Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления), страница 11

е. Ьз-4ас«О, то трехчлен ах'+ Ьх Ф с = — ((2ах+ Ь)'+ (4ас — Ь')) зз) о 3. НИТВГРНРОЕАР!Не РАдикАльных ВыРАжений 59 Эти соображения приводят вместе с тем к общему утверждению: интегралы типа (4) всегда беруптся в конечном виде, причем для предтавления их, кроме функттий, через которые выражаются интегралы пп раттиональньтх дифференттиа тов, нужны еите лишь квадратные корни. 282. Геометрическая трактовка эйлеровык подстановок. Эйлеровы юдстановки, кажущиеся столь искусственными, могут быть все потучены из наглядных геометрических соображений. Рассмотрим кривую второго порядка или уо=ахоьЬх ~ с.

у=- +)тахо+ Ьх+ с .ели взять на этой кривой произвольную точку (хо,у), так что Уоо = ах3-' Ьхо+ с, (5) го проходящая через нее секущая у-уо=т(х-хо) пересечет кривую :ще только в о д н о й точке (х, у). Координаты последней найдутся тростым вычислением. Исключал у из уравнений кривой и секущей, толучим (у,+ т(х-х,)7=ах' —;Ьх ~ с, >ткуда, с учетом (5), 2Уот(х — хо) + то(х — хо)о = а(хо — хоо),'- Ь(х — хо) тли — по сокращении на х-хо— 2уот+ то(х — хо) =а(х+хо) т Ь. Гаким образом, абсцисса х, а с нею и орднната у второй точки пере:ечениявыражаются рациональными функциями отперененного углового коэффициента т. При этом очевидно, что, надлекаще изменяя г, можно заставить точку (х,у) описать всю кривую.

Теперь ясно, что зависимость )тахо + Ьх ь с — у т = т(х — хо) т определит ту подстановку, которая заведомо рационализирует подштегральное выражение в случае (4). Пусть трехчлен ахз >Ьх+с имеет вещественные корни 1 и р; это тначит, что наша кривая пересекает ось х в точках (г., 0) и (,и, 0); взяв, тапример, первую из них за точку (ло, у,), придем к П1 подстановке Эйлера )гале -~ Ьх -~ус = т(х - 2).

Если с О, то кривая пересекает ось у в точках (О, х "т'с); взяв одну лз них за точку (хо,уо), получим П подстановку Эйлера ) ах' 4 Ьх ч с х 'т' с =- тх. 1283 ГЛ. УН!. ПСРВООБРАЗНАЯ ФУ!!ипил Наконец, в сущности, в том же порядке идей получается и 1 подстановка Эйлера, лишь за точку (хо,уо) мы принимаем бесконечно удаленную точку кривой. Йменно, предполагая а О (в этом случае кривая будет гиперболой), рассмотрим асимптоту кривой у= х уах и станем пересекать кривую прямыми у=!+)Гах, параллельными асимнтоте (они будут проходить через упомянутую бесконечно удаленную точку). Каждая такая прямая пересекает кривую во второй точке !х, у), координаты которой будут рациональными функциями от 1, Отсюда подстановка ')'ахз -~ ~>х+ с = !-~-) ах 283.

Примеры. Нам уже известны два основных интеграла !269, 9) и 12); 268)! ссх =)П 1Х+)Хсаас! ФС, )схс Х ас х = агсяп — е С, )са' — х' опсосящихся к рассматриваемому типу. Отправляясь от них, можно вычислить и другие интегралы. сгх 1) †. При вычислении этого интеграла будем различать два случая: .) )=.В' и Оиа О. Если а» О, то интеграл легко преобразуется к первому нз основных В при — = .! ас) а 1 ~' с1х 1 !г  — = — 1в х Р ~! х'-'; — + С. с~~)„„с г. Можно еще умножить аргумент логарифма на и, чю введет дополнительное сла- 1 гаемое — 1псе и, следовательно, отразится лишь на С. Окончательно получим сух 1 = — 1п (ах+ )!а(ссхсЧ-В)1+С'.

)!ахсч-В )а < =о) (6) — — агсяп — х +С, !7) ! о) Если же а О, так что а=- — )а!, радикал перепишем в виде )сВ- /и!АК Для того чтобы радикал вообще мог иметь вещественные значения, необходимо предположить здесь В О. Интеграл преобразуется ко второму из основных интегралов (при — =-ас), и В ! 3. инте!'РиРОВАние РАдикАльных ВНРАжений 61 2) ) ~ГЫ4зуг(х бе(ются интегрированием по частям 7«х'~-Р Нх =- х)Чстзь()- ~ хг()Г~'~-17= --., г ( («х'+б) — б х !Г«х У Р вЂ” г(х —.

