А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика, страница 30

80) следует, что и(А,) ) а,, а < и(Аа) < ад, (2.24) а+ ) и (Аг) > ад. и (А4) < а стггктхгл главной волны 209 Очевидно, что переход Л, †» Аа представляет быструю ударную волну, а переход Аз †> А4 — медленную ударную волну. Все остальные переходы являются неэволюционными ударными волнами. При некоторых значениях по- ЛМ стоянных точки А, и Ла Аз и А4 могут совпадать; при этом и = аз, и ударные волны превращаются в быстрые или иедленные магнито- ! звуковые волны.

Так как все точки Аа отвечают одним и тем же значениям постоянных (лг, д', Еа, Гг ~ а- "Йа 4 , '~+ "Й~ Н,, $) и обращают в нуль правые части уравнений (2.7), то каждая пара этих точек может быть связана ударным переходом (возможно, неэволюционным). В ф 1 гл. 1 т' показано. что Рис. 50. ударные волны сжатия сопровождаются возрастанием энтропии, следовательно, а(А) ' а(А2) < а(АЗ) < а(А4) Отсюда, используя (2.10), получим Р(А~) < Р(Аг) < Р(Аз) < Р(А4). (2.25) Перейдем теперь к изучению характера интегральных кривых системы (2.11).

Рассмотрим прежде всего поведение интегральных кривых в окрестности особых точек Аа системы (2.11). Введем в окрестности А„новые переменные Н", Н', о', ю', 1"', Т', согласно равенствам т Н = Н „(1+ Н ), Н, = Н „Н„о = о + и о*, 1 а~=и„тв', Ъ'=Ъ'а(1+У'), Т=Тд(1+Т*). ) Индекс й показывает, что значение соответствующей переменной взято в точке А . При изучении особых точек 2!О стлционлвные движения неидеального глзл (гл. чп можно без ограничения общности предполагать, что Не и Н„а положительны. Линеаризуем систему уравнений по этим переменным. Подставляя (2.26) в уравнения (2.11) и сохраняя только линейные члены, получим, что в окрестности каждой особой точки функции и*, те*, Н", Н;, 1l', 7" удовлетворяют уравнениям дЕИ дР' (2.27) д4Е д47 где через д'.

обозначены величины Н', Н*, о', то*. 1I', 7". 7 у' х' 2тТа~ 4х (Лх) + 4я (Лх) +Р! «1дх)+ ч- "( — ')'~- "( — "")'~- 1"')*~ Р*= —,~~~(2Н„*$'"+Н')+в~Н*, +и~а(о* +тв" -~ — Ъ )— — функции Е) и Р, вычисленные в окрестности точки Аа с точностью до квадратов д',. Представим квадратичную форму Р' в виде суммы квадратов ла"а * нх лль ~ оа') 2 211 9 2] стггкттгл тдленой волны При этом преобразовании были использованы тождества, которые следуют из того, что т(Т= — аг(Т вЂ” пЛ" и е(е= Тт1а — )т~Лт являются полными дифференциалами, и из определения асд дз ( дг ~ (дР)ю (дз)к ( дТ)(т (дат ( дТ)к ( — ':),— ( — "),(Й),=-( — '.),=--— (2.29) Так как теплоемкость газа при постоянном объеме положи- тельна, то си=( — ) =Т( — ) )О, (2.30) (2.31) Легко показать, что число положительных н отрицательных ), совпадает с числом положительных и отрицательных коэффициентов в выражении (2.28).

Действительно, подставляя (2.31) в (2.27), получим, что Л удовлетворяет уравнению ! М вЂ” )К~ =0, где М вЂ” матрица квадратичной формы Р", а К вЂ” диагональная матрица, у которой по главной диагонали стоят удвоен- Коэффициент при Ът* в (2.28) представляет собой тт(и). Отсюда в силу неравенств (2.24) следует, что в стационар- ных точках Л„коэффициенты прн квадратах в выраже- нии (2.29) имеют следующие знаки: в точке Л, все шесть коэффициентов положительны, в точке Аа пять коэффициентов положительны и один отрицателен. и точке Аз четыре коэффициента положительны и два отрицательны, в точке Л4 три коэффициента положительны и три от- рицательны.

