kudryavtsev2 (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 2

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть Лх и Лу зафиксированы так, гго р = у' Лх'+ Луо(6; тогда точки вида (х„+ (Лх, уй+ оЛу), где 0 ~( о < 1, лежат на отрезке, соединяюпгем точки (х„уо) и (х„+ Лх„уо + Лу), и потому все принадлежат Ь-окрестности точки (х, у,). Поэтому имеет смысл суперпозиция функций г=)(х, у) и х=хо+ГЛх, у=-уо+ГЛу 0 <) <1 т. е. сложная функции Р(()=~(хо+) Лх, уо+(Лу). 0 <(< 1. (39 3) Очевидно, что Лг = ) (хо+ Лх~ уо+.

Лу) — 1(хо, уо) =- Г (1) — Р (О). (39е4) Поскольку функция ) имеет в 6-окрестности точки (хо, у,) и непрерывных частных производных, то, согласно теореме о производных сложной функции (см. п. 20,3), функция г" имеет на отргвке10, П и непрерывных производных, и потому для нее справедлива формула Тейлора порядка и — 1 с остаточным членом в форме Лагранжа: г (г) — Г(0) = Выразив производные г'~)(о) через производные функции ) (х, у) и положив в формуле (39.5) г' = 1 (см.

(39А)), получим требуемую формулу Тейлора для функции )(х, у). Действительно, из (39.3) следует, что "'(() =- — — +-' — —-- а) до д( Ыу дх й) ду ед '= д((хо+ ) Ьл, уо+ ) Лу) д)(хо +! Лл, уо + ) Лу) дк д) — Лу. Отсюда для Ее(х), опуская для краткости обозначения аргументов, получим р"(Г) ==- — ~ — Лх+ —, Лу~ ==- —. Лхо-~-2 — Лх Лу-1- — — Лу'. й И) д) ) до) о до) й'~ ~) й))дл ду ) дло ' деду 3),2 З9.! Фрог!Зли Тейлоре длл !Ьрихпиз многих переменные ВообШе по индукции легко получить„что Е!е! (!)=~ — Лх+ — Лу) 1(хе+с Лх, уь+! Лу), (39.0) 1г = 1, 2, ..., т.

Полагая в формулах (39.6) ~=0 при Фе=-1, 2, ..., т — 1, получим дР(хе, уо!Л +д)(хе, у„)Л дх ду аооб где р!е!(О) = ~д — Лх+ — Лу~ )'(хе, у„), /!=1, 2, ..., !п — 1. (39.7) Сд д т(х) Прп )г=.т, заменяя е на 00 имеем В' '(ОК)=~ — Лх+ — Лу) ((хе+ ОХЛх,уь+ОСЛУ). (39.0) Подставим теперь (39.7) и (39.8) в (39.5) и положим 1=1; тогда в силу соотношения (39А) получим П1 — ! Лз Е(1) Е (О) л~г + с~ р! !(0) Р!~'(з) ! ! 1 д д ц !(д х+д у) ~(хь уе)+ е 1 + ~,(~~ Л + д Лу)( ) 1( +ОЛ, у +ОЛ)), Оч.,0(1. Теорема доказана.

Следствие. В предполозсеналх епеоремы Лз = л~, ь! ~дх Лх+дуЛУ) 7(хо Уо)+ем(Лх. Лу) (39,9) и ! где остаточный член е (Лх, Лу) л!ансер! быть золтан в нозгоон аз следу!оа(ах видов: !л г„,(Лх, Лу) = ~Р~ ел(Лх, Лу) Лхл Лу"' е, (39.10) е-о где !ппе„(Лх, Лу)=-0, 7!=0, 1, ..., т; рхр З д9. Фпрпрлп Теалорп и рпд Теелорп или (39. 11) д.т(Лх, Лу)=ь(Лх, Лу)р, 11нд в(Лх, ЛУ)=0, Рь е. д'т(Лх, ЛУ) =о(Р") р-о (адская запись осгаашочного члена фардоулы Тейлора называется его записью е форме Пеано). Доказательство. Положим (39.12) д /(хо+оде.

