой области. Чтобы обеспечить существование такой однозначной перво- образной в общем случае, приходится наложить иа область (О) своеобразное ограничение.

Его можно сформулировать так: какой бы простой замкнутый контур, лежащий в области (О), ни взять, ограниченная извне этим контуром область должна также леликом принадлежать области (О). Иными словами, область не должна со- 539) $ 3. УСЛОВИЯ НВЗАВИСИМОСТИ ИНТВГРАЛА ОТ ПУТИ 53 держать «дырок», даже точечных. Связную область, обладающую этим свойством, называют односвязной. Если речь идет О конечной области (т. е. не простирающейся в бесконечность), то понятие односзязности можно сформулировать еще проще: область должна быть ограничена единственным замкнутым контуром.

Нз рис. 19 представлены примеры одно- связных и неодносвязных областей, из них а), г), д) конечны, а б), в), е) простираются в бесконечность. Пусть же рассматриваемая область (О) будет одно связной; сначала мы предположим ее конечной, так что,она попросту ограничена единственной кусочно-гладкой кривой (К). Построение перво- образной для области (Р) мы будем производить постепенно, исходя БЬ»жвглгнг ьллагпи нгаднамлтьи Рзнала г/ Рис. 19. из содержащихся в (О) областей, разлагающихся на пр ямоугольники. Задавшись произвольно малым числом «>О, мы можем каждую точку М контура (К) окружить таким квадратом со стороной « 'в, чтобы в его пределзх контур выражался явным уравнением одного из двух типов [ср.

223]; лишь в угловой точке мы будем иметь стык двух подобных кривых. По лемме Бореля [175), можно, сохранив лишь конечное число этих квадратов, покрыть ими весь контур (К). Этой конечной цепью квадратов извне ограничивается некоторая замкнутая область (О), целиком лежащая в (О) и очевидным образом разлагающаяся на прямоугольники. Она 'будет связной ь, а тогда уже и односвязной вместе с (Р); ей заведомо будут принадлежать все точки области (О), отстоящие от контура на расстояние)а.

ь Если две точки М, и М, принадлежат (Р), то их можно соединить ломаной (А), целиком лежащей в (Р) [163). Эта ломаная, вообще говоря, может и выходить за пределы (Р), попадая внутрь каких-либо из упомянутых в тексте квадратов. Но часть ломаной, содержащаяся в таком квадрате, всегда может быть заменена соответствующей частью его обвода. Таким путем и получается соединяющая точки М, и М» ломаная (Е), целиком лежащая в (Р). 54 Гл.

хч. КРиволинейные интеГРАлы. интеГРАл стилтьесА 1559 Мы покажем ниже, как строится первообразная для области (()). Чтобы иметь дело с определенной первообразной, мы фиксируем ее значение в какой-нибудь точке М„принадлежащей (Ь). Заметим, что две первообразные, определенные для двух яалегаюи<их одна на другую областей, в общей их части л<огут разниться лишь на постоянную (так как их равность имеет нулевые частные производные, 183). Следовательно, если эти первообразные совпадают хоть в одной точке, они тождественны во всей упомянутой общей части.

Отсюда ясно, что, устремляя е к нулю, мы, действительно, постепенно распространим определение первообразной на всю область (П) с сохранением ее однозначности. Чтобы построить первообразную для области (гг), мы представим себе эту область разложенной на прямоугольники, которые примы- кают один к другому по вертикальному отрезку (рис. 20, а).

Два аз Рис. 20. таких смежных прямоугольника й< и йь изображены па рис. 20, б. В каждом из них мы умеем строить первообразные, пусть это будут Ф, и Ф,. Вдоль отрезка ар, общего прямоугольникам й< и о„ они могут разниться лишь на постоянную; это становится ясным, если вспомнить, что каждая из них ргзнится вдоль ар разве лишь постоянным слагаемым от какой-либо первообразной, построенной для заштрихованного прямоугольника, которая существует в силу предыдущего и'. Изменяя одну из первообразных, Ф, или Ф<ь на надлежа<пую постоянную, можно, следовательно, добиться их совпадения вдоль отрезка агр. Начнем с построения первообразной для того из прямоугольников, где лежит точка Мь, причем озаботимся, чтобы в этой точке первообразная имела именно наперед фиксированное значение. Затем построим первообразные для примыкающих к нему прямоугольников, так, чтобы переход через их общие границы не нарушал непрерывности, и т.