Обозначии через ). собственные значения системы (2.27), т. е. такие значения 1, при которых существуют решения вида о*. = — д', е' . 212 стацнонаеныз движения нендалльного газа [гл. чп ные коэффициенты при д* в выражении для 0'. Это уравнение, в силу теоремы об определителе проиаведення матриц, эквивалентно уравнению ( А' (М вЂ” ),К) А ~ = ! А' ! ( М вЂ” лК ) ) А ! = О.

Пусть А — матрица линейного преобразования, одновременно преобразующего матрицы М и К двух квадратичных форм к диагональному виду так, что А'МА = — И, А'КА = Е. Известно, что такое преобразование всегда существует, При этом уравнение для определения а примет вид ~М вЂ” ЛЦ =О. Так как в силу теоремы об инерции квадратичных форм число положительных и отрицательных элементов матрицы И совпадает с числом положительных и отрицательных коэффициентов в выражении (2.28), а все элементы матрицы 7. положительны, то из последнего равенства следует справедливость доказываемого утверждения.

Таким образом, в каждой особой точке Аа имеется шесть собственных направлений, отвечающих шести действительным собственным значениям. 7 — л из которых положительны, а и — 1 отрицательны. Каждой особой точке Аа соответствует 7 — лмерная поверхность, состоящая из интегральных кривых, выходящих из этой точки, и л — 1-мерная поверхность, состоящая из интегральных кривых, входящих в нее. Перейдем теперь к доказательству существования непрерывных решений, представляющих структуру эволюционных ударных волн. Рассмотрим поверхность Р(г7) =С. С=сопя(. Нетрудно убедиться, что часть этой поверхности, лежащая в области И> О, Т) О, содержит бесконечно удаленную точку. Действительно, уравнение поверхности Р (д~) = С можно привести к виду (1 Ъа)( + ЬзИОЕ,)~+(1 ~:Р) -~-2Р((г, Т) = 2С, (2.32) 2л'((г, Т) — 1 ~ ' — та)/а+ 2с7Ь 2$+2УЯТ)~~. э 2) 2! 3 СТРУКТУРА УДАРНой ВОЛНЫ Пересечение ее с плоскостью Ь' = сопзй Т= сопз~ представляет собой поверхность второго порядка в четырехмерном пРостРанстве (Ну, Н,, и, и), котоРаЯ пРи Ъ" ( Ъ"в пРостирается до бесконечности и представляет собой гиперболоид в четырехмерном пространстве.

Придадим постоянной С в равенстве Р (д,) = С очень большое отрицательное значение и будем затем увеличивать С. При этом поверхность Р (д,) = — С будет изменяться, однако топологическнй тип поверхности Р (д,) = С может меняться только при переходе постоянной С череа значение С = Р (АА). Две поверхности имеют один топологический тиц, если оци путем взаимно однозначной и взаимно непрерывной деформации могут быть переведены одна в другую. При С эь Р(АА) в каждой точке поверхности Р (д,.) = С существует вектор градиента функции Р(д ).

являющийся непрерывной функцией на поверхности. При изменении С поверхность Р(д,) =С деформируется взаимно-однозначным образом. В силу неравенств (2.25) первое изменение топологичсского типа поверхности произойдет, когда в процессе увеличения С поверхность Р(д;)= — С пройдет через точку А, (если она существует при заданных значениях постоянных Ез, На, Я, м). При С =Р(А,)+Ь, где Ь ) Π— некоторое достаточно малое число, поверхность Р(д,) =- С в окрестности точки А, представляет собой поверхность эллипсоида (см.

(2.28)), содержащую внутри себя точку А,. Так как поверхность Р(д;) = С содержит бесконечно удаленную точку, то у нее при С РР(А,) должна существовать другая ветвь, уходящая в бесконечность. Область Р(д,) <С расширяется с увеличением С. Замкнутая ветвь поверхности Р(д ) =С, содержащая внУтРи себЯ точкУ А,, не выходит из области У ) 'У'з, Т) О. Действительно, пересечение замкнутой ветви поверхности Р(д,)=С любой плоскостью представляет собой замкнУтУю повеРхность. Но пРи Ь'С 'У'з пеРесечение повеРхности (2.32) плоскостью $'=сопзй Т=сопз1 не содержит замкнутых ветвей. Кроме того, пересечение поверхности Р(д,)=С плоскостью Т=О не зависит от значения константы С. При значениях С, близких к Р(А,), замкнутая ветвь поверхности Р (д,.) = С, содержащая внутри себя точку А,, не пересекается с плоскостью Т=О, и, следовательно, не пересекает этой плоскости ни при каких С.

