Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления), страница 10

Л. Ч е б ы ш е в установил замечательный факт, что других случаев интегрируемости в конечном виде для биномиальных дифференциалов нет. Если а — число целое, то мы снова приходим к выражению изученного типа. Действительно, если обозначить через у знаменатель дробир, то преобразованное выражение имеет вид з1(г,)а+ Ьг). Рационализации подинтегральпого выражения можно достигнуть и сразу — подстановкой 279! 53 ! з. ннтвггиговьннв Радикальных выгьжвнни Рассмотрим п римеры.

з ! 1Е !гХ г- ! и= —, 4 1 Здесь т=- — —, 2 1 р= —; так как 3 1 — — +1 т41 2' =2, л 1 4 то имеем второй случай иитегрируемости. Заметив, что з = 3, положим (по общему правилу) з Г= ~ 1+ )1хж х=(!* — 1)', з(х = 12! з(г з - 1)з аы тогда з г 3 йт 12~ (зз гз)й ' гз(4зз 7) с и т д )гх з 1 з(х . ~ тзП ьта) з з(т 4 )'1-ь х! 1 ть1 Наэтотраэщ=О, л-4, р — — — —;третийслучайиитегрируемости,так как .

— —;р=- 4 и = — — — = О. Здесь з = 4," положим 4 4 з — (1 1Ьхз г- Гх — '-!-1= х х-(М-1) йх= гз(гз 1) 14г так что з ")1 1 4 хе= гх = Г(Г'- 1) -Ьхз) з их. 1 гл+ 1 Здесь лз — 1, л 5, р.= — —; второй случай: — — — = 01 з = 3. Положим 3 и 1 з 3 х=(гз — 1)з, 1(х= — гз(гз-1) з з(г; 5 у! — хз, ! ' ° )г! -~-хз и т. д. 1(х 3) — — ' '=~ -(1 з х(11+ха ( --) Ь- 1 1 ) 1 г азг 1 !!41! 1 — — — — ~Ж- — 3! --- - — !п ~ — ' — ~ — — агс1О !+с зь! г-4 2) г:+! 4 ~г-1~ 54 гл.

уш. ПеввооБРАзнАя Финкция имеем Г их з г (л( 1 г( 1 (-1 1 1 ((-1) )з 2(+1 1( с(( =. — 1и + — агс(К вЂ” — + С з 5 3 (" — 1 5 3 (,(-1 ('+(-(1) 10 ('+(+1 5 Уз и т. д. 280. Формулы проведения. Так как интеграл от биномиального дифференциала всегда может быть 1см. 12)) преобразован к виду Ур,ч= ~(а+ Ьг)Рге((а, то в дальнейшем ограничимся рассмотрением именно зтих интегра- лов. Установим ряд формул приведения, с помощью которых интеграл 13) может быль, вообще говоря, выражен через подобный же интеграл Уг,тз где р' и д' разнятся от р и д на произвольпыс це- лые числа. Интегрируя тождества (а 4 Ьа)Р('г(= а(а -, 'Ьг)ит(; — Ь(о+ Ьг)рзч" ', ай — 1(а;-ЬЗ)РЫК(~') =(Р4 1)Ь(а-, 'ЪГ)Р244' 4(У4-1)(а-~ Ьг)Р+'Л(, найдем Угы — — аХ ' Ъ,( (а, Ьз)Р~'гг('=(Рч 1)ЬУ чн ь(д41)Уры 4. Отсюда получаются первые две формулы (а+ел)4+'ля+' р-'и-, '2 у — 4 —,' — У, и(р.~.11 (рм-(1 (П) (и+ЬЙР( Я~ ЬР-' 9.~-2 Р, У = а(ч+ 1) а(4+1) (зм-и которые позволяют увеличить показатель р или с на единицу (если только он отличен от — 1).

