Ландау Э. - Основы анализа, страница 5

«! у! ка Ув Теорема 68. Оз х! у! е! и! кв Ув' ев ив следует х! е! у! и! х ев ув и П р е д в а р и т е л ь и о е з а м е ч а в и е. Таким образом, класс произведения зависит лишь от классов, которым принадлежат „сомножители". Доказательство. х„уя — — у,х, следовательно, (х, Уа) (е,иа) = (У!ха) (и,еа), (хве!) (увив) = (у!и!) (Хаза), хве! уви! хвхв Увив е,ие —— и,еа, или дробью, получающейся путем вычитания дроби — -!- у! из дроби — '. хв ' Из Дроби Теорема 69 (закон коииутативности умножения). Х1 Уа Уа Ха хг уг уг хг Доказател ьство.

.«1 Уг .«1У1 У1«1 У1 .«2 уа хгуг уахг уг хг Теорема 70 (закон ассоциативности умножения). Доказател ь ство. х,уг х, (х,у,)х1 хауз ха (хгуг) аг х, (у,х1) хг (угхг) Теорема 71 (закон листрибутивности), Доказател ьство. х, У122+Х,У2 хг,уг«2 х1 0 122) + х1 (х1У2) Теорема 72. Из Х'1 У1 Х1 У1 Х1 У1 — ) —, соотл. — ' — —, СОО1ЛВ, — (— у,' ' кг уг' ' хг уг х1(уахг+ муг) -«2 (Уг«а) ха(«122) х, (21У2] Х2 (у222) х2 (уахг) х,уа хгг1 хауз хааа хг (уахг) (хау1) аа 1 (х1х1)уг (х,уг) 22 1 (х,аг)Уа -«1 Уа Х1 21 «2 У2 Х2 Ха Глава 2 следуезл Х1 «1- х1 «1 У1 «1 — — ) — —, СООП1В.

—— хз гз уз гв Хз г, УЗ «2' Х1 «1 71 «1 СОО1ЛВ. — — ( — — . хз «2 У2 «2 Доказательство. 1) Из х1 У1 — >— Уз следует хзуз ) у,хз, (х,уз) («,г, ) ) (у,хз) («1 г ), (х1«1) (Уз«2) > (У1«1) (хз«з) х1 «1 х1«1 У1«1 У1 «1 — — — — ( хз гз к'2«2 Уз«2 Уз «з 2) Из Х1 У1 Хз Уз в силу теоремы 68, следует "' У1 хз гз Уз гз 8) Из — (— 1'1 У1 хз Уз следует — > — * Уз Уз хз кз гз У1 х, «1 уз «1 — — ) — —, соотв. —— хз «2 Уз «з ' хз гз Уз «з ' соотв. — — ( —— х,гз у, 12 «2 Уз «3 и, значит, в силу 1), У1 Уз Х1 Хз Теорема 73. Оз «1 Хз «1 — ) —— ха «з У1 «1 — ( —--- «з Уз «з 55 Дсоби следует — ) —, соотв.

— —, соотв. — (— «! у! х! у! х! у! хг уз' ' х, у, ' ' хг уз ' Доказательство. Следует из теоремы 72, поскольку три случая оба раза взаимно исключают друг друга и в совокупности исчерпывают все возможности. Теорема 74. Из х, у! г, и! ) 3 хь уз ' г! !'з следуел! х! г! у! и! х гз уг из Доказательство. В силу теоремы 72, х, г, у, — — > —— хз гз уз гг у,г,г,у,игу,у,о, — — — — ) — — — —— уг гг гг уг из уг уз иг следовательно, х! г, у, и! — — > —— хг гг уз и! ' Теорема 76. Из — — — ) — или — ) —, х! у! г! и! у! г и хз уз гг из х! Уг ' гг иг слсдуегл х! г, у, и, — — > —— "гг гг .! 3 из Доказательство.