2!4 стлциовлгнык движения неидеального газа [гл. чы При увеличении С обе ветви поверхности должны соединиться при некотором значении С в точке, лежащей в области Ъ" > $'з, Т> О. Действительно, внутри области Ь" > )'з, Т > О, вагаб Р нигде не обращается в бесконечность, и поэтому обе части поверхности РОг,.)=С при увеличении С движутся с конечной скоростью навстречу друг другу. Соединение двух частей поверхности Р (д;) = С должно произойти в стационарной точке функции Р(п,), так как при этом изменяется топологический тип поверхности.

Эта точка является точкой А, так как из оставшихся стационарных точек только точка Аз лежит з области Г > ь'а, и только она может описывать слияние двух частей поверхности О),) = с. Так как особая точка А, является узлом для системы (2.! !), то в окрестности точки А, все пространство заполнено интегральными кривыми, выходящими из этой точки. Поэтому каждая точка замкнутой ветви поверхности Р От!) = С при Р(А,) < С < Р(Аз) может быть соединена интегральной кривой с точкой А,.

При этом одна интегральная кривая, вышедшая из точки Ан достигает точки Ам так как при С = Р(А,) некоторая (единственная) точка этой поверхности совпадает с точкой А,. Этим доказано существование и единственность решения, представляющего структуру быстрой ударной волны. Общего докааательства существования решения, представляющего структуру медленной ударной волны, в настоящее время пока нет. Однако имеется доказательство существования такого решения для достаточно слабых волн (" а).

Изложим кратко идею этого доказательства (я]. Можно показать, что при Р(Аз) < С < Р(А4) в области Р(д,) <Р(Аз) мо~кно построить двумерную замкнутую поверхность Х, проходящую через точку Аз, которая не может быть стянута в точку непрерывной деформацией в этой области. Рассмотрим двумерную поверхность Х*(С), являющуюся пересечением трехмерной поверхности, составленной из интегральных кривых, входящих в точку А4, с поверхностью Р(д)= С. При С=Р(А4) — 6 (3 > Π— достаточно малое число) Х*(С) представляет собой замкнутую двумерную поверхность, которая может быть переведена в положение Х непрерывной деформацией в области РОт,) < С. Будем теперь изменять С в пределах Р(А ) < С < Р(А4). 215 $ 2) СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ Если диссипативные коэффициенты непрерывны и их отношения ограничены, то л'*(С) будет испытывать непрерывную деформацию.

При этом пока поверхность 1'(С) остается в рассматриваемой области (возможность выхода поверхности Х'(С) к плоскостям Т=О, (Р= О, а также в бесконечность будет обсуждена ниже), она остается замкнутой поверхностью, которая может быть переведена в положение Х непрерывной деформацией в области Р(д,,) -.. С. Структура поверхности Р(д) = С при С = Р(АВ) + й в окрестности особой точки Аз такова, что кратчайшее расстояние любой замкнутой двумерной поверхности, которая может быть переведена в положение Х путем непрерывной деформации в области РОР,.) ( С, до точки А, имеет порядок ггпу Таким образом, при С=-Р(А ) поверхность Х" (С) пройдет через Аз и найдется хотя бы одна интегральная кривая, соединяющая особые точки Аз и А,.

Эта интегральная кривая представляет решение, соответствующее структуре медленной ударной волны. Приведенные соображения теряют силу, если поверхность размыкается при изменении С, вследствие того, что она или ее часть выходят из рассматриваемой области Т ) О, Ъ' > О. Можно показать, что ни одна интегральная кривая, а следовательно, и поверхность л*(С), не может при конечном изменении Р подойти к плоскостям $' = 0 и Т= О.