А.Н. Матвеев - Оптика, страница 6

Волна, у которой поверхностями постоянных фаз являются плоскости, называется плоской. Учитывая, что 3 К заоыи илоекоа волиы в вектор- вит осозвооеиват (2.33) Х = сТ=2яг(ез, запишем (2.29) в виде Ф(", г) = А сов (ыг — ыг)с) = А соя(ыг — йх), (2.34) где зт = ы/с = 2я/). — волновое число. Волновой вектор. Чтобы освободиться от использования системы координат, запишем (2.34) с помощью векторных обозначений. Пусть вектор й ранен по модулю волновому числу и направлен параллельно оси У в сторону положительных значений (рис. 5). Такой вектор называется волновым. Принимая во внимание, что й.г=йз, запишем для произвольной точки, характеризуемой радиусом-вектором г, вмесю (2.34) выражение 6 Взевмзма араеитировка еектороа еловкой эмктроматкитвоя волкы (2.35) Эта формула не зависит от системы координат и характеризует плоскую волну„распространяющуюся в направлении вектора й.

страняющаяся в направлении отрицательных значений оси у, зз описывается очевидно функцией $2 Аналогичное (2.3зз выражение лля волны можно также написать с использованием синуса: (2.3б) что опять-таки при подходящем начале отсчета времеви может быть сведено к (2.3зь поскольку з)п (и+ я/2) = — сок и. Представлеаяе плоской волны в комплексной форме.

Принимая во внимание формулу Эйлера е" = сока+(ипа, (2.37) представим выражения (2.35) и (2.36) формулами (2.38а) (2.38б) где Ке и 1ш — вещественная и мнимая части комплексного числа. В расчетах удобно пользоваться комплексным представлением плоской волны в виде (2.39) обозначая комплексную величину тем же символом, что и действительную. Это упрощает написание формул и не приводит к путанице. В тех случавх, когда путаница все же возможна, будем в явном виде указывать, о какам представлении идет речь. Величина А в (2.39) может быть как действительной, так и комплексной или мнимой. Учитывая, что в общем случае А = (А!е" (2.40) запишем выражение (2.39) в вине (2.41) 'где!А) — амплитуда плоской волны.

Поэтому и в (239) )А! — амплитуда плоской волны, а гсг — й г — 9 — фаза, где 18 р = 1пз А/ив А. Представления сферической волны в комплексной форме. Из способа записи плоской волны в комплексной форме очевидно, что расходящаяся и сходящаяся сферические волны согласно (2.28) могут быть представлены соответственно в виде Д. 42) Я.43) Следует обратить внимание, что в показателе экспоненты этих формул стоит не скалярное произведение й г, а произведение положительных величин Ь и г. Плоская электромагнитная волив. Для анализа структуры плоской электромагнитной волны удобно записать уравнения Максвелла в символической форме с помощью оператора (2.44) (2.45) 62 Принимая во внимание, что чо! А = Ч х А, 6!ч А = Ч " А,. Е:: —:Л уравнения Максвелла (2.1) — (2.э! можно записать так: ЧхВ =роеодЦдг, (2.46) Чх Е = — дВ(дг, Ч В=О.

(2.48) Ч Е=О. (2.47) (2.49) Будем искать решение этих уравнений в виде Е(г, Г) =Еое ""' (2.50) В(г,г) =В,е '"' ьс.51) где Ео и Во — постоянные векторы, не зависящие от координат и времени. Компоненты этих векторов могуг быть комплексными. Подставляя выражения (2.50) и (2.51) в уравнения (2.46) — (2.49) и учитывая, что Че'"' =г!ге ', — е '"' = — ное ' ', (2.52) дг получаем следующие соотношения тс.54) (2.56) — йх В = ог(гоа Е, (2.53) !гх Е = огВ, !г В=О, (2.55) !г-Е = О.

1~ сгВг Ег 1г = Е'В (2.58) Из соотношений !г.5эт и (2.56) следует, что векторы Е и В плоской волны перпендикулярны оекюру !с, т.е. направлению распространения. Зю означает, чю электромагнитная волна является поперечной. Соотношения (2.53) и (2.54) показывают, что векторы Е и В взаимно перпендикулярны. Таким образом, Е, В и 1с сосгавггягог ~ ройку взаимно перпеиликулярных векторов (рис. 6). Поперечность световых колебаний была открыта в Р817 г. Т.

Юнгом (1 773 — 1 829). С помощью эгого представления он объяснил отсутствие интерференции лучей света, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях, обнаруженное в 1816 г. экспериментально в совместной работе Д. Ф. Араго (1786 — 1853) и О, Ж Френеля (1788 — 1827). Взяв от обеих частей (2 54)'модули !й х Е~ = ог!В~ и учитывая, что !й х Е1=!й!!Е!,!й)=)г=ог/с, находим следующее соотношение межлу напряженностью электрического поля и магнитной инлукцией плоской волны в вакууме: В=сВ. (2.57) Поскольку 8, ог, ро.

ао в (2 53) и (2 54) — вещественные величины, из (2 50) и (2 51) заключаем, ого Е и В в плоской волне ггзмеияготся в одинаковой фазе, т. е. одновременно достигаюг максимальных и нулевых значенггй (рис. 7). Инвариантность плоской аоляы. Основными свойствами плоской волны являются взаимная перпендикулярность векторов Е п В волны и соблюдение соотношения (2.57) между ними. Прежде всего возникает вопрос об инвариантносг.и плоской волны, т. е. вопрос о том, что плоская в одной системе координат волна является плоской волной во всех лругих системах координат, лвижущихсж относительно первой равномерно и прямолинейно.

