Д.В. Сивухин - Общий курс физики. Том 5. Атомная и ядерная физика, страница 9

Если масса гела велика, то в знаменателе последнего соотношения можно положить 1'о = йо. Учтя еще, что й = го!~Л вЂ” До, придем к соотношению (е".о — 8~)~/1 — До = 1'„, (1 — Дсозд). (4.9) Теперь воспользуемся квантовыми соотношениями 1со — Фо = Ьи и йи, = би', совершенно такими же, как и в нерелятивистском случае. В результате и получим релятивистскую формулу для эффекта Доплера: и =и —— НГ1:: У (4. 10) 1 —;3 сов и ' 3. Обе формулы фогонной теории для эффекча Доплера, нерелятивистская (4.5) и релятивистская (4.10), совпадают с соответствующими формулами, которые дает классическая волновая теория света (см. т.

1Н, З 107, 108). Глубокая причина такого совпадения состоит в том, что в фотонной теории обе формулы получаются из соотношений (4.3) и (4.9). Эти же соотношения, поскольку они выведены из одних только законов сохранения энергии и импульса при испускании света, остаются справедливыми независимо от того, представляет ли свет непрерывные волны или состоит из отдельных фотонов. Единственное предположение квантового характера, которое было сделано при выводе формул для частоты испускаемого света, состоит в том, что энергия фотона однозначно определяотся его частотой.

Более того, связь между этими величинами должна быть специального вида: йб) Отражение. и преломление света. Фотоны в среде 37 энергия фотона пропорциональна частоте света. Значение же коэффициента пропорциональности, т.е. постоянная Планка ?сс выпадает из окончательных формул для частоты колебаний. А то обстоятельство, что связь между й и и должна быть именно такой, видно из того, что при преобразовании Лорентца величины 11 и и преобразуются одинаково. Только благодаря этому, как уже отмечалось выше, соотношение й = йм релятивистски инвариантно. Мы вернемся к эффекту Доплера в й 6, где предполагаечся, что источник света движется не в вакууме, а в среде с показателем преломления п. 8 5.

Отражение и преломление света в фотонной теории. Фотоны в среде 1. В Х1Х веке считалось, что опытом Фуко окончательно опровергнута корпускулярная теория свеча. Этот опыт доказал, что скорость света в воде меньше, чем в вакууме. Однако по волновой теории такое соотношение между скоростями относится к фазовой скорости свеча. В опыте же Фуко, если бы свет действительно представлял собой волны, то измерялась бы групповая скорость (см. т.

1Ъ', З 108). Поэтому с чисто логической точки зрения аргументация физиков Х1Х века должна быть дополнена указанием на то, что в опыте Фуко скорость света измерялась в практически недиспергирующих средах. В этом случае фазовая скорость совпадает с групповой. Заключение о несостоятельности корпускулярной теории остается верным, с той существенной оговоркой, что оно относится не к корпускулярной теории вообще, а к корпускулярной теории в форме Ньютони Как же обстоит дело в фотонной теории Эйнштейна? Отражение и преломление света в корпускулярной теории Ньютона рассматривалось на основе классической ньютоновской механики.

К фотонам классическая механика неприменима. Природа фотонов -— двойственна . При распространении они ведут себя как волны и только при взаимодействии с веществом проявляют свойства 'часспиц. А поскольку отражение и преломление являются спепиальными случаями распространения света, фотонная теория при рассмотрении этих явлений должна приводить к тем же результатам, что и классическая волновая теория. 2. Этот вопрос заслуживает более подробного рассмотрения, которое и приводится ниже. В среде, как и в вакууме, можно ввести представление о распространении света в виде фотонов. При этом среду мы будем считать неподвижной Иными словами, будем рассматривать явления в системе отсчета., относительно которой среда неподвижна. Такая система является выделеннойс или привилегированной. Вопрос заключаегся в том, каковы энергия и импульс фотона в среде? Заметим, что зперг л и импульс фотона слагаюгаел из энергии и импульса элекпсрвмагпиптого полл и среды.

Но в нашем рассмотрении идет речь о сумме этих величин, т.е. о полньсл энергии и импульсе, связанных (Гл. 1 Кванты света с распространением фотона в среде. Среду мы будем считать изотропной и характеризовать ее свойства показателем преломления п(ш). По фотонным представлениям при отражении и преломлении о6- щее число фотонов не меняется.

Если граница неподвижна, то не меееяютсл и энергии отраэюенного и прошедшего фотонов. Докажем это утверждение сначала для отражения, предполагая, что фотон падает на среду из вакуума. Энергия падающего фотона б, = 6«й, т.е. однозначно определяется частотой ш. Такое же соотногпение между энергией и частотой должно существовать и для отраженного фотона, поскольку он распространяется в таком же вакууме, как и падающий фотон. Но при отражении от неподвижной границы частота ш не меняется. В противном случае происходило бы изменение цвета отраженного луча, чего на самом деле не происходит.

