Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика, страница 8

ЗАДАЧИ 1. В результате комптоновского рассеяния на свободном покоящемся электроне длина волны фотона с энергией в ф увеличилась в о раз. Найти кинетическую энергию '1, электрона отдачи. Ответ. й, = йф(о — 1)/о. 2. Фотон рентгеновского излучения с энергией йф в результате комптоновского рассеяния на свободном гюкоящелчся электроне отклонился от первоначального направления на угол д. Определить кинетическую энергию й „„„и импульс р,' электрона отдачи. Показать на основе геометрических соображений, что импульс электрона по абсолютной величине окажется больп~е импульса падающего фотона, если фотон отклонится от первоначального направления иа угол 0 =- л/2.

Ответ. Л ~, Л Ч- 2Лк в1п'(Р/2) l ' Эффект Комптона ЗЗ 3. Фотон с длиной волны Л рассеялся на движущемся свободном электроне. В результате электрон остановился, а фотон отклонился от первоначального направления иа угол О. Найти изменение длины волны фотона Л' — Л в таком процессе. Свести эту задачу к задаче о рассеянии фотона на неподвижном электроне. Ответ. Л' — Л =- — (2!гУтвс)з!пг(йУ2). В результате рассеяния длина волны фотона уменьшается. 4. Гамма-квант с энергией йи рассеивается на неподвижном электроне. Найти направления рассеянного кванта, чтобы при взаимодействии с веществом он мог породить электрон — позитронную пару.

Найти также предельное значение Н„рвд угла рассеяния, при котором этот процесс возможен для гамма-квантов очень высоких энергий. О т в е т. Рассеянный гамма-квант можот породить электрон-позитронную пару, если рассеяние происходит внутрь конуса 1 т,с г сов О > — 4- Йи Если жс направление рассеяния лежит вне этого конуса, то рождение электрон-.позитронных пар невозможно. Для квантов очень высоких энергий (пи -э оо) пары могут образовываться, если угол рассеяния ие превосходит д„т д = 60'. 5.

Показать, чю при взаимодействии с веществом фоюн сколь угодно высокой энергии, испытавший комптоновскос рассеяние на неподвижном электроне строго назад !и = я).не может породить электрон-позитронную пару. 6. Пусть и — частота фотона до комптоновского рассеяния на электроне в системе отсчета, где электрон покоится после соудареиия с фотоном, а и'— частота фотона после соударсния в системе отсчета, где электрон покоился до соударения (т.е. в лабораторной системе). Показать, что и = и' (теорема взаимности).

Реги ение. Обозначим рукописными буквами,Р и,У/' четырехмерные импульсы электрона и фотона (р, 6 /с) до соударения. Те же величины после соударения обозначим такими же буквами, но со штрихами. При упругом столкновении четырехмерный импульс системы фотон — электрон сохраняется: ,Р-и.УР=-.Р' 4-.У/". Переписав зто соотношение в виде,Р†.УУ" =,Р~ —,УР и возведя его в квадрат, получим .Р' +.1Р"'г — г,РУУд =.Рг" 4-.УР' — 2УР'.УР.

Квадрат 4-импульса частицы в пространстве Минковского ~) есть инвариант. Для электрона он равен г ~г , г г й г .Р =р — — ',з =р' — — ', =-тес, с с где через то обозначена масса покоя электрона. Для фотона такой же инвариант равен нулю: .Уг ~ = 0 !так как масса покоя фотона равна нулю). ) Напомним,что в таком пространстве квадрат 4-вектора равен разности квадратов пространственной и временной составляющих.

В скалярное произведение 4-векторов произведение временных составляющих также входит со знаком минус. г д.н. Сввухви. 'Г.М (Гл. 1 Кванты света Таким образом, лйуул =,уи.уу'. В системе отсчета, где электрон до столкновения покоился, за= (О, тас), .Уб' = (рф, Ьи')с), так что эйУУл = — тв)зи'. В системе же отсчета, где электрон покоится после соударения, .У' = (О, тас), УД= (рв, Ьи/с), .Уи,УГ= — твЬи.

8 4. Эффект Доплера нри движении источника света в вакууме с фотонной точки зрения 1. Фотоэлектрический эффект и эффект Комптона типично квантовые явлен я, не допускающие классической трактовки. В этом и следующих трех параграфах рассматриваются явления, которые допускают классическое и квантовое объяснения, согласующиеся между собой.