Разрешая эти равенстваотносительно Ур+, 4, Хр „,изаменяяр и д соответственно на р — 1 и (1 — 1, придем к формулам У =--' —, — 4 — -- — -У (и —, Ьг)рд4-1 ар Р+4-,1 Р~-44-1 (р.( ( ' — (> С)У) которые позволяют у м е н ь ш а т и показатель р или д на единицу (если только сумма р+й отлична от — 1).

55 1 3. НнтегРиРОВАние РАдикАльных выРАженин Если ни р, ни д, ни р ьд не будут целым числом (так что интеграл зр ч не выражается в конечном виде через элементарные функции), то формулы приведения могут последовательно прилагаться без всякого ограничения. С их помощью п а р а м е т р ы р и (г могут быть сделаны, например, правильными дробями. Остановимся на более интересном для нас случае, когда интеграл берется в конечном виде. При этом можно предположить, что целым оказывается показатель р или ъ), так как случай целого р+() подста- 1 новкой я=- приводит к случаю целого й.

л Тогда последовательное применение выведенных формул позволяет свести этот целый показатель, р или ((, к О (если он был положительным) или к — 1 (если он был отрицательным). Этим обычно либо заканчивается юг'егрирование, либо — во всяком случае — значительно упрощается. П р и м е р ы. 1) Рассмозрим интеграл * Г хеъ Нъъ = ~ — ъух (т — целое). '!'1 - х' 1 ть1 Здесь я = 2, и= — —; поэтому при т нечетном оказывается целым числом 2 л лъ -~- 1 ть1 тр! 1 т ---, а при т четном — число .— +и= — — гак что во всех 2 л 2 2 2 случаях интеграл в конечном виде берется. Подстановкой я х' сведем его к ин- тегралу 1ьиъ! — (1 — г) ъ ъ ъ г(ъ=- — у Если, считая т 1, применить к этому последнему интегралу формулу (1ТГ), то получим 1 Ю-ъ (1-я)ъ ъ ъ у, и,--г лъ ъ ' ъ лъ — 1 — У и-ъ лъ ъ' ъ или, возвршцаясь к данному интегралу, 1 — —..- гл — 1 н„, = — — / ъ 11- хч -Р— Н т лъ Г хлх = — )г1 — хъ+С )Г1 — хъ * Аналогично можно исследовать и интегралы хъ' хяъ — ъ(х, ъ(х.

))х*-1 ~ М 1 Эта формула, уменьшая значение т на 2, последовательно сводит вычисление Н„, либо к [281 ГЛ. ШГ!. ПБРВООБРАЗНАЛ ФУНКНИЛ при т иечетыом, либо же к Г г[х Н,= ~ — =агсзгпх+С [11 — х' при гп четном. Пусть теперыл — 1, так что т = — )г, д 1. Примеыим ыа этот раз формулу (П) 1 а+1 (1 — г)'г г и+2 Х,,=2 + — Хг а+1 т+1 в+1 г' г г г откуда х — (л 1) ~1хг )г - 2 Н „,= — + Н (л г) ° )1-1 д-1 С помощью этой формулы мм имеем возможность уменьшать зыачеыие д ыа 2 и, послсдопательыо, свести вычисление Н „либо к при )г ыечетыом, либо же к г[х [г 1хг и,- -- +С хг [гг -хг при )г четном. 2) Если к иытеграчу * Х(хг+аг) +1 23 -(.+1),— ( =),з,з...) применить формулу ([) 1 (дг.~.к)-л г 2 Х + — -Х -(лЬ1), -- = 2л а' -л, — '' г то, аозаращалсь к Хл получим уже изаесгыую ыам [271, (б)] формулу щшкедешш 1 х 2л-11 Хлег =— + — — Хл.

2 г (хг+аг)л ' 2 дг 111. и гг ~~ г аг»ЙР ь ).пд вовки Эйлера, Переходим к рассмотрению очень важного класса интегралов [ Я(х, '[[ахз+Ьх+с))гХх. (4) * Аыалоглчыо можно исследовать и интеграл г[х (х'- агрг+1 ° т Ф 2811 57 1 а интегРиРоВАние РАдикАльных ВИРАжений Предполагаем, конечно, что квадратный трехчлен не имеет равных корней, так что корень из него не может быть заменен рациональным выражением.