Уо+06У) д '/(хо Уо? (39 13) вд( х, у)— д дд ~п д В силу непрерывности всех частных производных порядка рл 1ппвд(Лх, Лу)=0. р о оп Чп д д /(хо+ 0 Ьх, Уо+ 0 йу) Гт — 2(ЛХо Л)')= —,у, Сов д д т-* Л у т * д=о т т = — и С,„д, дЛх" Луп'-д+ —,Сд вд(Лх, Лу)Лх Лу д=о о=о 1 дд д 1(оп) оп1(дх х+д У) /(~о Уо)+ ~д вд(Лх, ЛУ) Лхд ЛУп' ", (39.14) д-о где в„(Лх, Л),) твд(Лх, Лу), и потому )пп вд(Лх, Лу)=0. о о (39,15) Подставляя (39 14) в (39.1), получим формулу Тейлора (39.9) с остаточным членом в виде (39.10). Покажем, что остаточный член (39.10) можно записать в виде (39.11). Для этого положим т в(Лх, Лу)=- ~0л ед(Лх, Лу)( —,) ~ —,) ° (39.16) Преобразуем остаток гп,,(Лх, Лу) (см. (39.2)), использовав выражение (39.13), следующим образом: За л Форллуха Тейлора дле лйллннллнй ллноеих переменных Тогда пл гы (Лх, Лу) = ~ ен (Лх, Лу) Лхе Лу'" — е = на ы = р"' „7, зн (Лх, Лу) ~ — Т! ~ — ) = е (Лх, Лу) р'", л=о ~ ) ~р) и так как то нз (39.15) следует, что 1пп з (Лх, Лу) = О.

р-о Следствие доказано. Используя понятие дифференциалов высших порядков, формуле Тейлора можно придать более компактную форму, внешне совершенно идентичную формуле Тейлора для функций одного переменного, записанной также с помощью дифференциалов. В самом деле, так как (см. п. 21.2) оР)(х, у)= р-Лх+ — Лул) 1)(х, у), А=О, 1,2...т, то, полагая для краткости М =(х„у,) ц Л =(х +Лх, у„+Лу), формулу (39.9) можно записать в следующем виде: Л = ~',— ', ()(Л(,)+..()И). (39.17) е=о" Эта форма записи формулы Тейлора наиболее проста и потому удобна для запоминания.

Следует отметить, что предположеная, при которых нами доказана формула Тейлора, могут быть несколько ослаблены. Для справедливости формулы Тейлора (39.1) можно лишь потребовать дифференцируемость в б-окрестности точки (х„у ) всех производных порядка лп — 1. Тогда они, очевидно, будут непрерывными, а все частные производные порядка ш — 2 днфференцируемыми в указанной окрестности и т. д. Таким образом, функция / при данном предположении оказывается ш — ! раз непрерывно дифференцируемой в окрестности точки (х„, у,). Из предположения днфференцнруемостн частных произаодньж порядка т — 1 функции Т следует также, что их можно дифференцировать по правилу днффе- й йу. Формула Тейлора и ряд Тейлора ренцирования сложной функции, если их аргументы, как и в (39.3), линейно зависят от !.

Поэтому приведенное выше доказательство формулы Тейлора полностью сохраняется и для этого случая. Формулу Тейлора (39.1) можно доказать и при еше более слабых ограничепцях, шишко это потребовало бы более тонкого доказательства, и мы не будем иа этом останавливаться (для случая одной переменной см. упражнение 1 в р 13), Формулу (39.1) можно несколько обобщить и в другом смысле; не требовать, чтобы функггия ! была определена во всех точках некоторой' окрестности точки (хш у,), а рассматривать зту формулу лишь при фиксированных Лх и Лу. Именно если функция ! определена и имеет.

дифференцируемые частные производные до порядка т — ! включительно в каждой точке отрезка с концами в точках (хо, у,) и (х, + Лх, уо+ Лу), то формула (39.1) также остается справедливой вместе с доказательством. Из всего сказанного следует, что если функция ! определена в выпуклой области 6 (см. п. 18.2) и имеет в 6 дифференцируемые частные производные порядка гл — 1, то для любых двух точек (хо, уо) ~ 6 и (хо + Лх, у + Лу) ~~6 имеет место формула Тейлора (39.1). Для справедливости же формулы Тейлора (39.9), кроме дифференцируемости производных порядка гп — 1 в окрестности точки (х„у ). достаточно лишь потребовать, чтобы производные порядка гл бьии непрерывны только в точке (к„у,).

