А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика, страница 32

е. когда тело электрически изолировано, задачу можно существенно упростить, потребовав, чтобы в каверне отсутствовали токи (1.6) го( Н= О (если в каверне отсутствует проводящая жидкость, то это условие выполняется автоматически). Из уравнения (1.2) при этом получим р„= сопз1, (! .7) форма же каверны должна быть найдена таким образом, чтобы удовлетворить граничному условию (1.4). Рассмотрим несколько простейших примеров 1з). 1. Обтекание несжимаемой жидкостью плоского магнитного днполя, вектор момента которого перпендикулярен к направлению скорости на бесконечности. В рассматриваемом случае существует решение, когда обтекаемая поверхность представляет собой цилиндр, радиус где р„, — давление в каверне. На границе каверны с потоком должны выполняться условия 22о 5 1) овтеклниз идвлльной жидкостью которого обозначим через а 1рис. 55).

Магнитное поле внутри цилиндра и скорость жидкости вне его даются формулами И=Нар, йу(1+,'„,), (1.8) где У н Нв — постоянные, связанные соотношением Но = 4прУз (1.0) причем Нз определяется через момент диполя д из соотно- 2 щения д = Неаз. Давление внутри каверны р„ постоянно и Рис, 55. связано с давлением в критической точке набегающего потока рз следующим образом: 1 )зев (!.10) 2.

Сверхзвуковое обтекание клина, по поверхности которого течет ток постоянной плотности 1, параллельно ребру клина. Будем для определенности считать, что по разным гра- ням клина ток течет в противоположные стороны. 226 [гл. чш овтеклние намагниченных тел Рнс. 56. Прямая ( изображает плоскость симметрии, прямая П— ударную волну, прямая!Н вЂ” границу каверны и прямая Л/— границу клина. Линии тока после ударной волны идут паРаллсльпо гРанице кавеРны; давление внешнего потока Рч на границе каверны постоянно. Магнитные силовыс линии в каверне идут параллельно ее границе, а напряженность магнитного поля Н„„ постоянна. Давление в каверне связано с давлением н потоке соотношением 1 а Р-=Р'.+ 6- Н-. (1.1 1) Внутри клина напряженность магнитного поля Н„„ постоянна и связана с Н„, н 1 соотношениями Н„з(па=И„з(пр, 1 — - — (Н„созе з — Н,,соз',1). с Легко видеть, что минимальная сила тока, необходимая дла поддеРжаиин Разности давлений Р„-- Рч„ достигаетсЯ при з = О и равна , тгРп — Рво гннн 1 2.

(1.12) Можно построить решение этой задачи, в котором обтекаемая газом область представляет собой клинообразную область с углом раствора большим, чем угол раствора клина. Картина обтекания и поведения магнитных силовых линий представлена на рис. 56. 5 1! овтякхнив идеальной жидкостью '227 1„„„— очень большая величина: так, например, если 7т„— — р„=-1 атм, то г„в„= 4000 омпер(см. Итак, при заданной разности р„— р„необходимым условием существования каверны является выполнение неравенства 1) г„„„. В противном случае каверна отсутствует. 3.

Сверхзвуковое обтекание конуса, по поверхности которого течет ток постоянной интенсивности 1, перпендикулярно к образующей конуса. Введем сферические координаты г, О, ~у. Из соображений размерности следует, что все искомые величины могут быть функциями только углов 9 и яь Так как задача осесиммстрична, то все искомые величины не зависят от у и являются функциями только 9. Будем искать решение задачи, предполагая, что Н = О; тогда уравнения го1Н= О н г)1т Н= О можно записать в следующем виде: ьН, =- Н0 из цн, з1п О+Не сов 0+ ОН,з)п 0 = О.

Исключая Н„, получим для Н, линейное однородное урав- нение второго порядка ЦЯН, , гГН, „;+ — 'с1йб+2Н,=О, частным решенном которого является Н,=созб, Следоватслыю, общее решение этого уравнения ймеет вид С Н,— соз9~ ~ —,„— Л+ ~я~в 0-1, = С,~1+соа01пги — )+Сзсоз9. (1.13) Дифференцируя это выражение по 0, найдем Нз. Ня — — —" — — С, ~его 0 — з)п 0 1п 10 — ~ — С, з)п О.

11.14) Я= — 0 Постоянныс С, н Ст определяются из условий на границе каверны и,' Нз=-О, р„= — р,,+ 9' прн О=а+к. 228 овтеклние нлмлгннчн!Иых тел [Гл. чн! Внутри конуса напряженность магнитного поля постоянна, а магнитные силовые линии параллельны оси симметрии. Плотность поверхностного тока 1 определяется из равенства 4, <1тГ! в 11 ° г> где И „и Н,„,— касательные составляющие напряженности магнитного поля каверны и конуса на поверхности конуса. Для конуса также существует плотность тока 1„„„, которая выражается той же формулой, что и для клина. Отметим, что при заданной плотности тока 1 угол и определяется заданием р„„. Параметр р„, остается в решении свободным.

