Ландау Э. - Основы анализа, страница 4

х=у, соотв. х(у следуеги хг)уг, соотв. хг=уг, соотв. хг(уг. До к азатсльство. 1) Из х)у следует х=у-пи хг =1у+ и) г =уз+ иг)уг. 2) Из х=у, разумеетсв, следует хг =уг. 3) Из х(у следует у)х, и, значит, в силу 1), уг) хг, хг (уг. Теорема ЗЗ. Из хг)уг, сооеив. хг=уг, сов~ив. хг(уг следует х)у, сопиев. х у, соотв. х(у. Доказательство. Следует из теоремы 32, так как три случая оба раза взаимно исключают друг друга н в совокупности исчерпывают все возможности, Глава т Теорема 34, Из х)у, г) и следует хг ) уи.

Доказательство. По теореме 32, х2 )дьт и уз = ху ) иу = уи, следовательно, хз)уи. Теорема 35, Из х)у, х)и или х)у, а.»-и следует хх)уи. Д о к а з ат е л ь с т в о. Со знаками равенства в предположении — уже установлено теоремой 32, в противно м случае — теор е мой 34. Теорема 36. Из хну~ следует хг >уи. Доказательство. С двуми знаками равенства в предположении — ясно; в противном случае — уже установлено теоремой 35. Глава 2 ДРОБИ ф П ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ Определение 7. Под дробью — ' (читается: х, на хг) хг понимают лару напгурапьных чисел хг, хя (в этом их порядке). Определение 8. х, у! хг Уг ( читается: эквивалентна), если х,у. =У,х .

Теорема 37. х! х! хг хг Д о к а з а т е л ь с т в о. х,хг = х,хг. Теорема 38. Из "'г, У! хг Уг следуеси у! х! Уг хг Д о к а з а т е л ь с т в о. х,уя — — у,хг, следовательно, уха =х у . Теорема 39. Из х! у! у! "г Уг Уг гг следуелг х! гг хг сг 40 Глана 2 Д о к а а а т е л ь с т в о. х уа — — у,хя, у га —— л,уа, следовательно, (хатун) (У1ня) (У1ха) (льга) Так как нсегла (ху) (ли) = х (у (ли)) = х((ух)и) = х(и (у-)) = = (хи) (ул) = (хи) (ху), то (хуя)ГУ )=(х )ГУ|уа) (У~ха)(х~уя) = (У~уе)(хгхя) = — (хгхя) (У1уя) слеловательно, по предылущему, Гхгхя) (У1Уя) = (лгхя) (У!Уа), х,ея = хгха.

В силу теорем 37 — 39, дроби распадаьотся на классы, так, что хг у, "'з Ун тогда н только тогда, когда — и — прннаплежат одх~ уг ха ун ному и тому же классу. Теорема 40. х, х,х ха хех' Д о к а з а т е л ь с т н о. х„(хях) = х, (ххя) = (х х) ха. $2. ПОРЯДОК Определение 9. — )— х, у, ха уз ( ) читается: больше), если х,у )у,хя.

Дроби 4! Определение 10. "— '<у' "з Уа ( < читается: меньше), если «1 у1 х~ у~ хз у~ — — )- — < —. хч ув' хч уз' хт уа' Доказательство. Для чисел х„хз, уо у, имеет место один н только один нз случаев хуз=у,х„, хуз)у,хз, х|уз<у хз. Теорема 42. Из — )— х~ у, хз уз следует у~ х, — <— уе ха Доказательство. Из х!уз ) у1«з .У хя<«~Ув. лепуст Теорема 43, Из — <— хз у~ хз уч следует у1 х1 — ) —. у, х,' Доказательство.

Из х,уз<у,хз у,ха)х у . следует х,уз <у,хз. Теорема 41. Для любых дробей — ', У' имеетлесто «з Уз один и только один из следующих трех случаев: Глаза 2 Теорема 44. Иэ хз уз гз г, у, и, — )— хз уз' хз гз' уз из следуелз г, из — >— гз из ' Предварительное замечание. Таким образом, если одна дробь из некоторого класса больше какой- нибудь дроби из другого класса, то зто же имеет место и для любой пары дробей, представляющих зги классы, Д о к а з а т е л ь с т в о. у,ия — — и,уз, л,хз=х,гз, х,уз ) у,хз, следовательно, (у,из) (гзхз) = (изуз)(х гя), значит, по теореме 32, (у,хя) (г, ия) = (и,гз) (х,уя) ) (и,гя) (у,хз), н, значит, по теореме 33, г,из ) и,гя.

