А.Н. Матвеев - Оптика, страница 5

Расчет показывает, что необходимые для этого температуры очень малы и составляют несколько деся~ков кельвин. Поэтому осуществить ночное зрение можно лишь с помощью приборов, поддерживаемых при достаточно низкой температуре. Получаемое в таких приборах изображение в микроволновом диапазоне преобразуется в изобрюкение в длинах волн видимого диапазона и наблюдается глазом при обычных температурах. В процессе преобразования изображений соответствующие сигналы могут быть усилены или подвергнуты 17 соответствующей обработке, что позволяет получить высококачественное видимое изображение.

82 ! 8 2 Свойства электромагнитных волн С поыоюью урапаанпя Махапапхв выоопхтах оановоыа авоаахьа эпаххромпгоотпых волн. Электромагнитная природа света. Существование электромагнитных волн было теоретически предсказано Максвеллом (1862 — 1864) как прямое следствие из уравнений электромагнитного поля. Скорость электромагнитных волн в вакууме оказалась равной величине 1/ /сора (в современных обозначениях), называемой в то время злектродинамнческой постоянной. Ее числовое значение (3,1 1Оп м/с) было получено несколько раньше (1856) из электромагнитных измерений В. Е. Вебера (! 804 — 1891) и Р. Г.

Кольрауша (1809 — 1858). Оно почти совпадало со скоростью света в вакууме, равной, по измерениям И. Л. Физо (1819 — 1 896) в ! 849 г., с= 315.10п м/с. Другое важное совпадение в свойствах электромагнитных волн и света обусловлено поперечностью волн: Поперечность электромагнитных волн следует из уравнений Максвелла, а поперечность световых волн — из экспериментов по поляризации сне~а (Юнг, 1817). Этн два факта привели Максвелла к заключению, что свет представляет аобой электромагнитные волны.

Существование электромагнитных волн экспериментально было доказано в 1888 г. Г. Р. Герцем (1857 — 1894). Длина волн, генерированных и детектированных, составляла примерно 66 см. С помощью металлического зеркала Герц наблюдал отражение и преломление волн, изучил их поляризацию, получил стоячие волны, доказав тем самым их способность к интерференции. Волновое уравнение. Уравнения Максвелла для вакуума при отсутствии токов () =0) и зарядов (Р=О) имеют следующий вид: (2.2) гог Е = — дВ/дг, (23) гот Н = дО/дг.

(2.4) пй 33=0, (2.3) д!у В =О, (2.5) Р =еоЕ, В=роН, где еа и ро — соответственно улеьтрическая и магнитная пос т оянные. Применяя к обеим частям уравнения (2.1) операцию го1, получаем — гог го1 В = — ео — (гогЕ), 1 д и. дг П.б) где учтены соотношения (2.5) и принято во внимание, что порядок дифференцирований по независимым переменным (пространственным координатам и времени) можно изменить. Принимая во внимание векторное равенство го1 го1 В =йгад сйа  — 17'В (2.7) и заменяя в правой части (2.6) гог Е его выражением (2.2), получаем уравнение для В; (2.8) Аналогично„применяя операцию гог к обеим частям равенства (2.2), получаем уравнение лля Е: (2.9) Оператор !2.10) ~у'Ф вЂ” — — = О.

1 д'Ф с' дг' (2.12) Найлем общее решение этого уравнения лля случая, когда Ф зависит только от одной из декартовых коорлинат, например с, т. е. Ф Ф(г, г). Это означает, что Ф имеет постоянное значение в точках плоскости, перпенлихулярной оси У. В этом случае уравнение (2.12) принимает вид а'ф ! а*ф — — — — =О. (2.13) Используя новые независимые переменные Ц =: — сг, ц = г+ сг, (2.14) получаем дф аф дь + аф дг дй дг дч аф дф да дф в + дс д( дг д1 аф + дф дг дб !ал' дп дф дф — = — с — +с —.

ас аб ач (2.15а) (2.156) Разделив обе части уравнения (2.156) на с и вычитая их почленно из левых и правых частей уравнения (2.15а)„находим д 1 д д — — — — — 2 —. (2.16) Аналогично, почленное сложение правых и левых частей тех же уравнений лает д ! д д — + — — =2 —. ае с аг дп' Тогда ( д 1 д т г д 1 д т дз ! аз + дг с аг) ( аг с аг) аг' с' а!з С учетом (2.16) и (2.17) преобразуем уравнение (2.13) к аиду дзф 1 д*ф д д — з — —, — — — 4 — — Ф=О. (2.18) Интегрируя (2.! 8) по 4, получаем независимую от д функцию, которая в данном случае може ~ зависеть только от гь т.

е. является произвольной функцией Ч'(ц). После экого уравнение (2,18) принимает вид (2.17) где с = 1/ т/вой — скорость света в вакууме, называется оператором д' Аламбера. С его помощью волновые уравнения (2.8) и (2.9) могут быть записаны в форме пк = о, пв = о. Д.11) Плоские волны. Большую роль в физике играет волновое уравнение.

Для скалярной функции Ф оно имеет вид г Волне днлжетсв е ввврвплепнн положнтельпых знвчскзй зз Ф Фз(з — а) (2.21) (2.22) 3 Волна Лвнжетсл л вворввлеана етрвпетельвых знвченнй щ Ф у=ям(з + сз) (2.24) Ф =Фз(г+сс) (2.25) О Почему не может существовать уннверсальнотю соотнющенмв пожду частотюй волны н вопновын чнозаму Какое умнверсапьнов соотнощенне существует между частотой н волновым чнслон в нзотропной среде с настоенной скоростью распространеннк волны! Откуда следует инвариант- ность плоской волны! Как преоарозущтсв частота ванны н волновой вектор прн переходе между ннерпмальньщн снстемамн отсчета! Интегрируя (2.19) по т1, получаем Ф = ! Ч'(ц) бц = Фз (т1) + Фг Я), (2.20) 'где Фз(ц) — первообразная функция в интеграле от 'У(ц) по бц, Фг(4) — постоянная интегрирования.

