Ландау Э. - Основы анализа, страница 3

!) При у= 1 имеем, в силу теоремы 3, либо (случай 1)), х=!=у либо х = и' = 1 + и =у + и (случай 2)), Поэтому 1 принадлежит множеству %. 1!) Пусть у принадлежит И. Тогда либо (случай 1) для у) х=у, и, следовательно, у'=у+ 1=х+1 (случай 3) для у'); Глава 1 либо (случай 2) для у) х=у-(- и и, следовательно, если и=1, то х=у+ 1 =у' (случай 1) для у'); а если сс ф 1, то, по теореме 3, и =та' =1+и, х = у -(- (1 + пс) = (у + 1) + пс = у + ш (случай 2) для у'); либо (случай 3) для у) сс=х+о и, следовательно, у' = (х + о)' = х + тс' (случай- 3) лля у ).

Таким образом, во всех случаях у' также принадлежит 3)1. Поэтому всегда имеет место один из случаев 1), 2), 3). $ Э. ПОРЯДОК Определение 2. Если х =у+ и, сио х)у (> читается: больше1. Определение 3. Если у=х+о, лсо х<у ( читается: меньше). Натуральные числа Теорема 10. Для любых чисел х и у имеет место один и тольао один из следующих трех случаев: х=у, х)у, х (у.

Теорема 11. Из х ) у следует у . До каза те л ь ство. И то, и другое означает существование такого и, что х=у+и. Теорема 12. Из х(у ч ) х. следует Доказательств о. И то, и другое означает существование такого о, что у = х+о. х)у Определение 4. означаегп х)у или х=у () читается: больше или равно), Определение 5. х(у означает х(у или х=у ((читается: меньше или равно). Теорема 13. Из -" еьу Доказательство: теорема 9, определение 2 и определение 3. 28 Глава 1 следует у«х. До к а з а т е л ь с т в о: теорема 11. Теорема 14. Из х <у у ) х.

следует Доказательство: теорема 12. Теорема 16 1транзитивность порядка). Из х(у, у(з х < з. следует Предварительное замечание. Из Доказательство. Существуют такие о, те, что у=х+о, а=у+те, следовательно, з 1х+ о) + те = х + (о+ те), х(з. Теорема 16. Из х<у, у(з ила х<у,у<з ,следует х(е. х)у, у) з, следует также (так как з(у, у(л, з(х) х)з; однако, подобные предложения, тривиально получаю- щиеся чтением в обратном порядке, я в дальнейшем специально формулировать не буду. Наяуравьиме числа Д о к а з а т е л ь с т в о.

В случае знака равенства в предположении — ясно; в противном случае — уже установлено теоремой 15. Теорема 17. Из х (у, х(з следует х (в. Доказательство. В случае двух знаков равенства в предположении †яс; в противном случае— уже установлено теоремой 16. Теоремами 15 — 17 оправдывается законность записи вида а ( Ь ( с(д; непосредственно эта запись означает лишь, что а(Ь, Ь (с, с(Ы, но, в силу указанных теорем, онз включает также, например, неравенства а ( с, а ( с~, Ь ( а'. 1Соответствующие замечания относятся и к аналогич- ным записям в последующих главах.) Теорема 18 х+у) х.

Доказательство: х+у=-х+у. Теорема 19. Из х~у, соотв. х=у, соотв. х (у следует х+в)у+в, соотв. х+е=у+в, соаглв. х+в(у+2. Доказательство. 1) Из х)у Глава ! следует х =у+и, + и) +в =(и+у)+ з = и+ 1у+е) = =1у+ )+и* х+ е у+». х+е=1у 2) Из х=у, разумеется, следует х + е = — у + з. 3) Из х(у следует у ) х и, значит, в силу 1), у +е ) х + з, х+ з(у+ в, Теорема 20. Оз х+е)у+в, соотв. х+з=у+ г, гоотв. х+е 'у+е следует х)у, сооглв.

х=у, соотв. х(у. Теорема 21. Оз х)у, е)и следует х+е ) у+ и. До казат ель ство. По теореме 19, х+е )у+2 Доказательство. Следует из теоремы 19, поскольку трп случая оба раза взаимно исключают друг лруга и в совокупности исчерпывают все возможности. Натуральные насла у+а=а+у)и+у=у+и, следовательно, х + е )у + и, Теорема 22. Ие х>у, е) и или х)у, е) и следуеси х+» >у+и. Д о к а з а т е л ь с т в о.

Со знаками равенства в предположении — уже установлено теоремой -19, в противном случае — теоремой 21. Теорема 23. Из х)у, е)~и следуелс х+ «) у+ и. Д о к а з а т е л ь с т в о. С двумя знаками равенства в предположении — ясно; в противном случае — уже установлено теоремой 22. Теорема 24. Доказательство. Либо х=1, либо х = и' = и ~- 1 ) 1. Теорема 2б. Из у)х следуель у~~х ~-1. Доказа тел ь ство. у=х+и, и)1, 32 Глава 1 следовательно, у)~х+1. Теорема 26.

Из у(к+1 следует у (х. Доказательство. В противном случае мы имели бы у>х, откуда, по теореме 25, следовало бы у вь. х + 1. Теорема 27. В каждом непустом множсшиве натуральных чисел имеется наименьшее числа 1т. е, меньшее любого другого возможного числа того вке множества). Доказательство.