Рассмотрим сначала эффект Доплера (1803 — 1853) в нерелятивистском приближении. Возьмем какую-либо инерциальную систему отсчета, в которой источник света массы М движется в вакууме со скоростью в. Энергия исгочника слагается из кинетической энергии Мвз/2 и внутренней энергии 6 возбужденных атомов. При испускании света внутренняя энергия источника изменяется. Начальное значение ее обозначим че! рез а, конечное -- через Уз .

Кроме того, из-за давления излучения источник испытывает отдачу — его скорость получает приращение (в' — в). По законам сохранения энергии и импульса 2 М 2+8 М зз+Уч+)з 2 (4.1) Мв = Мв +1э„„, (4.2) где )с„„и Р„,л — энеРгиЯ и импУльс излУчениЯ в РассматРиваемой инерциальной сне"геме отсчета. Возведем второе уравнение в квадрат, разделим полученное соотношение на 2М и вычтем его из первого. Тогда получим Р зл <' б <'изл ~ Ризе или на основании (4.2) = "лзл тРлзл+ )м. 2М Отсюда и = и', что и требовалось доказать. Т. Показать, что частота фотона после комптоновского рассеяния в системе отсчета, в которой электрон покоится после соударения, равна частоте падающего 4ютона в лабораторной системе.

8. Показать, что прн комптоновском рассеянии в системе отсчета, все врелзя связанной с электроном, частоты падающего и рассеянного фотонов одинаковы, а импульсы равны по величине, но противоположно направлены. я 4) Эффект г)валера с фотонной тачки зрения 35 Если масса источника М велика, то последним членом в этом уравнении можно пренебречь. В этом приближении — = 6'„„— кр„ 14.З) 1г — й' = й„1 — — соя в (4.4) где Π— угол между направлением движения излучающего тела и направлением излучения (т.

е. угол между векторами и и р). Соотношение (4.4) было получено без использован л каких бы то пи было квантовых представлений. При его выводе использовались только законы сохранения энергии и импульса, справедливые как в классической, так и в квантовой физике. Примем теперь, что излучение происходит в форме фотонов. Предположим, что испущен один фотон. Если часготу фотона в системе отсчета, в которой излучатель движется (т, е. в рассматриваемой нами инерциальной системе отсчета), обозначить через и', то б'и.

= 6и'. с1астоту же излучения в системе отсчета, где излучатель покоится, обозначим через и. 'Гогда, рассматривая процесс испускания в такой системе, можно написать б — Ф' = Ьи, так как в этой системе изменение внутренней энергии излучателя происходиг только за счет испускания светового кванта. Подставляя эти выражения в соотношение (4.4) и сокращая на 6, получим р Р Р с 1 — -- соя у с (4.5) Эта формула верна только в первом порядке, т.е. с точностью до членов первой степени относительно и/с,так как она была получена на основе нерелятивистской механики.

Поэтому вместо формулы (4.5) с той же точностью можно пользоваться формулой и = и 1+ — сову с (4.6) 2. Получим теперь для эффекта Доплера реллтивистскую формулу, которой можно пользоваться уже при любых значениях скорости о. В этом случае нет смысла разделять полную (релятивистскую) энергию ! тела на кинетическую и внутреннюю.

Под а' и й мы будем теперь понимать полные энергии тела в рассматриваемой инерциальной системе отсчета до и после испускания света соответственно. Соответствующие з энергии покоя тела до и после испускания обозначим через йо и бо. Снова будем оперировать с энергиями и импульсами, вводя квантовые представления лишь на заключительном этапе вычислений. В этом соотношении можно еще исключить импульс излучения. Излучение существенно рсллтивисошкий обзскт. Для него импульс выражается через энергию соотношением р„, = в„„,/с. Подстановка этого выражения в предыдущее уравнение дает (Гл.! Кванты света Законы сохранения энергии и импульса при испускании свеча удобно записагь в форме л з — 8 изл Р Р Ризл ° (4.7) Возведем оба равенства в квадрат, умножив предварительно второе из них на с, а затем вычтем почленно.

С учетом соотношений 2 ч,.ч т з ч,зз (Рс) = "о в (Р с) = во 8'изл = ср зл получим за .2 2 рсо 233изл + 2с Р Ризл Учтем геперь, что й 1ф р=шп= зю= с с где )з = е/с. Тогда (4.8) й о — йо —— 21с(1изл(1 — Д сов В), или 28 11о-1г =-,— — ',—,3 (1-8 В). го 8 у "изл Здесь, как и прежде, в означает угол между направлением движения излучающего тела и направлением распространения излучения.