Теорема 45. Иэ хз у, хз гз уз из — (— хз уз гз гз уз из следует г, и, — ( —. гз из' Предваритель ное замечание.Такич образом, если одна дробь из некоторого класса меньше какой- нибудь дроби из другого класса, то зто же имеет место и для любой пары дробей, представляющих зти классы. До к а з а т е л ь с т в о. По теореме 43, уз хз . — ) — ) Уз «з так как уз из хз гд из' хз гз' 43 дрози то, следовательно, по теореме 44, иг х, из хг и, значит, по теореме 42, хг и1 — < —. хг иг хг>уг хг уг Определение 11.

означает — > — или — — —. х, у, хг у, х, уг хг у ' 1'>читается: больше или эквивалентно.) х <Уг Уг Определение 12. означает уг г Уг — < — или — — —, . Уг "г Уг (<читается: меньше или эквивалентно.) Теорема 4б. йз хг уг хг х, у„иг хг уг' хг хг' уг иг еледуе)и е,>и, хг у, иг хг хг уг иг Теорема 47. Из х, уг хг ег уг иг х уг' хг хг' уг иг Локазател ьство. Со знаком > в прелполоясеннн это ясно из теореяы 44; в противном случае имеем Глава 2 следует «, и, ив' Доказательство.

Со знаком ( в предположении это ясно из теоремы 48; в противном случае имеем е, «в у, ив х. ха у йв Теорема 48. Из «вдув «в Ув следует — ( у, хв' Доказательство: теоремы 38 и 42. Теорема 49. Из .тв(ув хв у, следует увал, Уя Доказательство: теоремы 38 и 43. Теорема 80 (транзитивность порядка). Из хв у, у, е, — (-, — (— хв ув' ув с.ведуеив «! хв х, Доказательство. хуя(у хя, у,ея(е уя, следовательно, Куя)(У1ея)(~У х~) (с~у ) (х,ея) (у,уя) ((г1«я) (у1уя) хиея ( е,хя.

Дроби 45 Теорема 61. Из ХВ УВ УВ хВ хВ УВ УВ -« —, — - ° ° -'« —, —- х2 УВ .УВ 22 хВ УВ У2 х2 следует Х — < —. ХВ ХВ' Д о к а з а т е л ь с т в о. При знаке эквивалентности в предположении — уже установлено теоремой 45, в про. тивном случае — теоремой 50. Теорема 62. Из Х вЂ” УВ УВ следует хВ<Х, х2 ХВ Д о к а з а т е л ь с т в о. Прн двух знаках эквивалентности в предположении — уже установлено теоремой 39, в противном случае — теоремой 51. Теорема 63. Для каждой дроби — 'существует дробь Х2 ХВ ХВ -)— ХВ ХВ' Доказательство: (х, +х,)ха=х,ха+х,хе) х,х, ХВ+ ХВ ХВ ХВ ХВ Теорема 64.

Для каждой дроби — ' существует дробь х х, ЕВ ХВ' Д о к а з а т е л ь с т во. х, ха < х, ха ~-х,х =х, (ха +ха), ХВ ХВ х2+ х, < ха ' Теорема 66. Если — < —, х~ у, хВ УВ ! лавй 2 то существусгп дробь — ' такая, я!но Х2 х2<с! <у! Х2 Х У2 ' Доказател ь ство. х уа <у,ха, следовательно, х,ха+ х,у, < х,х, + у,х,, х,уя + у у, < у,х, +у,у„ х2(хя+ Уя)<(х2+У!) хю (х2+ У!) Уа<.У2(ха+.Уа) х, х+у! .у, Х2 Х2+У2 У2 $3. СЛОЖЕНИЕ Определение 13. Под — '+ У' (+ читается: плюс) Х2 У2 понимают дробь Х2У2 Она называется суммой дробей — 'и У' или дробью, Х2 У2 получающейся путем прибавления — тс — . х! У2 Теорема 56, Оз х! у! х, и, ха У2' ха и, следует —.,+ — — — +— х! 21 у! и! хь 22 .22 и, ' Предварительное замечание.

