kudryavtsev2 (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 3

39.2. Формула конечных приращений для функций многих переменных Частный случай формулы Тейлора (39.18) при т = — 1 обычно называется формулой конечных приращений Лагранжа для функпий лшогих переменных. В силу сделанных в предыдущем пункте замечаний к теореме ! о предположениях, при которых справедливы формулы (39.1) и (39.18), из теоремы Г получаем следующую теорему. Теорема 2. Если функция Дх„..., л„) определена и дифференцируела в некоторой' еьагуклог! области <хс:Ео, п<о для каждой пары точек (хл, ... „хх,) и (х, + с<х„..., хо + глх„) из б существует такое О, Осек" 1, г (хх+Лх<, ..., х„+Ьхо) — !(х<, ..., х„) = зцг Зоиечоиои об оценке опоточного члено !Лормулы Тее.!ого д)(х, + о Ьхи, ..., хи + о ахи) Л =Х дх $\ г=! ! или, короче, полагая х = (х!), х+ Лх = (х;+ Лх!) х+ 9 Лх = (х, + О Лх,), Г(х+ Лх) — Г(х) = ~~ д Лхо (39,24) !.= ! Формула (39.24), как указывалось, и называется формулой конечных прорви)енг!й Лаграноха.

Эта формула, так же как и вообще формула Тейлора, находит многочисленные и разнообразные применения в различных вопросах математического анализа. В качестве примера применения формулы (39.24) докажем следующее утверждение. Теорема 8. Если функиия Г определена и дифференг(ирггема в выпуклой области 6 и имеет в 6 ограниченные частные произеодные, то она равномерно непрерывна в этой облаапи. Доказательство. Если д ~<е, г=1,2, ..., и, хЕ6 д)(х) ! (е — постоянная), то для л!обых двух точек х' = (х;) ~ 6 и х" = (х,)~6 из (39.24) следует, что и 1) (х") †! (х')( < ,,~ ~ †) ~~ х! — х!~ < спр(х', х") и=! (здесь ' — некоторая точка отрезка с концами в точках х' и х"). Г1оэтому, если задано е)0, достаточно ваять б = —, чтобы ии ' при р(х', х") с.

б, х'Е 6, х" ~6 выполнялось неравенство ~ 1 (х") — ! (х') ~ <'„е, (39.25) а это и означает равномерную непрерывность функции Г в области 6. Теорема доказана. 39.3. Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейлора во всей области определения функции Остаточный член в !)х>рмуле Тейлора, очевидно, зависит не только гп приращений аргументов, но и от самой точки, в окрестности которой рассматривается разложение функции и которую мь аи8. Замечания аб оценке астагсчнсга члена фармальз Тейлора 13 Показать, что в случае неограниченного открытого множества условие равномерной непрерывности продолжаемой функции, являясь достатсчиьпч для непрерывного продолжения, пе является необходимым.

4. Построить пример непрерывной и ограниченной на области функции, которую нельзя непрерывно продолжить па замыкание втой области, Вернемся теперь к формуле Тейлора. Пусть функция Т т раз непрерывно дифференцируема на замыкании О открытого ограниченного множества О. Тогда, согласно результатам и. 39.1, в каждой точке О имеет меспз разложение (39.20) функции Т па формуле Тейлора, причем стремление к нулю аы, (х, Лх) в формуле (39.21) и е (х, Лх) в формуле (39.22) при Лх-з-0 равномерна на ла1ажестве О (см.

определение в п. 20.2), т. е. для любого и )0 существует такое 6 = 6(е) ) О, что если (39.26) то 1е . жл(х, Лх)1ч..е и (п(х, Лх)~ч" е для всех точек х~ О. Это в данном случае непосредственно следует из метода получения функций е „, (Лх) и е (Лх). Действительно, в силу ограниченности и замкнутости замыкания О открытого множества О, непрерывные продолжения на О частных производных порядка рд данной функции равномерно непрерывны на О, поэтому (см. формулу (39.13) для случзя и = 2, в общем случае имеет место аналогичная формула), если выполнено условие (39.26), то .а за(< (з, а .

~зз27) д( 'Зх ...ахл' 1 "' л Здесь правая часть (модуль непрерывности соответствую- щей производной) не зависит от тачки множества О и стремится к нулю при 6 -> О. Поэтому из (39.27) следует равномерное стремле- ние елп к нулю на О. Далее(см. (39.16) для случая и = 2, в слул чае произвольного и имеет место аналогичная формула), ~ е(х, Лх) ~ < ~~,'г ~ ем „(х, Лх) (.

(39.26) я +...+ш =-~л В правой части неравенства (39.28) стоит некоторое фиксирован- ное число слагаемых, обозначим его через Лг. В силу ужедоказан- ного равномерного в О стремлении к нулю функций ем, (х, Лх) для любого заданного е )0 существует такое 6 = 6(в) ) О, что если выполнено условие (39.26), та е )вн,, „. (х, Лх)~- —, гтзз+ ...

