Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления), страница 12

Умножая и деля его на у, окончательно получим такое выражение и "(х) — = Я*(х) 1 1 у уахз+ Ьх+ с интегрированием которого мы и займемся. Прежце всего выделим из рациональной функции й*(х) целую часть Р(х), а правильно-дробную часть представим себе разложенной на простые дроби (274). В таком случае интегрирование полученного выражения сведется к вычислению интегралов следующих трех типов; Р(х) Мх+зч( (х'+Рхчя)м уахз+Ы+с где все коэффициенты вещественны, а корни трехчлена хя+Рх+д— мнимые.

Остановимся на каждом из них в отдельности. 67 $ к интегРиРоВАние РАдикАльных ВыРАжении 2841 1. Положим (для т=0,1,2, ...), хгл (х~ дх г(х= !— ~/вх.*ь Ьх+ с Легко установить рекуррентную формулу для этих интегралов. С этой целью, считая т=!, возьмем производную (х-- )'У) =-( -1). --")'У~ -' — —.".-= 2)Ф 2(т - !)хгв- '(ах' + Ьх-Р с)+хгв ~(2ах+ Ь) 2 У'У х -' хвг =-та х +((т--)Ь=+(т — 1)с— )т 1 4 ~у )Т и проинтегрируем полученное тождество х '~у=та~и г ~т — к!Ь)г~ ~ ~ (т — !)с) П Беря здесь т=-1, найдем полагая затем т= 2 (и используя выражение для 1;), получим 1; = „—, (2ах — ЗЬ) У У+ — (ЗЬ' — 4ас) 1;.

Поступая так дальше, придем к общей формуле ~'" = рт- 1(хну+ 2в)о где р„!(х) есть многочлен (т- 1)-й степени, а 2 =сонэ(. Таким образом, все интегралы )г,„лриводятся к 1'. Если в интеграле 1 многочлен Р(х) будет л-й степени, то этот интеграл представит собой линейную комбинацию интегралов )гв, )"„...

..., )г„, а значит, по предыдущей формуле, напишется в виде г Р(х) ~ — Ых = 9(х)~У+ 2~' —, г ггх 1 )т 1у~' (9) Р(х) = м'(х)(ахв '; Ьх ч с) Р— Д(х)(2ах+ Ь) ч 2. где Д(х) — некоторый многочлен (и — 1)-й степени, а А =сопвп Самое определение многочлена Д(х) и постоянной 2 обычно производится по методу неопределенных коэффициентов.

Дифференцируя (9) и умножая полученное равенство на )гУ, получим ГЛ. Ч!И. ПБРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ 1234 Если вместо Д(х) подставить сюда многочлен (и-1)-й степени с буквенными коэффициентами„то в обеих частях мы будем иметь много- члены и-й степени. Приравнивая их коэффициенты, придем к системе и;1 линейных уравнений, из которых и определяется и коэффициентов многочлена Д(х) и постоянная А *. Замечание.

Формула(9) осуществляет выделение алгебраической части из интеграла Подобное же выделение могло бы быть произведено и по отноше- нию к интегралу общего вида где Я вЂ” знак произвольной рациональной функции. На этом мы не останавливаемся. П. Интеграл их (х-а)Я1У 1 приводится подстановкой х — и= — к только что рассмотренному типу. Действительно, имеем ,( ат я Ь (аа'+Ьа+с)!'+(2 а+Ь)г+а с(х = — — ахз Ф Бх+ с— гя' гз й так что (считая для определенности х .а и !»0) ах !» ! а!! (х-а)" уахь+ Ьх+ с ~ '!(лая+ Ьа+ с)! '+(2аа+ Ь)!+а Если аа'+Ба+ с=О, т. е.

а оказывается корнем трехчлена У, то дело еще упрощается: мы получаем интеграл твин, рассмотренного в 278. П1. (а) Обращаясь к последнему интегралу, рассмотрим особо случай, когда трехчлен ах'+Ьх+с лишь множителем а отличается от трехчлена х'+рх+ д. Тогда искомый интеграл имеет вид Ьгх+ Ч кт+1 (ахи+ Ьх-~-с) з * Из доквзаиного явствует, что зта система будет совместной при любых значениях свободных членов, в в таком случае ее определитель необходимо отличен от О, и система оказывается всегда определенной. Этим попутно устянзвливается и един с т вен наст ь представления 19).

