А.Г. Куликовский, Г.А. Любимов - Магнитная гидродинамика, страница 31

Остается ие выясненным вопрос, может ли поверхность Х*(С) разомкнуться через бесконечно удаленную точку. Можно только утверждать, что если ударная волна не слишком сильная и отношения диссипативных коэффициентов ограничены. то так как вдоль интегральной кривой, представляющей структуру такой волны, Р меняется мало, а интегральные кривые составляют не слишком малый угол с поверхностью Р(ц,)=С, то, очевидно, в этом случае поверхность Х'(С) не может уйти на бесконечность и, таким образом, решение. представляющее структуру медленной ударной волны, в этом случае существует. Покажем теперь, что не при всех соотношениях между диссипативными коэффициентами существуют решения, представляющие структуру неэволюциониых ударных волн, в которых изменяется магнитное поле.

При этом предполагается, что в течении, представляющем структуру ударной волны, все величины ограничены. Обозначим через И , Т , )г, и 216 стационагные движения неидеального глзл (гл. чп максимальные знзчения соответствующих величин (предполагаем, что онн не зависят от днссипзтивнык коэффициентов). Из тождества и и' ((и, дН зде Т!4в +- Н вЂ” = — ~ — ~ (Ь" — У ) + Е У о о) следует, что если 3 определено соотношением 2Н В = 4и ) Ее(, то на отрезке "о 3 ~(г~ "з+3 (2.33) выполняется неравенство (2.34) Согласно равенству (2АЗ), с учетом (2.34), получим Р(АГ) — Р(А~) > РЯз) — Р(® = 2 / В г(х )~ и >2 ~ лг Т~ 4 ( ДР ) -+ ~ (~~) ~дх> и т и 4-'и где А, и Ау соответствуют состояниям перед и за ударной волной. Отсюда следует, что хз — х, ( л, знр~ — ", р1, (2.35) где и — некоторая постоянная.

отличная от нуля, если Ез -е- О. Пусть теперь х, и хт являются границаии интервала на осн х, на котором всюду выполняются неравенства (2.33), причем гг(х,) = Ъз +В, Ъ'(хт) = ага† (такой интервал должен существовать лля неэволюционной ударной волны), а О, и 0а — точки в пространстве до соответствующие х, и хз. Оценим величину отрезка [х,, х,]. Заметим прежде всего, что 217 СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ где «, пе зависит от диссипативных коэффициентов.

Но вдоль интегральной кривой, как следует из третьего уравнения (2.7), гйl С их Р., где Сг не зависит от диссипативных коэффициентов. Отсюда получаем, что то система уравнений, описывающих задачу о структуре ударной волны, н этом случае запишется в виде: м — = «(е — «,) — е, ио их — — =0 + — «' — 7, 1 Ро"о их 2 «0т+ 2 - +-2- «-,.«+ е« = Э, — «„« = О, (2.37) 1 — 1 15 Звк Ы.

А. Г. Куликовский, Г. А. Люеимов хг х4 > 23 ~ 1п1 р, 1 (2.36) 2 Очевидно, что неравенства (2.35) и (2.36) не могут выпол- няться при произвольных соотношениях между диссипатив- ными коэффициентами. Это противоречие означает, что не при всех соотношениях между диссипативными коэффициен- тами существует интегральная кривая, представляющая стру- ктуру неэволюционной ударной волны. Для того чтобы нагляднее представить характер инте- гральных кривых, соответствующих задаче о структуре удар- ной волны, а также вьшсннть характер зависимости решения от соотношений между диссипативными коэффициентами. рассмотрим задачу о структуре ударной волны в случае, когда отличны от нуля только два диссипативных коэффи- циента р, и у (р = « =- 0) (о).