Он должен задаваться из каких-то дополнительных соображений. й 2. Пример обтекания намагниченного тела жидкостью с конечной электропроводностью Решение задачи об обтекании намагниченных тел, когда 1с Ф со, представляет большой интерес для аэродинамики больших скоростей. При больших сверхзвуковых скоростях полета перед телом образуется сильная ударная волна. За ударной волной вследствие сильного нагревания газ становится проводящим. В этих условиях, если тело намагничено, поток газа между телом и ударной волной будет взаимодействовать с магнитным полем, связанным с телом.

Это взаимодействие приводит к изменению снл, лействующих па тело. а также к изменению тепловых потоков от газа к телу. Точных решений задачи об обтекании намагниченных тел потоком неидеального газа не существует. Однако развиты различного рода приближенные методы решения задачи, причем приближенные методы связываются с конкретной аадачей (либо тепловой, либо задачей обтекания) !а г!1. При обтекании затупленнь!х тел область высоких температур и интенсивных тепловых потоков находится вблизи передней критической точки, поэтому строятся прибли!кенные методы решения задач, опирающиеся на свойства течении газа вблизи критической точки.

Один из таких методов будет рассмотрен ниже !з1. При этом будем рассматривать течение певязкого, иетепло- Э 2) пРимеР Озтеклння нлмлгниченного телА 229 проводного газа с конечной электропроводностью, изучая тем самым влияние магнитного поля па движение газа вне пограничного слоя. Такое рассмотрение имеет смысл, так как известно, что изменение скорости внешнего к пограничному слою потока влияет на течение внутри пограничного слоя, и следовательно, на тепловые потоки и сопротивление тела. Изучение характера влияния магнитного поля на течение в пограничном слое и оценки суммарного изменения тепловых потоков и вязкого трения проведены в работах Рассмотрим обтекание гиперзвуковым потоком (У )) а,) затуплешюго осесимметричного тела. При таком обтекании образуется отошедшая ударная волна. Так как скорость набегающего потока велика 1лт, )) 1), и скачок вблизи критической точки мало отличается от прямого, то для числа Маха за скачком вблизи критической точки получим выражение 1газ считаем совершенным) г 2+ (т — 1) И', 'И2= 2 2тм, — 11 — 1) 2т При больших скоростях набегающего потока на ударной волне происходят диссоциация и ионизация газа, которые сопровождаются поглощением энергии.

Это добавочное поглощение энергии можно трактовать как увеличение тепло- емкости с в совершенном газе. В связи с этим за сильной ударной волной эффективная величина Т становится близкой к единице гу — 1, 2). При этом М2 за скачком становится малой величиной и газ в сжатом слое в окрестности носовой части тупого тела может рассматриваться с достаточной степенью точности как несжимаемая жидкость. Поэтому при изучении движения вблизи критической точки будем пользоваться моделью несжимаемой жидкости. Параметры, характеризующие течение непосредственно за ударной волной, могут быть рассчитаны по параметрам набегающего потока из условий на ударной волне.

Газ перед ударной волной будем считать пепроводящим, а за ударной волной — обладающим постоянной проводимостью а. В дальнейшем прн решении задачи будем задавать форму ударной волны и определять форму обтекаемого тела. Пусть ударная волна имеет сферическую форму, а магнитное поле вне ударной волны является полем диполя, расположенного 230 [гл. Чн| ОБТЕКАНИЕ НАМАГНИЧЕННЫХ ТЕЛ в центре этой сферы (внутри тела электрические токи должны быть заданы таким образом, чтобы они совместно с токами, текущими в газе за ударной волной, образовывали дипольнос магнитнос поле перед ударной полной). рещение будет разыскиваться в окрестности оси симметрии потока.

Уравнения, описывающие движение за ударной волной, имеют вид: йч аз= О, оа 1 1 атад — — аз Х го1о= — — атад р+ — 7')(Н, 2 (2.1) .у=о(Е+ — ХН), го1Е=О, г)1т Н= О, го1 Н= —" 4-..) с Будем считать, что магнитное поле лежит в мсриднональных плоскостях и обладает осевой симметрией. Тогда скорость яа будет лежать в меридиональных плоскостях, а плотность тока 7' и электрическое поле Е будут иметь только Рис. 57. составляющие, перпендикулярные к меридиональной плоскости (рис. 57). При этом из условия го1 Е= О и из предположения, что электромагнитное поле вдали от тела равно нулю, ~ 2] ПРимеР ОБтекАнии ИАмагниченного тела 231 следует, что Е всюду равно нулю, действительно, составляющая го! Е, перпендикулярная к оси симметрии, равна производной от Е по направлению, параллельному оси симметрии. Таким образом, Е зависит только от расстояния до оси симметрии и, следовательно, Е равно нулю всюду.