(Ср. сгр. 42 и 46). 69 г е интеГРиРОВАние РАдикАльных ВыРАжении Его легко представить как сумму двух интегралов: М Г 2ахРЬ ( МЬ) Г «Гх «Ь 4 ЬГ-— 2а а«-«( 24)) г+) (ах«-Ь Ьх 4 с) (ах«+ Ьх 4 с) из которых первый сразу берется подстановкой «=ах -Ьх «с. Для вычисления интеграла ««х с«х ги+«( г«.« (аха+Ьх+с) г,) у г Ь ах+— у' 2 г=(у У)'= — = — = 2уу )«Ы+Ьх+с Возводя в квадрат и умножая на 4У, получим равенство 4«гУ= (У')' = 4а'хе+ 4аЬх 4 Ь' которое вычтем из умноженного на 4а равенства У=ахг~-Ьх+с.

В результате подучится 4(а — «г) У= 4ас — Ьг, откуда (1«)) Дифференцируя теперь равенство 2' найдем («У Й «г «(х = а а«х, так что ах а« ~у а- «' Из (11) и (10) — -! — ) ( — ')"-'~ ««х г 4 ~+1 (4ас-Ь«) г и, наконец, =-" -(-'- Г)«вЂ” у г (12) всего удобнее так называемая подстановка А б е л я (Ы.-Н. АЬЕ1) 70 ГЛ. ЧПЬ ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЙ Таким образом, весь вопрос сводится к вычислению интеграла от многочлена. В частности, например, при ля=1 имеем Лт 2 2ах+Ь (ахЯЬЬх-~-с)Ч 4ас-Ьы фахычьхч с (б) В общем случае для большей симметрии обозначений положим ах' Ф ьх + с = а(х' Ф р'х + у '), причем теперь мы можем предположить, что трекчлен в скобках не тождествен с трекчленом хт+рх+ у.

Поставим себе задачей преобразовать переменную х так, чтобы в обоих трехчленах одновременно исчезли члены первой степени. Пусть сначала р~р'. Тогда нашей цели можно достигнуть с помощью дробно-линейной подстановки х= —, с+1 ' надлежаще подобрав коэффициенты )л и ы. Имеем Оп+Рдьд)ыя+12ды-~-р(РФ«) —:2дйь(ыы-~-ры-~-д) ХЯ РХ+УО-~-1)' и аналогично — для второго трехчлена. Искомые коэффициенты опре- деляются из условий 2)лыьр()л+ы)+2у=О, 2ды ьр'(р) ы)4 2у'=О рчы= — 2 —,, 7лы= д д Рд Рд Р Р Р Р Таким образом, )л и ы суть корни квадратного уравнения (р — р')гт+ 2(у — у)г+ (р у -ру') = О.

Для того чтобы эти корни были веп1ествениы и различны * (необхо- димо и), достаточно условие (1 4) (у- у")Я-(р-р)(р'у-ру)-О; удостоверимся в его выполнении. Перепишем условие в равносильной форме МЧ- у')-рр')Я-(4у-Р)(4у'-р") (14е) Дано, что 4у-рт. О (ибо трехчлен хе 4 рх+у имеет мнимые корни), поэтому неравенство (14*) заведомо выполняется, если одновременно * При д.=. ы подстановка теряет смысл„вбо сводится я х = и, с ь интеГРБРОВАние РАЦНКАльньпс ВыРАжеиий 4д'-р' О. Остается исследовать случай, когда и 4с)' -р' О. Тогда с) О, с1' О и 4 Я>рр', и мы имеем последовательно ь (2(44 1) -рр')с=~4~ЧВ'-ррах= =- (4с1 — рс)(4д' — р') Р 4(рУд' — р'Д)'~(4с1 — р')(4С' — р'Р), Здесь дважды знак неравенства соединяется со знаком равенства, но равенство не может иметь место в обоих случаях одновременно: если цасу', то равенства, наверное, нет в первом случае, а при о=д', наверное, нет во втором.