Кроме того, предположим, что я=О и Н,=О, В этом случае система (2.7) превращается в систему|двух дифференциальных уравнений и двух алгебраических инте- гралов. Поле интегральных кривых становится плоским, что делает решение задачи наглядным. Если ввести безразмерные переменные по формулам Ъ'= — вт, п=иои, р=р иг0, Н =~/4яр иг« = Ос. — О ОО У 'ОО' Ни=74 р ио «», 218 стлционлгныв движения нвидалльпого глзл [гл. чн Здесь рс н ис — характерные плотность и скорость (например, значения этих величин при х = — оэ); Л Э, е— константы, связанные с потоком импульса, потоком энергии и электрическим полем. На плоскости (;, й) изоклина г)й/г(х = О представляет собой гиперболу й(е — й ) =е, (2.38) а изоклина ая/е(х =О представляет собой кривую, описывае- мую уравнением й (йт — й ) — 2ей+ (2й — 1) т — 2йЛ+ 2Э = О.

(2.39) Из определений й„н т следует, что в точках, лежащих выше аснмптоты с=й„гиперболы (2.38), скорость газа а больше альфвеновской, а ннжс асимптоты скоростей меньше альфвеновской. Внд кривой (2.39) на плоскости (т, й) зависит от значений, определяющих задачу констант, входящих в это уравнение. Особыми точками системы (2.37) являются точки пересечения кривых (2.38) и (2.39). В зависимости от значений определяющих констант может быть либо две, либо четыре точки пересечения этих кривых (одни из возможных случаев расположения кривых (2.38) и (2.39) представлен на рис.

51). Исследование характера особых точек в этом случае показывает, что точка А, является узлом, из которого выходят интегральные кривые при увеличении х, точки Аз и Аз являются седлами, точка А4 является узлом, в который входят интегральные кризис при возрастании х. Если имеются все четыре особые точки, то две из них лежат выше пряг мой т=й, а две другие — ниже ее. Если имеются только две особыс точки, то они лежат по одну сторону от этой прямой. Исследование изоклин (2.38) и (2.39) позволяет качественно построить поле интегральных кривых системы дифференциальныхуравнсний (2.37), Если изоклины (2.38) и (2.39) имеют вид, представленный на рис. 51, то соответствующее поле интегральных кривых в зависимости от величины отношения диссипативных коэффициентов р,/раэ имеет вид, представленный на рис.

52 в 54 (стрелками указано направление движения точки (т, й) вдоль интегральной кривой при возра- 219 стемнтхгл ядльчюй волны ставни х). Во всех остальных случаях расположения изоклин, если имеются четыре особыс точки, характер интегральных кривых остается тем же самым. Если имеются две особые точки 1та или другая пара). то поведение интегральных кривых в окрестности этих точек остается тем же самым, что и при наличии четырех особых точек. Рнс. 51. Картина интегральных кривых, представленная па рис.

52, соответствует случаю, когда отношение р,/ру велико. В этом случае точки А, и Ам Аз и Ая соединяются между собой попарно единственными интегральными кривыми, представляющими соответственно структуру быстрой и медленной ударных волн. Точкитиз первой пары и точки из второй пары не соединяются иежду собой интегральными кривыми, что соответствует отсутствию структуры у промежуточных ударных волн. !'ели р,/ру — ьсх>, то интегральные кривые, представляющие структуру быстрой и медленной ударных волн, стремятся к совпадению с соответствую~цнии отрезками изоклины г15/Фх = О.

15" 220 стационавные движения нвндеального газа [гл. чн Случай, представленный на рис. 53, соответствует одномуединственпому значению отношения р,(ра« =(Мрз' ) р прн котором интегральная кривая, выходящая из точки Л, входит в точку А . Это значение р,/рз«разделяет случаи, представленные на рис. 52 и 54. При этом интегральными кривыми соединены точки А,— «Аа (быстрая волна).