При знаках э.гвивалентности в предположении — следует из теорем 68 и 72, в противном случае — уже установлено теореггой 74. Теорема 76. Из хз уз ' г! из Глава 2 56 следуези хзв,у,и, ха хз уа иа П о к а з а т е л ь с т в о. При двух знаках эквивалентности в предположении — уже установлено теоремой 68, в противном случае †теорем 75. Теорема 77. Соотношение зививаленгпности уз из хз Уа оз вез О, Из Показательство. Второе утверждение непосредственно следует из теоремы 73; действительно, если у1 оз Уз 1д! Уз оз Уа шз то, по указанной теореме, "з ша Существование решения — ' (первое утверждение) из устанавливается следующим образом: дробь — ', где иа и, = х,Уз, иа = х Уо является решением, так как Уз из из Уз х!У2 У1 (хауз) У! Уз иа иа Уз хауз Уз (хауз)уз хз(у уз) ,ез хз(У Уа) ха где — и х, ха Если— оз оз У' — заданные дроби, обладает решением — '.

Уз иа Фз и — — решения, то шз 57 дрови 9 б. РЛЦИОНЛЛЬНЬЮ ЧИСЛЛ И Ц8ЛЫК ЧИСЛА Определение 1б. Под рациональным числом понимают совокупность всех дробей, эквивалентных некоторои фиксированной дроби (т. е. класс в смысле 9 1). Прописными латинскими буквамн' мы будем всюлу, где не оговорено противное, обозначать рациональные числа. Определение 17.

Х= г' (= читается: равно), если оба множества содержат одни и те же дроби. В противном случае (ф читается: не равно). Следуюгдие три теоремы тривиальны: Х=Х. Теорема 78. Теорема 79. Из Х= 1' следует У =Х. Теорема 80. Из Х= У, 1'=л следуегп Х= Е. Определение 18. Х> г' (> читается: больше), если для некоторой (а, значит по теореме 44,— для каждой) дроби — ',соолсв.

У1 из Ха У2 множества Х, соотв. Г имеет место — >— У2 Х2 У2 Глава 2 Определение 19. Х< 1' (< читаетсв: меньше), если для неноторой (а, значит, ио теореме 45,— для кажлой) дроби —, соолсв.— из У~ Ув множества Х, соотв. 1' имеет место х, у~ — ( —. -тв Ув Теорема 81. Длн любых двух рациональных чисел Х, )' имеет место один и только один из следующих псрех случаев: Х=Г, Х) 1; Х<1'. Доказательство: теорема 41.

Теорема 82. Из Х) 1' следует )'< Х Доказа тел ьств о: теорема 42. Теорема 83. Из Х( 1' следует 1') Х. Доказательство: теорема 43. Определение 20. Х)~ 1' означает Х ) 1' или Х= 1'. ()~ читается: больше или равно.) Определение 21. Х ( 1' означаесп Х( 1' или Х= 1'. 1 < читаетси: меньше или равно.) Глава 2 Теорема 90.

Для каждого Х сущес>пвуе>п Е ( Х. До каза тел ьот в о: теорема 54. Теорема 91. Если Х(1; то сущее>пвует Е такое, что Доказательство: теорема 55. Определение 22. Под Х+ т (+ читается: плюс) понимают класс, содержащий некоторую (а, значит, по теореме 56, — и всякую) сумму дроби из Х и дроби из 1'.

Эпго раииональное число назмваю>п суммой чисел Х и 1 или раииональным числом, получающимся ну>нем прибавления 1' к Х. Теорема 92 (закон коммутативности сложения). Х+ 1'= 1'+Х. Доказательство: теорема 58, Теорема 93 (закон ассоциативности сложения), (Х+ У) + 2 =Х+(1'+2). Доказательство: теорема 59. Теорема 94. Х+ 1') Х До каза тель ство: теорема 60.

Теорема 96. Из следует Х+Е) 1'+ Е. Доказательство: теорема 61. Теорема 96. Из Х) 1; соотв. Х= 1; соотв. Х( У ,"ледует Х+с ) 1'+Е, соотв. Х+2= 1'+ Е, соотв. Х+Е( Г+Е. Доказательство: теорема 62. Теорема 97. Из Х+2) У+2, соотв. Х+2= 1'+Е, соотв. Х+ с( У'+л ледует Х) 1; соотв. Х= 1; соотв. Х( Г Доказательство: теорема 63.

Теорема 98. Из х>г, г>и ведусги Х+2) 1'+ У. Доказательство: теорема 64. Теорема 99. Из Х. У, с. ) У или Х> У, с. )~ У ледуе~и Х+Е > 1'+Ы Д о к а з а т е л ь с т в о: теорема 65. Теорема 100, Из Х)>1', с.>У ледует Х+ Е )~ У+ У. Доказательство: теорема 66. Теорема 101. Если Х) У; Гласа 2 то уравнение обладаепг точно одним решением 17. Предварительное замечание.