Ответ на этот вопрос основывается на инвариаитах электромагнитного поля. Как показано в курсе электричества и магнетизма, при преобразованиях Лоренца инвариантными являются следующие величины, характеризующие электромагнитное поле: 7 Извсвсвос освсоров влосвоа вол- ВЗ1 о Вкосзковс'сос (2.59) где (2.60а) (2.606) Х2 У ХЗ=, Х4=1С Х1 =Х, /11 = 724, /42 = ЬЗ, 12 =/сс, 744 =1а/с.

Праная часть (2.59) имеет вид скалярного произведения. Поскольку совокупность величин' (2.60а) составляет четырехмерный вектор, из инвариантности скалярного произведения в правой части (2.59) (инвариантность фазы) следует, что совокупносзь величии (2.60611алже составлке1 четырехмерный век1ор Это позволяет по известным формулам теории относительности преобразоназЬ Этн велнчины от одной системы координат к другой. Формулы преобразования частоты и напрзяления распространения плоской волны. Обозначив п елиничный вектор в направлении распространения плоской волны, представим волновой век- тор в виде 11 = пв/с. Посколъку совокупность (711, /22, /сз, /44) составляет четырехмерный вектор„получаем слелуюпзие формулы преобразования: вял = в'((3+л,')/ /Т 0~2 , ви„= ез'л'„, (2.61) Зол, =а'л,', а=а'(1+()п')/ /Т вЂ” (Р, Если в некоторой системе координат электромагнитное поле составляет плоскую волну, Зо 11 = О, 12 = О.

Ввиду инвариантности этих величин относительно преобразований Лоренца , они равны нулю также и во всех других системах координат. А это в соответствии с (2.58) озна- чает, что злекзромагнитное поле в других системах координат также является плоской, волной. Тем самым доказана инвариантность плоской волны. Иивариаппиюгь фазы.

Ясно, что утверждение о равенстве нулк1 векторов ноля волны в не- которой пространственно-временнбй точке имеет объективный смысл независимо от того, в какой системе координат эта пространственно-временная точка рассматривается. Другими словами, векторы полк в этой пространственно-временнбй точке во всех системах координат равны нулю. А это означает, что фаза волны во всех системах координат одна и та же, что докав зывает ее инвариантность. Инвариантность фазы следует из формул преобразования векторов поля.

Написав формулы преобразования векторов электромагнитного поля плоской волны и подставив в них выражения вщв (2.50) и (2.51), сразу заключаем, чзо для справедливости фор- мул преобразованюг в любых пространственно-временнйх точках необходима инвариантность фаз волн. Четырехмерный волновой вектор. Фазу можно представить в вцле К г 1ВС = й!Х! +02х2 +74зхз+64Х4, где величины со штРихами относятся к системе координат К', коюрая движется относительно зй неподвижной системы координат К в направлении положительных значений оси Х со скоростью ,, (Р = о/с).

Оси Х и Х' совмещены, оси У', у' соответственно параллельны осям У и Е 82 Эффект Деплера. Согласно формулам (2,61), частота зависит от относительной скорости источника и наблюдателя. Из последнего из уравнений (2.61), воспользовавшись принципом относительности, получаем формулу в = в' з/1 — Р' /(1 — Рл ), (2.62) которая описывает эффект, открытый Доплером (1803 — 1853) в 1842 г. При малых скоростях (Р = о/с и 1) формула (2.62) упрощается: в = в' (1+ Рл ) . (2.63) Если волна распространяется вдоль оси Х, то л„= +1 и (2.63) принимает вид бв/в' = (в — в')/в' = + о/с. (2.64) Знак «+» относится к случаю, когда источник приближается к наблюдателю, а знак « — »,— когда удаляется от наблюдателя.

Этот случай изменения частоты называется пролольным эффектом Доплера. Если скорость источника перпендикулярна направлению наблюдения (п„=0), то проявляется поперечный эффект Доплера: в=в' /Т вЂ”,РУ. гс.65) Он обусловлен множителем /Т вЂ” РУ в (2.62) и является чис|о релятивистским эффек(ом, связанным с замедлением ~ечения времеви движущегося наблюлшеля. Наличие эюго эффекта бьшо подтверждено зксиеримеш.ально. Прпмер 2Д. В направлении положительных значений оси Х со скоростью о движется зеркало, отражающая плоская поверхность которого иерпецдикулярна оси Х. На зеркало под углом Оо с яД к положительному направлению оси Х падает луч света. Найти направление отраженного от зеркала луча. Луч лежит в плоскости Х У.

Проекции единичного вектора п, направленною вдоль падающего иа зеркало луча, равны (соз Оо, з)п Оо, О). Если бы зеркало было неподвижным, то проекции единичного вектора, характеризующего отраженный луч, вследствие равенства угла отражения и угла падения были бы равны ( — сов Оо, з|п 8о, О). При отражении от лвижущегося зеркала явление усложняется. Решим задачу, воспользовавшись принципом относительности: рассмотрим отражение в системе К', где зеркало покоится и закон отражения известен. Из (2.61) и (2.62) получаем формулы преобразования от системы К к системе К': Ф Суптествование влектронагннтнып волн следует нз уравнений Максвелла.