Мы не стали всего этого сразу оговаривать для простоты формулировок н доказательств теоремы 1 и ее следствия. Подчеркнем еще, что в формуле (39.9) т (Лх, Лу) = о(р") не в смысле предела по любому фиксированному направлению, как может показаться на первый взгляд из приведенного доказательства, а в более сильном смысле, в смысле предела в точке (х„, у,) (почему?). У п р а ж н е н и е 1. Пусть функция 1(х, у) определена а непрерывна вместе со своими частными производнымн до порядка т включительно в некоторой окрестности точки (хо, уо). доказать, что ее миогочлгн Тейлора порядка ш, т.

е. многочлен (х У) =, ~ Я~(х х~)д~+(У Уо)йу) !(хш Уо), о-о является мвогочленом наилучшего приближения функции !(х, у) «в бесконечна малой окрестности точки (хо, уо)». Это означает следующее: каков бы нн был многочлен 0(х, у) степени не больше т (в каждом его члене сумма показателей степени у переменных х и у должна не превышать числа т) такой, что !(х, у) = я (х, у) + а(ро), и > и, где р'=1 (»' хо) + (У вЂ” Уо)о. он совпадает с указанным оногочленом тейлора Р(х, у) функции ((х, у).

З9.1 Формуле Теодоро длл фднхииа многих переменных Все сказанное переносится и на случай функпий любого числа переменных. Теорема 1'. Если функция и переменных у = Дх„..., х„) определена и непрерывна влтесте со всеми сеонльи частными ггроиэгадными до порядка т включительно и некооктроб окрестности точки хю~ = (х'; ')в', то справедлива форлтула Лу =1(х~1 '+Лх„..., х~ ~+ Лхн) — 1~х|"', ..., х~ ') =. И†! 1(а) р ~д Лхт+ - +д Лхв/ Р(хи ~)+ ггв 1 (Лх), (39.18) и где ~(Лх) = ', (ы) ш! дх, л 0 'В(1, Лх=(Лх„, Лх„), (39.19) а также формула ы ~гд д 11') Лу=,~~ — ~ — Лх,+ ... + — Лх„) 1(х<о))+ты(Лх), (39.20) И (дх, и где г„(Лх) можно записать в каждом из следующих видов". либо «„,(Лх) = )~~ е ...,„(Лх) Лх",' ...

Лх и, (39.21,' ы+...+гл !и т " е где а !ипе, (Лх)=0, р= 1/ ~ Лх', р о т=~ либо т' (Лх) = е(Лх)р", Игп е(Лх) = О, (3922 о и. е. г (Лх) = о(р"'), р — ьО. Наконец, через дифференциалы формулу (39.20) можно записать в виде Лу=,~„— „, т(вГ(хго1)+ г (Лх). (39.23,' *! Эти ограничении но~кис несколько ослабить аналогично тому, как эти было укаэаио выше в случае функций двух иереиенных. й Зу, формула Гелхоро о рхв ты!хоро <О Раскроем теперь скобки в формулах (39.18) и (39.19), воспользовавшись алгебраической формулой с и о агг = ~~е к<о! р ! а,'аг'...а.'. г.=! х+., +л =о ! "' о ллля того чтобы короче записать результат, введем новые обозначения. Положим Уг=(lг,...,йо), 1А)=А~+ ... +Ах, <г1=)г!...1<~1, «и д<Л< г дх 'дхл: ... дх " ! 2 '" о (х — х<'!)' = (х,— х«'!)' ... (х„— х~,")л .

В этих обозначениях формула Тейлора (39.18) с остаточным членом в виде (39.19) перепишется в виде !<о!(х<о!) ) (х) = Ъ (х — х<о!)'+ <х< их!(х<о! ! З(х х<о!)) <л< =т Здесь, как всегда, х= (х,, ..., х„), хш'= (х(~<, ..., х<т) и к<о<+8(х — х<о!) = (х', <+ <<(х! — х<! !), ..., х,',"'+ 8 (х„— х<~!)). В этом виде формула Тейлора для функций любого числа переменных формально выглядит так же, как и для случая функций одного переменного.