х )Г~٠—,гх Г Фх =х)'«А+Р- ~ )«хгч)) (х+б ~Г +в' Справа у нас снова получился искомый интеграл; перенося его налево и разделив все равенство на 2, найдем ~аЯ"=--М.В.- ~" 1 Гу Г ~ух 2 2 ~ )г«хг~Р (8) Для получения окончательного результата остается лишь вместо последнего интеграла подставить его выражение (6) илн (7), смотря по тому, будет ли «О или «О. бх (' ах г(х 3) (а) — , (б) (в) х~г«т'~-Ф .! х~~Гй +7) .1(«"'+Р)" 1 1 сводятся к уже известным интегралам простой подстановкой х —, Ых= — — Ю. Имеем (для определенности, пусть х и г О); (а) (х (' г(г х 1/«х!Щ .) ~(«+бгз — дальнейшее вычисление производится по формуле (6) или (7), смотря по знаку !).

Далее, Г (х (' г (г 1 )'-+Р (б) ~ =- — ~ — — — ~«+~3с'+С +С х' )Г«хг+ф )г«+ РГ з 1) 7)х и аналогично 4) Тождественные преобразования подинтегрального выражения приводят к уже вычисленным следующие, например, интегральс Г х' Ых Г '1«хгч-)7 ! х' (а) 1 — , (б) ~ Нх, (в) ~ с/х. 1у -р 3 ° 3( .в)! К интегралам (6) и (7) с помощью элемегпврных приемов приводятся многие другие.

Например, [283 ГЛ. Н!Н. 11ЕРНООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ Имеем хгг(х 1 Рехг+Д-4 1 ( Р ~ г(х (а) =- — г(х=-- "]гнхг+[) г(х-— ]!"-+В ".) ]!«. +б ".) ".) [(Ы+~ или, воспользовавшись формулой (8), х' г(х 1 !5 ~ г(х = — Х](аХг-Ь!5 — — " Н т. д. [СМ. 1)]. ]г —..~ 2 .) ].—.— +в Затем ][ахгз-р ~" ахг-ь!5 (' хггх ~ вх (б) г[х- г(хг и ).]! +[) ) Ч -.~ .).]! ТЧ' первый из интегралов берется сразу, второй вычислен в 3). Наконец, хг (вхг+[))Ч а ] ]Г г [) а / (ахг+Р)'!.

полагают 1=2ах-[-Ь. Таким путем, например, нз формул (6) и (7) получается при а. О г[х 1 =--г )з г гмы г*~г)*.= ]гахг+Ьх+с ]!с 1 Ь -~гвы ьтв +г. ]!а 2 (6") а при а«б г[х 1, 2ах+ Ь = — — агсз[п +С. ]гахг+Ьхфс да] ](Ьг — 4ас (7*) 6) Обратимся теперь к зйлеровым подстановкам. В 269, 12) мы фактически применили 1 п о д с т а н о в к у к вычислению интеграла Хотя второй основной интеграл )глг хг [см.

1) и 3)]. 5) Ясли под радикалоьг стоит полный квадратный т р е к ч л е н ах'+Ьх+с, часто выгодно линейной подстановкой свести его к д в у ч л е н у. Выделяя пол- ный квадрат 1 ахг-Ь Ьх-!- с = — [(2ах+ Ь)'+ 4ас — Ьг], 4а !283 ГЛ. У!Ц. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (а) сначала примеиим1 подстановку: !1хг-х-ь! 1 — х, гг 1 гг-г+1 г(х = 2- ггг, 21-1 (21-1)' .Й— г(х рг — 21Ь2 ~ 12 3 3 (= Й вЂ” — — + 1! (1-. хь)гхг — хь) ) Г(21 1)' ) 11 21 1 (И 1)'! 3 1 3 — — — +2 !п ! г! — - !п !21 — ! ! 1-С.