Как видно по ходу решения, функции Фз и Фг произвольны. С учетам (2.14) общее решение (2.20) уравнения (2.13) может быть записано в виде Выясним физический смысл этого решения. Сначала проанализируем решение График Фг как функции от - в моменты времени г и с+Ьг изображен на рис. 2. Видно, что значение аргумента функции в ~очке г в момент г совпадает со значением аргумента функции в усике г+Ьг в момент г+Ьг, если Ьг=сЬг, поскольку г — ос = г+Ьг — с(г+Ьг) (Ьг=сЬг) .

(2.23) Поэтому график функции для г+'Ьг получается из графика лля г смещением всех точек кривой в направлении положительных значений оси д на Ьс= сЬг. Следовательно, скорость волны равна л=Ьг/Ьг =с. Функция Фз(г — су) описывает волну произвольной формы, движущуюся со скоростью с в направлении положительных значений осн Х В процессе движе)шя значение Фг в каждой точке волны и форма волны не изменыотся. Физический смысл Фз, т. е. решения выасняется аналогично.

Учитывая, что = +сг = =+Ьг+ с(с+Ьу) (Ьг = — сЬг), заключаем, что функция Фз (г+ сг) описывает волну произволь. ной формы, двюкушуюся со скоростью с в ааправлении отрицательных значений оси л (рис. 3). Значение Фз в каждой точке волны н форма волны в процессе движения ие изменяются. Волна, описываемая формулой (2.21), является суперпозицией двух волн, движущихся в противоположных направлениях.

В этом случае уже нельзя говорить о скорости или направлении волны. В простейшем случае получается стоячая волна, а в общем случае — сложное злекз ромагнитное поле, которое требует специального изучения.. Значение функции Ф юш фиксированных = и г является постоянным на плоскости, перпендикулярной осн 2. Поэтому такие волны науываются плоскими Сферические волны. Если волна от точечного источника изотропна, то решение уравнения (2,12) необходимо искать в виле Ф = Ф(г, г), где г — расстояние от точечного источника, принягого за начало координат.'Учитывая, что в сферической системе координат (г, О, ж) з 1 д' зу~Ф = — — (гФ) + з .

~а1п Π— ) + -- Л„гзз;.~;~ ~~) (2.26) а искомое решение не зависит от угловых переменных, уравнение (2.12) примет вид — (гФ) — — — (гФ) = О, 1 д' а,' е* дг' т. е. имеет тот же вид, что и (2.13), но с з- г, Ф- гФ. Поэтому вместо (2.21) имеем гФ(г, г) = Ф1(г+се) +Фт(г — сг), где Ф~ и Фз — по-прежнему произвольные функции своего аргумента. Следовательно, общее сферически симметричное решение уравнения (2.1хт имеет вид (2.28) Физический смысл отдельных слагаемых, входящих в (2.2б), выясняемся так же, как и для (2.21). В~орое ела~лемос представляет собой волну, движущуюся в направлении увеличения значений г, г.

е. от центра. Такая волна назьгвается расходящейся. Первое слагаемое описывает волну, движущуюся в направлению уменьшения значений г, з. е. к центру. Такая волна называется сходящейся..Общее рец)ение (2.28) являетея супергюзицией сходящейся и расхолящейся волн. Значение Ф в фиксированный момент времени на сфере постоянного радиуса является постоянным. Такие волны называются сферическими. Плоские гарманвчезжие волны. Если Ф1 и Фт в (2.2!) являются гармоническими функциями своего аргумента, то волна называется гармонической.

Запишем для примера функшпо Фз в виде Фз(г — сг) = Фз( — с(г — ггс))= А соз ез(г — г/с), где А — постоянная, 㻠— частота гармонической функции. Волна, описываемая функцией (2.29) (2.30) Выбором подходящего начала отсчета времени бегущую плоскую волну всегда можно представить в виде (2.29) или аналогичным выражением с использованием синуса. Волна, распро- называется плоской гармонической волной.

Она распространяется в направлении положительных значений оси Е. Постоянная А называется амплитудой волны, ы — ее частотой. Поскольку волна движется, ее называют также бегущей. Аналогичное (2.29) выражение дчя волны можно написать с использованием синуса. Общее ныражение для бегущей волны, распространяющейсв в положительном направлении оси У, имеет вид (2.3!) На рис. 4 изображена плоская гармоническая волна в два последовательных промежутка времени г и г 4 Ьг. Для наглядности можно представить, что это волна на поверхности воды, а Ф характеризует отклонение часпщ поверхности воды от горизонтальной плоскости. Конечно, при такой интерпретации с является не тжоростью света, а скоростью распространения волны относительно воды.

Положительные значения Ф соответствуют «горбам» на поверхности воды, а отрицательные— «впадинам».На рисунке изображена небольшая часть волны, включающая в себя два «горба» и одну западину». Если следить за какой-то фиксированной точкой среды, то будем наблюдать ее колебание по гармоническому закойу с течением времени. Например, в точке т = 0 этот закон описывается функцией е Гармоииоеекаи алоекаа волва в лва иеелелеветелавмк иромемтт- ив времеви (2.32) Ф(0, г) = А соз езг . Если наблюдатель «сел» на какую-то точку волны, например на вершину «горбюз, и движется вместе с волной, то никаких изменений в картине он не видит — перед ею взором будет находиться неизменная по времени совокупность «горбов» и «впадин», составляющих плоскую волну. Аргумент гармонической функции в (2.29) называется фазой волны.