Таким образом, неравенство (14*), а с ннм и 114), доказано. Выполнив подстановку, мы преобразуем искомый интеграл к виду РО) сЛс (сс+Л)~ )/ай+ф где РЯ есп, многочлен степени 2лс — 1 (и Л О). Снова прибегнув (при и 1) к разложению правильной дроби РЯ (С с.ь Луп на простые, мы придем к сумме интегралов вида — с(Л (1с = 1, 2, ..., Нс). . (сс+Л)Ц«с +р В исключенном случае, когда р=р', уничтожение членов первой степени достигается еще проще — подстановкой х= Р--, и мы н е- 2' посредственно приходим к интегралу только что указанного вида.

Полученный интеграл„естественно, разлагается на два: А «с сУс +В1 ( "3''1с'+Л)кс)l«сс+Р Л О'ЬЛУВ~ с*+Р ' Первый из них легко берется подстановкой и='у'асс ьр. Ко второму же приложима уже знакомая нам подстановка А б е л я ссс )'«с с+ р Именно, в силу (11), имеем нс ии )с«Сс+ф « — кс л -~. ч ь Поскольку . ")'Ф7 г тг [286 ГЛ. Чпс.

ПЕРВООБРЯЗНАЯ ФУНКЦИЯ кроме того, как легко вычислить, Д вЂ” аЛ) ис+ 1и' сз+А= — —— сс(и:и!) Поэтому с(с [. (и - исуи хм[ [ (Се+2) ~/аг*+р 3 [(С)-и1) *+С«'[ и искомый интеграл привелся к интегралу от рациональной функции. Замечание. Помимо того что мы в настоящем и'указали ряд новых приемов для вычисления интегралов типа (4), совокупность приведенных соображений дает независимое от прежнего доказательство утверждения, сформулированного в косще и' 281.

2И. Приме[ив 1) ха-х+1 с(х. [Сх'42х+2 Полагаем хв-х+1 ( с(х с[х = (ах'+ Ьх -Ь с) [Схс+ 2х+ 2+ д сГх'+ 2х 4 2 .) ~ГЗ+2х+г откуда хе-х41 (2ах+Ь)(хс+2х+2)+(ахя+Ьх-ьс)(х+1)+д Система уравнений За 1, 5а+2Ь=О, 4а+ЗЬ+с -1, 2Ь+с+д=1 1 5 1 5 приводит к значениям а= —, Ь= — —, с= —, д = —, Таким образом, если учесть 3 б б 2 пример 5) п' 283, окончательно получим х' — х+1 ! 5 с[к= — (2хс — 5х+1) [Схс+2х+2+-!л (х+1+ [Схс+2х+2)+С. )Схс+З +2 б 2 )' * с[х 2) (х - 1)э'[Схс -2х - 1 1 Подстановка х- ! =: — (ссли, скажем, х 1 и с»о) приводит ивтеграл к виду с с дс '!'1-2св Этот интеграл легко берется злемеитарпыми средствами [см.

283, 4)). 1 1 ОЛСЕЕЛС: — С ')С! - 2С с - — атеял С ")Г2+ С = 4 4 [Г2 1 1, 1(2 - — [Сх'-2х — 1- агсип — —. +С. 4(х-1)' 4)с2 х-1 3) (2хе — х+ 2)'Сс 2851 73 1 3. интеГРНРОВАние РАдикАльных ВыРАжений Подстановка Абеля 4х-1 с- 2 ~СЫ-х+2 преобразует интеграл следусолщм образом: — - ~"(г- *)Чс; 64 г 3375 " при этом можно либо лоаторить для частного случая общие выкладки п' 284, 1П (а), либо воспользоваться готовой бсормулой (12). 64 ~ 4х-1 1 (4х-1)е 1 (4х-1)с Олмеле -- — 2 ° , [+с. 3375 ( (2х'-х+2)'Сз б (2х'-х+2)'Св 160 (2хе-х+2)ь) 4) (хьз) 4х ( '-х+1)[С~+я+1 Дробно-ливенная подсзаеовка дс+ е с-Ь1 дает (Ссз ар+ 1)с*-'г [2(а х (дз-Р)+2[с + (ее х т Ь 1) х'*х-Ь1 (с+ 1)е Требования 2Са х(Сс+т)+2 О ИЛИ Д-Ье-О, ССР- -1 удовсвтворяются, например, при д=-1, Р = — 1.