2 21-1 2 Если подставить сюда 1=х+ )Гхг-хч-1, то окончательно получим г(х х+ )гхг -х-~1 3 1 2хф2~!/хг — х+1 — 1 3 --!и (2х-ь2~/х' — х+1 — 1! ч-2!и (х+ !хг-х+1)+С. 2 (о) применим теперь и п о д с т а н о в к у: !/хг — х+1- гх-1, 21 — 1 х=— гг — 1 г хч )Гхг — х+! = —— 1 — ! Г- — Гг г(х Г 21'г21 2 Г)2 1 1 3 1 3 Х.)ГХг ХЬ! ) 1(1-1)(1-Ь1) ~ ~1 2 Г-! 21+1 (1+!) 1 3 1 3 = — +2 1п !1( — — 1и )1-1!- — 1п )1+1!-, С'.

ьь! 2 2 ух2-к+1+! Остается подставить сюда г= после очевидных упрощений получим х г(х Зх + х+ )гх' — хф1 !1х'-х+!+х+! 1 +21п ~)гхг — х-!-1+1~ — — !л ) !1хг-х+1 — хЧ-1!— 2 3 — — 1и ~)гхг-х+1+х+1~-~-С'. 2 Это выражение хотя и разлегся от ранее полученного по ф о р м е, но при С'=- 3 = С+- отождествляется с иим. 2 г(х 8) (х'+ а') )1аг - хг гг — г+1 — гг-1+1 г(х = — 2 г(1, )гхг — х+ 1 = (ге !)г гг — 1 1 3. иитегвиговаиие Радикальиьгх ВыРАжений (а) Так как корни подкоренного выражения вещественны, то можно прнмеаить 1Н и о д с т а н о в к у [(а'- х' = г(а- х); здесь -а «х«а и г О.

Имеем !в 1 4пгг(г 2аг 2аг(!а / !) х а —, г(х= )га'-хг = ., х'+а' = Г +1' (Г Р!) ' Г..(.1 ' ' (Гг+1). н — — )- Ых 1 ~27392 1 И 1 1 (х'-га))га'-.х' 2а'.) г +! 2а ( [г'+![72 2Р! г -с[Г2ь!д 1 = — [агсгк (г [72 2Р1)+ агс!е [г [Г2- !)[+с, а' )Г2 куда еше нужно подставить для поаучения окончательного результата Воспользовавшись формулой для суммы арктангеисов, а также очевидным соотношением 1 и агсгй — = — агой а* — (при а ~ ~0), и 2 можно придать результату более простую форму 1 х~2 ( н — — — агсгй +С, где С,-С+ а' '1'2 1'а' — х' 2а' )Г2/ (б) Нсии ктому жеинтегралу применить 11 подстановку (га' — х'=Гх-а, то получим, что г(х 1 = — —. — [агсгй [)72+ !)г+ агсгй ()72-1)г)+ С' (хг+ аг) ~гга~ — х ае )Г2 я+ )га' — х' при с= .

Этот результат годится в отдельности для прох межутка (-а, 0) и для промежутка (О, а); легко сообразить, что изменяя значение постоянной С' при переходе х через О, можно сделать его пригодным во всем промежутке (-а, а). Наконеп. если преобразовать его по формуле для суммы арктангенсов, то ои отождесгвится с предыдущим результатом.

ах 9) (х'+1) Я+ЛИ 1 подстановка: ()Р+)Иг = г — х. Имеем г(х [ 27Ы с7в (хз.Ь1) ~аз~.~ 7 !г+2(22-д)гь+дз ) игч-2(22-д)и+и' 5 Г. М. Фвхтевтопьв, т. !! бб 1284 ГЛ. ЧШ, ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ Таким образом, вопрос сводится к вычислению элементарного интеграла; в результате надлежит подставвть л=сз=(хь))Р+д)К 284. Другие приемы вычисления. Хотя подстановки Э й л е р а принципиально во всех случаях решают вопрос о вычислении интеграла типа (4) в конечном виде, но иной раз — при их применении — даже простые дифференциалы приводят к сложным выкладкам.

Ввиду важности интегралов рассматриваемого типа мы укажем и другие приемы для их вычисления. Для краткости положим н у =)РУ. У=ахз-;Ьх ьс Рациональная функция )т(х, у) может быть представлена в виде частного двух целых многочленов относительно х и у. Заменяя у' всюду на У, мы приведем Рг(х, у) к виду Р,(х) Ф Р,(х)у Ря(х) + Ря(х)у где Р,(х) — целые многочлены. Умножая числитель и знаменатель этой дроби на выражение Рз(х)-Р,(х)у (и снова заменяя уз на У), придем к новой форме для и Рт(х, у) = хгт(х) -1 Рчз(х)у. Интеграл от первого слагаемого справа мы уже умеем выражать в конечном виде: следовательно, нам надлежит заняться лишь вторым слагаемым.