д. Постараемся теперь уяснить себе, в чем же сказывается условие одно связности области (Е>), а с нею и (А)). Ряд прямоугольников на рис. 20, а прн замысловатости контура (К) может и раз- % 3. услОВия ИВЗАвисимости интвгРАВА От пути ветвиться, как на рис. 21, а: это не помешает непрерывному рзспространению первообразной вдоль отделенных друг от друга отрогов. Но если область имеет «дырку» (см. рис. 21, б) и два ответвления вновь смыка ются, то для первого замыкающего прямоугольника выбор первообразной с сохранением непрерывности перехода на обоих стыках ар и 13 сразу — может оказаться невозможным! Случай области (О), простирающейся в бесконечность, исчерпывается аналогично, исходя из конечных подобластей, с постепенным распространением первообразной на всю область (О). Рвс.

21. 660. Окончательные результаты. Все сказанное в двух предшествующих пп' может быть суммировано в виде следующего предложения: Теорема 2. Для того чтобы во всей области (О) вираже. ние(2) было дифференциалом от некоторой однозначной функции двух переменных, необходимо, а в предположении одно. связности области (О)идостаточно,выполнениеусловия(А). В связи с этим условие (А) часто называют «условием интегрируемости» выражения (2). Если вспомнить теперь теорему 1, то непосредственно получается и следующая заключительная Теорема 3.

Для того чтобы криволинейный интеграл (1), где бы в области (О) ни были взяты начальная и конечная точки А и Ь пути интегрирования, не зависел от формы этого пути, необхо. димо, а в предположении односвязности областа (О) и достаточно, выполнение условия (А). Таким образом, мы нашли, наконец, в условии (А) удобный и легко проверяемый критерий независимости криволинейного интеграла от пути С помощью этого критерия, например, легко расклассифнцировать. инте. гралы, предложенные в задачах 3), 4), 5), 6) и' 649, и предвидеть ит особенности, укаэанные в замечании.

Ниже мы встретим важные приложения полученных результатов К особенностям случая неодносвязной области мы вернемся в и' 662 661. Интегралы по замкнутому контуру. До сих пор мы рассматривали криволинейный интеграл (1) ') Р(А)г+ Я(1у (АВ) н изучали тот важный класс случаев, когда этот интеграл не зависит от пути интегрирования. Обратимся теперь к рассмотрению интеграла ~ Р(ьх+ Я((у, (9) взятого по любому простому за мк пут ому контуру (Е) в пределах области (В), и поставим вопрос об условиях, при которых У этот интеграл всегда о бр а ща ется в нуль. Оказывается, что этот вопрос совершенЮ АР но эквивалентен вопросу, решен- Ф ному выше: если при дзнном дифференциальном выражении (2) знАг 5В теграл (1) не зависит от пути, то интеграл (9) всегда равен нулю, и обратно.

Действительно, предположим Ю л сначала независимость интеграРис. 22. ла (1) от пути. Если () ) есть любой простой замкнутый контур в области (О) (рис. 22), то произвольно взятыми на нем точкамн А и В разложим его на части (АМВ) и (А(()В). Так как интегралы по этим кривым должны быть равны: (АМВ) (ААЧ)) (10) то отсюда — =о.

(А) (АМВ) (ВФА) (АМВ) (А)ГВ) Пусть теперь, обратно, дано, что интеграл (9) по простому замкнутому контуру всегда равен нулю. Взяв две точки А и В, соединим их двумя путями (АМВ) и (А(А)В); из них составится замкнутый контур (Л) = (АМВОНА). Легким будет случай, когда Винни (АМВ) и (А)))В), кроме точек А и В, общих точек не имеют; тогда контур (Е) сам себя пе пересекает, т. е. оказывается простым.

Если же кривые (АМВ) н (А)((В) взаимно пересекаются, то замк. путая кривая (Е) уже не будет простой. 56 ГЛ. ХУ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА (561 662) $ а. услОВия нВВАВисимОсти интеГРАлА От пути 57 Однако, как показывает следующая лемма, можно все же ограничиться рассмотрением интегралов по простым (т. е. не пересекающим себя) замкнутым контурам. Лемма. Если интеграл (9) равен нулю, по какому бы простому (т.