Мы изучим три подстановки, называемые и о дстан о вками Эйлера (Ь. ЕН1ег), с помопсью которых всегда можно достигнуть здесь рационализации подинтегрального выражения. 1 подстановка приложима в случае, если а О. Тогда пола- гают СР ь* =-С Возводя это равенство в квадрат, найдем (по уничтожении членов ахз в обеих частях) Ьхч с=С — 2)Сагх, так что „- —; —; — и' к+с. 2 1СаС+ Ь 2)СаС+ Ь )Сас'-ЬЬС+с~а (2)сас+ь)' ссР+ьс - и~ ". Если возвести в квадрат, уничтожить с в обеих частях и сократить на х, то получим ах+Ь=хсза 2сссс — сновауравнение первой степени относительно х.

Отсюда 21ссс-ь х= —, а-с' )ссс'-Ьс+ ~lса "~лах'-ь Ьх+ с =— а-с' )сй -Ьс+ 1' (а-с')' Подставив это в (4), очевидно, осусцествим рационализацию подинтегрального выражения. Проинтегрировав, в результате положим с — —,и —,.— 1; с= х * Можно было бы положить и 1ах'Рьхьс = с+ 1сах, А* Или ССаххс+ЬхЬс=хС- 1Сс.

Все остроумие эйлеровой подстановки именно в том, что для определения х получается уравнение первой степени, так что х, а одновременно с ним также и радикал )сах'~Ьх+ с выражаются р а цион аль но через с. Если полученные выражения подставить в (4), то вопрос сведется к интегрированию рациональной функции от с. В результате, воз- ИР =-й~ Ь+ +СС. П п о д с т а н о в к а приложима, если с» О. В атом случае можно положить ( ( Ф Ф 58 ГЛ. УШ. ПБРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ Замечание 1. Случаи,рассмотренныевыше (а О и с О), прн- 1 водятся один к другому подстановкой х=-. Поэтому всегда можно избежать пользования второй подстановкой. Наконец, П1 подстановка пригодна в том случае, если квадратный трехчлен ах'+ Ьх -.' с имеет (различные) вещественные корни Л и р. Тогда этот трекчлен, как известно, разлагается на линейные множители аха-(-Ьх-(-с=а(х-Л)(х-(().

(И+ь -К -((. Положим Возводя в квадрат и сокращая на х — Л, получим и здесь уравнение первой степени а(х —,и) = 1'(х — Л), так что - а((+ Л(' а(Л-(х)( х= ', ах'+Ьх+с=— Л' — а л*-а т (я-л)1 „, О( — а)~ н т. д. 3 а м е ч а н и е П. При сделалвых предположениях радикал я*-(((*-Г(( д р а °,,*-(( ° г.- образовать к виду 1( х-(( (х-Л) 1( а —, х-Л ' при всех значениях переменной х имеет знак а. Случай а О нас не интересует, ибо тогда радикал вовсе не имел бы вещественных значений.

В случае же а=.О применима 1 подстановка. так что в рассматриваемом случае й(х, )ахх+Ьхьс)=Я,(х, ~а — „~, и мы, в сущности, имеем дело с диффере1щиалом изученного в и'278 типа. П1 подстановка Э й пер а, которую можно записать, в форме 1= ~Iа —, тождественна с подстановкой, уже указанной в 278. Покажем теперь, что 1 и П1 подстановок Э й л е р а одних доста- точно для того, чтобы осуществить рационализацию подннтеграль- ного выражения в (4) во всех возможных случаях. Дей- ствительно, если трехчлен ах'+ Ьх Ф с имеет вещественные корни, то, как мы видели, приложима П1 подстановка. Если же вещественных корней нет, т.