При в силу теоремы 94, решения не существует. Д о к аз а т е л ь с т в о: теорема 67. Определение 23. Указанное 17 обозначается Х вЂ” У ( — читается: минус) и называется разностью Х минус У или рациональным числом, получаюсцимся пугпем вычитания рациональиога числа 1' из рационального числа Х. Определение 24. 77од Х ° У ( ° читается: раз; впрочем, точку большей частью не пишут) понимают (славе, содержаисиб некоторое (а, значит, в силу теоремы 68,— и каждое) произведение дроби из Х на дробь из У. Это рациональное числа называется произведением Х на У или рациональным числом, получаюгцимся путем умножении Х на У.

Теорема 102 (закон коимутативности умножения). ХУ= УХ Доказательство: теорема 69. Теорема 103 (закон ассоциативности умножения). (ХУ) Я = Х ( УЕ). Доказательство: теорема 70. Теорема 104 (закон дистрибутивности). Х1 У-4- Х) = ХУ+- ХУ. Доказательство: теорема 71. где Х и У вЂ заданн рациональные числа, обгадает точно одним решением У. Доказательство: теорема 77. Теорема 111. Из х у х у х у — ) — соотв. — — сов~ив. — (— 1 1' '1 1' '1 1 следует х)у, соовнв. х=у, соотв. х(у и обратно. Доказательство, х 1 )у 1, соотв, х 1 =у 1, соотв. х 1 .,у . 1 означает то же самое, что х)у, соотв. х=-у, соотв. х <у, Определение 25.

Рациональное число называется целым, если среди объединяемых им дробей содержи!яся дробь вида — . 1 По теореме 111 это х однозначно определено, и, обратно, каждому х соответствует точно одно целое число. Теорема 112. х у х+у + 1 1 1 ху ху 1 1 1 Предварительное замечание. Таким образом, сумма и произведение двух целых чисел суть целые числа. Доказательство. 1) По теореме 57, х у х+у — + — — — ° 1 1 1 Дроби 2) По определению 15, х у ху ху 1 1 1 ° 1 1 Теорема 113.

Целые чис а удовле>пворяю>п пяти аксиомам для на>пуральных чисел, если за 1 принять 1 класс дроби —, а последуюи!им классом для класса х х' дроби — считать класс дроби— 1 До к азат ель с т во. Пусть 3 — множество всех целых чисел. 1 1) Класс дроби — принадлежит множеству Д. 1 2) Длв каждого целого числа нами определено последующее. 3) Всвкое последующее отлично от класса дроби— ! ! У поскольку всегза х ~1.

4) Если классы дробей — и — совпадают то х' у' 1 1 ! Л' ! 1 ' х'= >>', х=у, х у ! так что и классы дробей — и -- совпадают. х >> 1 1 б) Пусть множество Й целых чисел обладает следующими свойствами: 1 1) Класс дроби — принадлежит множеству г)Е 1 х 1!) Если класс дроби — принадлежит И, то и класс х' дроби — принадлежит Й.

1 вьк. тиь в, пььльг. !лава 2 Обозначим через % множество тех х, для которых х класс дроби †принадлеж множеству %. Тогда 1 при- 1 надлежит И и вместе скаждым х, принадлежащим И, также х' принадлежит %. Следовательно, каждое натуральное число принадлежит множеству ьм1 и, значит, каждое целое число — множеству атЕ Так как 1в силу теорем 111 и 112) между понятиями =, ), ч, суммы и произведения для целых чисел и аналогичными старыми понятиями для натуральных чисел существует полное соответствие, то целые числа обладают всеми свойствами, доказанными нами в гл.

1 для натуральных чисел. Поэтому отбросим натуральные числа, заменим их соответствующими целыми числами и будем впредь 1поскольку и дроби становятся излишними) говорить лишь о рациональных числах. (Натуральные числа останутся в виде пар над и под чертой в понятии дроби, а дроби — как индивидуальные члены множества, называемого рациональным числом.) Определение 26. 10сзободивньийся теперь символ) х будет обозначать целое число, задаваемое классом дроби — . х 1 ' Таким образом, на нашем новом языке, например, Х ° 1=Х, так как х ! 1 х 1 1 х в х 1 х„.1 хе ' Теорема 114.