Аз — «А4 Рнс, 52. (медленная волна) и Аа — «Аз (промежуточная волна), причем интегральные кривые, соединяющие эти особые точки, единственные. Возможны также сложные переходы А,-«Аа — «А, Аа «4з — «Аа А1 «Аг «Аз — «А4. При малых значениях отношения р,/ра«осуществляется случай, представленный на рис. 54, когда интегральными кривыми соединены следующие пары особых точек: А, — «А, Аз-«Ао А,-«Аз, А,-«Ао Аа-«А4, причем все эти пары точек соединяются единственными интегральными кривыми, зз исключением пары А, «Л4, которая соединяется бесчисленным множеством интегральных кривых.

Из сложных пе' реходов имеют место следующие: А, -«Аа -«Аю А, — «А — » А4. 222 стационаеные движения неидеального газа !гл. чн Если р,/рр — ь О, то интегральные кривые стремятся к совпадению с изоклиной Ит/г~х = О. Однако в тех случаях, когда в начальной точке движение сверхзвуковое, а а конечной точке — дозвуковое, внутри зоны, представляющей структуру ударной волны, возникает газодинамическая ударная волна, в которой гт = сопзй Отметим, что если такая ударная волна существует, то структура быстрой магнитогидродинамической ударной волны завершается газодинамическим скачком, а структура медленной ударной волны начинается с газодинамического скачка. Структура промежуточных ударных воли также может содержать газодинамические скачки.

Таким образом, в рассматриваемой постановке быстрые н медленные волны обладают структурой при любом отношении диссипативных коэффициентов. В тех случаях, когда имеются четыре особые точки, структурой могут обладать и промежуточные ударные волны. Эволюционные ударные волны отличаются от неэволюционных тем, что только онн обладают структурой при любом соотношении между диссипативными коэффициентами. гллвл ип ОБТЕКАНИЕ НАМАГНИЧЕННЫХ ТЕЛ ПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТЬЮ 5 1. Обтекание намагниченных тел идеальной жидкостью Если проводимость жидкости бесконечна, то набегающий поток, в котором магнитное поле предполагается отсутствующим, не может проникнуть в область, занятую полем 1при бесконечной проводимости магнитные силовые линии вморожены в жидкость).

Отсюда следует, что обтекаемая область состоит из намагниченного тела и «каверина — области, в которой находится магнитное поле 1ьа1. Эта область может быть пустой илн заполненной жидкостью. Будем для определенности считать, что каверна заполнена обтекающей жидкостью, так как при большой. но конечной проводимости жидкость хотя и медленно, но может проникать внутрь каверны. Рассмотрим случай стационарного обтекания намагниченного тела потоком идеальной жидкости. Внутри каверны, вообще говоря, возможно установившееся движение жидкости.

Заметим, что скорость в каверне равна нулю, когда все магнитные силовые линии начинаются и кончаются на теле. В дальнейшем будем считать, что жидкость внутри каверны покоится, и будем разыскивать форму каверны и магнитное поле в ией. Полагая в уравнениях магнитной гидро- динамики о = О, получим, что магнитное поле и каверне удовлетворяет системе уравнений 11.1) б1ч Н =- О, игаб р„, = — го1Н Х Н, 1 11. 2) 224 (гл. чш озтвклнне намагниченных твл (Н ° и) =О, 1 8 (1.3) (1А) где р„— давление в потоке, и — единичный вектор нормали.

Первое условие вытекает из отсутствия источников магнитного поля, а второе выражает факт равенства нормальных напряжений. Условие равенства касательных напряжений при выполнении условия (1.3) выполняется автоматически. Магнитное поле в каверне создается намагниченным телом. Если применить операцию го1 к уравнению (1.2), то получим, что внутри каверны вектор Н должен удовлетворять системе уравнений б(ч Н = О, го( (го1 Н Х Н) = О, (1.о) совпадающей по форме с уравнениями, описывающими стационарное движение идеальной несжимаемой жидкости, если под Н понимать скорость движения жидкости. В тех случаях, когда на поверхности тела выполнено условие 7„ =О, т.