Таким образом, класс суммы зависит лишь от классов, которым принадлежат „слагаемые". Д о к а з а т е л ь с т в о х,у =у,ха, г,иа = и!ха, следовательно, (х2уа) (ся!2Д = (у,х ) (гвиа), (с,ия) (х. У ) = (и!ха) (х уа) Длиба Доказательство. По ооределению)3 и теореме 40 змеем х, + .гз хвх+ хвх (хв+ хв) х хв+ха х х хх хх х Теорема 88 (вако~ комиутатив~ости сложения), — +--- — + —. хв ув ув хв хв Ув Уз хв Д о к а з а т е л ь с т в о. хв + Ув хвув+Увхв У,ха+ хвув у, + хв хв ув хвув угхв ув хв ' Теорема 59 (закон ассоциативности сложения), Д о к а з а т е л ь с т в о. (хв)в+Увхв)гв+гв(хгуг) ((хвкз)гв+()гхв)гг)+гв(увхз1 (хауз) гв хв (Уваз) (х,(увгв)+(хзув)гз)+(г яв)хз (хв(увгв)-)-хв(увгв))-)-(г,ув1хв хз (Увгв) х~(у~~~)+((у~М~~+(~зу )~~) хз (узгв) хвЬвгв) + (Увгв+ гвув) хв хв (увгв) хв (узгв) н, значит, ;хггв)(узиз) = (у,из) (хвгз1, (г,хз) (Увив) = (и,уз) (хвгг) ,(х,гз) (увив)+ (г,хв) (увив)=(у,и ) (х гв)+(и,ув) (хвгз), (хгв+г хв)(ув гз) = (у,и + а уз) (хзгг), хвгв+г,х у,ив+и,ув хвгв увив Теорема 57.

— + —— х, х, х +ха х х х Лроби 49 следует — + — ) — + — -,соотв. — +- — — — + —, ха . х, уз, аз х, хз у„аа хз хз Уз аз «а аз Уа хз ' соотв. — + — ( — + —. ха аз Уа ха аз Уа аз Доказательство. Первая часть совпадает с теоремой 61, вторая содержится в теореме 56, а третья слелует нз первой, так как У! ха — >— Уз ха' — + — > — + —, Уз аа х, Уа аз х„ Уа аз — + — ( — + —. а хз Уз аа Теорема 63.

Из — + — ) — + —, соотв. — + — — + —, ха хз аз уз аз' ' ха аз уа аз соотв. — + — (, + Уа ' хз аз Уз «з следует — ) —, соотв. — —, соотв. — ( — . хз Уз ха Уа хз ха Уа ' ' ха Уа ' ' ха Уа ' До к а з а т ель ство. Следует из теоремы 62,поскольку три случая оба раза взаимно исключают друг друга и в совокупности исчерпывают все возможности. Теорема 64. Из х, У, а, иа — » —, —— ха Уа ' аа из следует — + — > — + —. ха е, Уз и, хз аз Уа иа До к азат ель ство. По теореме 61, ха лз Уз аз Заи.

заа. Э. ландау. 50 Глава 2 — + — — — + — ) — + —,— — +— ув в, вв ув ив ув у, ив Уз «г хв Уг ив Уз Уг следовательно, — + — ) —,+ —. хв хв ув ив хе хз Уз Теорема 65. Из х, - Ув г, и, ув хв - ив — — —, — -) — или — )— хг Ув ' хв ив хв Ув ' хв ив следуеви хв вв Уз ив До к а з а т е л ь с т но. При знаке экзиаалентпости а предположении следует из теорем 56 и 61, а протинном случае — уже установлено теоремой 64. Теорема 66. Из Уз хв ив следует хв вв ув Д о к а з а т е л ь с т з о. При двух знаках эквивалентности а предположении — уже установлено теоремой 56, н противном случае †теорем 65.

Теорема 67. Если хв Ув — )-— хв у, ' вио у, и, хв —,+ — —— Уз ив хв облодаенв решениелв — . Если — и — — решения, вио ив ив О. вег Дроби Предварительное замечание. При хя Уь указанное соотношение, в силу теоремы 60, не имеет решений.

Доказательство. Второе утверждение следует непосредственно из теоремы 63; действительно, если — + — — — +— у! о! у! гд! У! оь Уь твя ' то, по указанной теореме, Существование решения — ' (первое утверждение) иь устанавливается следующим образом, Имеем х,уя ) у,хя. Определим и из уравнения х,уя — — у,хв+ а н положим и,=и, иа=хяуя. Тогда дробь — ' будет требуемым решением, так как иь у! и! у, и у,хя и — + — — — '. + — — — - '-1- —— уч ич уч хьу! хту! хеу! у!ха+ и х,у, х, хЫ 2 хьу2 хь Определение 14. Дробь — ', построенную при до!сап! затезьстве теоремы 67, обозначают — — — ( — чих! у, хь уь тается: минус) и называю!и разнос)иью — лтнтс— х! У! хь - уь Глава 2 — — —.+— х! у! о, «в Ув ов следует, таким образом, $'! х! у! ое кв Ув $4. УМНОЖЕНИЕ Определение 1о. Под — ' ° У' ( читается: раз; впрок! Ув чем, точку большей частью не пишут) понимают дробь хву! х,ув Она называется произведением дроби — на — или х! у, хв ув дробью, получающейся путем )!множения — на —.