Таким образом, энергия отраженного фотона й, также равна Ьей, т. е. 1г = «', 3. Для прошедшего фотона указанное утверждение не столь очевидно. Чтобы его доказать, рассмотрим плоскопараллельный пучок, состоящий из Х, монохроматических фотонов, падающий из вакуума под любым углом на неподвижную границу среды. Пусть число отраженных фотонов будет Ю„, прошедших Хй, а соответствующие им энергии (Г„и (йй.

По закону сохранения энергии (5.1) Условие сохранения общего числа фотонов: 1У, = Х, + еУй. (5.2) Наконец, по доказанному й„= й, Отсюда получается йй = й„ чго и гребовалось доказать. Таким образом, и для фотонов в среде справедливо соотношение 3 = Ьш. Рассмотрим теперь импульс фотона в среде. Как и в случае энергии, можно написать (5.3) М,р, = Х,р, + айра, М, = Де, + Дей, где индексы е, г, д относятся к падающему, отраженному и прошедшему фотонам. Рассмотрим сначала поведение касательных составляющих импульсов. Направим ось Х вдоль границы раздела, а ось еб— перпендикулярно к ней.

Любая теория должна приводить к закону отражения, из которого следует, что р, = р„ . Но тогда для р, р,, рй, получается в точности такая же система уравнений, как и для соответствующих энергий. Из нее находим (5.4) Рех Р1х = Рйх~ т.е. касательные составляющие импульсов всех трех фогонов одинаковы.

Совсем иначе ведут себя нормальные составляющие. В этом случае по-прежнему мер е = а1 Р + а1йрйх. йб) Отражение и иреломление света. Фотоны в среде 39 Однако если падающий фотон приближается к среде, то отраженный удаляется от нее, так что р„, = — р„. В результате получится »сД» + м~ )Р» = мара» или '»»»»+ ~~с)ре ('~е ~с)рв»~ илн, наконец, »"»', -Е д»„сов р М, — М„сов»)» где 9» — - угол падения, а»)» -- угол преломления. Конечно, связь между рв и р, определяется свойствами среды и не может зависеть от характера поляризации падающего света. Это позволяет упростить вычисления. Предположим, что падающий свет полярнзован перпендикулярно к плоскости падения.

Тогда электрические векгоры всех фотонов будут коллинеарны, так что на основании формулы Френеля »»»»„'и сов ф — сов и» »»»» и сов»)» + сов с» (см. т, 1Ч, 9 65). Действительно, в монохроматической волне все фотоны когерентны, и поэтому Ю„,1Х, дает отношение ал»плитуд, а не интенсивностей отраженной и падающей волн. Выбор знака в последней формуле определен из тех соображений, что числа фотонов Д»„и Л'» существенно положительны. В результате получается Рд пр». (5.5) 4. Резюмируя изложенное, приходим к заключению, что, как и в вакууме, энергия и импульс фотона в веществе определяются формулами »с=Асс, р=дк. (5.6) Однако в веществе волновое число lс = пи»!с, (5.7) т. е, в и раз болыпе, чем в вакууме.

Если ввести фазовую скоросгь и = = с сп и длину волны Л = 2яи /оо в рассматриваемой среде, то получатся формулы (5.8) й = со/и = 2х/Л, одинаково применимые к вакууму и веществу, так как в вакууме и = с. Связь между энергией и импульсом фотона в среде принимает вид 6 = ри = рс/и. (5.9) Разумеется, это соотношение справедливо только в привилегированной системе отсчета, в которой среда покоится. Из изложенного видно, что фотонная теория преломления света аналогична ньютоновской. Обе теории определяют угол преломления светового луча из закона сохранения импульса, точнее его тангенциальной составляющей.

Только ньютоновская теория связывает этот (Гл. ) Кванты света закон с направлением силы, действующей на световую корпускулу нормально к границе раздела, что в случае фотона лишено смысла. Количественное же различие между результзами обеих теорий связано с тем, что импульс ньютоновской корпускулы пропорционален ее скорости и, а импульс фотона в среде обратно пропорционаяеи. По этой причине фотонная теория приводит к такому же выражению для показателя преломления, как и классическая волновая теория. Представление о фотонах в среде применимо не только к преломлению света, но и ко многим другим явлениям, о которых говорится в последующих параграфах.

5. В заключение — одно принципиальное замечание, затрагивающее уже физическое толкование корпускулярно-волнового дуализма. Как уже было отмечено выше, общее число фотонов при отражении н преломлении не меняется. Если на границу раздела падает всего один фотон, то после падения он будот обнаружен либо в виде отраженного, либо в виде прошедшего фотона. Импульс у отраженного фотона— такой же по величине, как и у падающего, но имеет иное направление. Импульс прошедшего фа гона меняет не только направление, но и величину.