Пусть р! — заданное множество и % — множество тех х, которые ( каждого числа из лс. 1 принадлежит множеству % по теореме 24. С другой стороны, не каждое х принадлежит этому множеству; действительно, для каждого у из я! число у + 1 не принадлежит %, поскольку у+ ! >У.

Следовательно, в % существует такое ги, что ги+ 1 не принадлежит %; действительно, в противном случае, в силу аксиомы 5, каждое натуральное число принадлежало бы множеству %. Я утверждаю, что это ги ( каждого л из я! и принадлежит я1, Первое следует из самого определения множества %. Второе доказывается от противного так: если бы т не принадлежало Я1, то для каждого и из я! мы имели бы ги(и, 33 Нппгуральные числа и, следовательно, по теореме 25, гп+ 1 <и; таким образом, т+1 также принадлежало бы множеству %, в противоречие со сказанным выше. $4.

УМНРЖЕНИЕ Теорема 28, одновременно Определение 6, Каждой паре натуральных чисел х, у можно, и притом лиись единственным образом, отнести натуральное число, обозначаемое х ° у ( ° читается: раз; впрочем, точку большей частью не пишут), так, чтобы 1) х ° 1=х для каждого х, 2) х ° у'=х у+ х для каждого х и каждого у. х ° у называется произведением х на у или числом, получающимся от умножения х на у.

Дока.зательство (швга11з шигапдЬ, дословно совпадающее с доказательством теоремы 4). А) Покажем сначала, что если при фиксированном х можно определить ху для всех у так, чтобы х 1=х ху'=ху-~-х для каждого у, то этими условиями ху определяется однозначно. Пусть ау и Ьу определены для всех у и таковы, чго а,=х, Ь,=х, ае — — а„+х, ду~ —— д„+х для каждого у. Пусть % — множество тех у, для которых ау = д 1) а,=х=д„.

следовательно, 1 принадлежиг множеству %. Знн. гьг, 3. Ландау. Глава 1 П) Если у принадлежит л1, то ая — — бя, следовательно, а„= ая + х = б„+ х = бы, и, значит, у' также принадлежит Я, Поэтому И есть множество всех натуральных чисел„' т. е. а„= бя для каждого у. В) Покажем теперь, что для каждого х действительно возможно определить ху для всех у так, чтобы х ° 1 =х ху =ху+ х для каждого у. Пусть Ы вЂ” множество тех х, для которых такая возможность (и притом, в силу А, — только одна) имеется. 1) При х=1 требуемыми свойствами обладает ху = — у. Действительно, х 1=1=х, ху' = у' = у + 1 = ху + х. Следовательно, 1 принадлежит множеству Я. !1) Пусть х принацлежиг !К так, что для всякого у определено некоторое ху. Тогда ху=ху+у дает требуемое произведение для х'.

Действительно, х' ° 1=х 1+1=х+1=х' Натурааьныс числа И х'у' =ху'+у' =(ху+ х) +у' =ху+ (х+у') = = ху+ (х + у)' = ху + (х' + у) = ху + (у + х')= =(ху+у)+ х'=х'у+х'. Следовательно, и х' принадлежит 8)1. Поэтому зз1 содержит все х. Теорема 29 (закон коммутативности умножения). ху =ух. у'1= я1 с другой стороны, по построению, проведенному при доказательстве теоремы 28, 1 у=у. 1 ° у=у ° 1, Следовательно, так что 1 принадлежит множеству 9И.

Н) Если х принадлежит 9И, то ху =ух, и, следовательно, ху+у =ух+у =ух'. Но по построению, проведенному при доказательстве теоремы 28, х'у = ху + у. Следовательно х'у =ух', так что и х' принадлежит Я. Тем самым утверждение теоремы справедливо для всех х. 3" Доказательство. Пусть, при фиксированном у, 9)1 — множество тех х, лля которых верно утверждение теоремы. 1) Имеем )'лаял 1 Теорема 30 (закон дистрибутивности).

х(К+ а) =ху+ хх, Предварительное замечание. Формулу (у + е) х = ух + ах, Вытеиаюгцую из теорем 30 и 29, и ей подобные в дальнейшем мы не считаем нужным формулировать в виде специальных теорем илн даже особо отмечать. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть, при фиксированных х и у, % — множество тех а, для которых верно утверждение теоремы. 1) х(у+1)=ху'=ху+х=ху+х ° 1; следовательно, 1 принадлежит множеству 9М.

11) Если х принадлежит 911, то х (у + г) = ху + хк, следовательно, х (У + л ) = хКу + а)') = х(у + «) + х = =(ху+хх)+х=ху+(хх+х) =ху+хг', так что и а' принадлежит И. Поэтому утверждение теоремы справедливо для всех х, у и г. Теорема 31 (закон ассоциативности умножения). (ху) е = х (уа). Доказательство. Пусть, прп фиксированных х ну, Й вЂ” множество тех г, для которых верно утверждение теоремы. 1) (ху) - 1 = ху = х (у 1); следовательно, 1 принадлежит множеству И.

11) Пусть а принадлежит %. Тогда (ху) а= х(уа), Натуральные числа 37 следовательно, применяя теорему 30, имеем: 1ху)г' = (ху) г+ ху = х 1уг) + ху = х 1уг+ у) = = х 1уг'), так что и г' принадлежит 3)1. Тем самым '.Й содержит все натуральные числа. Теорема 32. Из х)у, соотв.