+лт„=из, В Зл Форл~ула Тейлора а рлз Гевлооо Отсюда и из неравенства (39.28) следует, что ) е (х, Лх ) ~ ' е. Утверждение доказано. Отметим еще одну оценку в целом остаточного члена формулы Тейлора, получающуюся из записи его в форме Лагранжа (39.19). Если функция 1 определена на открытом множестве 0 и имеет на 0 ограниченные частные производные порядка т, т. е. существует такая постоянная Л1 ) О, что ! <Л1, т,+ ... +ил= т, х~0, (39.29) око'е Вх и го при выполнении условия (39.26) Ион~ оео (г,„, (х, Лх)~ ( для всех х ~ О. Это сразу следует из формулы (39.19), если абсолютные величины каждого слагаемого ее правой части оценить с помощью неравенства (39.29) н очевидного неравенства ~ Лхе) ( б.

39.4. Равномерная сходнмость по параметру семейства функций В предыдущем пункте мы встретились с понятием равномерной сходимости на данном множестве семейства функций, зависящих от некоторого параметра, когда этот параметр стремится к определенным значениям. Такими функциями в нашем случае являлись функции е, (х, Лх) и е(х, Лх), где роль параметра играло Лх. В простейшем виде этот случай встречался еще раньше в п.

20.2. Сформулируем определение равномерной сходимости семейства функций в общем случае. Определение 3. Пусть Х .-Е", Ус: Е'", у'о> — предельная точка леноокества У или один из символов оо, +со, — оо (последние два оплевала имеет смысл рассматрившпь только прсс т = 1). Пусть, далее, функция ф(х) определено для всех хг Х, а функция 1(х, у) для всех х:, Х и уе- У. Говорят, что функция Дх, у) равномерно стремигося на множестве Х к функции ер(х) при у -~- )ло~, если для любого в > 0 суецествует такая окрестность 0(у<и) пимам или символа у<", что для веех х Г Х и всех у~~У 0(у<о1) сьтолняется неравенство 1~(х, у) — ер(х)/(е. (39.30) Переменная у чекепо называется в этом случае параметром, и функция 1(х, у), у ( 1' «семейством функций от хь (в том смысле, ето эупй Равномерная сход>>масть пп ппоо.петру сел<пес>нп функций 15 эта функция сгри различньсх фиксированных у ~ У задает функцисс кеременной х).

Теорема 4 (криптерий Коши). Для пвго чпюбы функция 1(х, у) нри у -э- у'о' ривнол<ерно спгремилась на мноэхесснве Х к некоторой функс<ии, необкодссл<о и две>папи>чно, чтобьс для людово е ) О наислась тт<ая окрестность 0 (у'о') числа или сил<вола у'о>, чпи>оы длялюбых у'~ 0(у<'>) () и у" ~0(у<о>) П и людово »~Х вьтолнялось неравенство () (х, ун) — 1(х, у') (( е.

(39.31) Действительно, необходимость условия (39.31), как всегда в подобных ситуациях, легко следует из условия (39.30). Для доказательства же достаточности следует показать, что из условия (39.31) выл екает, что для любого фиксированного х <- Х существует 1)щ 1(х, у) и что стремление функции 1(х, у) к этому пределу при у — у<а> происходит равномерно.

Все это рекомендуется проделать читателю самостоятельно. Упражнение 5. Доказать; чтобы функция Кх,у), х ~Х, у ~ у равномерно на мно>кестве Хстремилась при у у< > к функции гр(х), х С Х, <о> необходимо и достаточно,; чтобы для л>сбой последовательности у<"> и =- 1,2, ...,!пп у" = уса', последовательность 1(х, у„), л=-1,2 ..., равноцерп сю но на ь<ножестве Х сходилась к функции ч> <х).

Перейдем к п р и м е р а м. 1. В случае, когда У язляетси множеством натура.чьных чисел У = (1, 2, 3, ...), а у'"> = +со, приведенное определение равномерной сходимости по параметру превращается в определение равномерной сходиьюсти последовательности функций 1„(х) = )(х, и), и = 1, 2, ..., на множестве Х.

2. Пусть функция )(х, у) непрерывна на прямоугольнике () = ((х, у): — со (а < х < Ь( + со, — со (с < у " й( + со) и пусть уа~(с, 4. Обозначив< через ь> (Б; )) модуль непрерывности функции у в прямоуголыщке <г, тогда !)(х, у) — )(х, уо)! < о>(! у — уо!1 1) (». у)ЕЮ. (39.32) Правая часть этого неравенства не зависит от х и, в силу равномерной непрерывности функции / на прямоугольнике 0, Вщ о>(Б; )) = О. Поэтому из неравенства (39.32) следует, что при г-о у- уа функция /(х, у) равномерно на отрезке (а, Ь) стремится к функции 1(х, у,).

У п р а гк н е н и е 6. Доказать, что если семейство функций >(х, у), хч Х~Е . уч У<:.Е, таково, что при л>обом фиксированном уп 1' функции ((х, у) непрерывны по х нп Х и функции 1(х, у) равномерно стремятся к функции <р(х) прн у ув>, то функция <у(х) также непрерывна на Х. й гб. Экстремумы Функций многих нараменник 39.3. Замечании о ридах Тейлора для функций многих переменных Если функция 1(х) определена и бесконечное число раз ди!рферепци руема в некоторой б окрестности точки х(о! = (х,'о') ~ Е" то для этой функции формула Тейлора 139.21)) будет, очевидно, спраз неллина, прил!обои натуральном гп = 1, 2, ...