Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (Л.И. Седов - Механика сплошной среды), страница 96

о т) В теории упругости а задачах о равновесии при отсутствии внешних массовых сил решения для напряжений ташке можно представить з виде ртт=р", ко при наличии закона Гука или другого конкретного уравиевиа состояпия величины й мы будут функциями координат и ие будут уиизерсальиымп функциями (одпиакоаымп для всех задач) от характеристик деформаций.

В частности, согласно т).8) компоиеиты р'т сцмметричяые, когда )т'™= ютзмз) где его — любой азтисимметричный теизор. Модели сплошных сред с внутренними степенями свободы 481 и, кроме того, для любого объема У, ограниченного замкнутой поверхностью Х, имеем ~ Чьоыбх1 с(т =- ~ (р"бх; -1- Гт,Гас У,бх~) и; е(о:=- У н == ~ У,(7яХ"Мбхе) и, оЬ = О.

В атом случае очевидно, что наряду с напряжениями ря вводятся поверхностные напряжения третьего порядка ~~ад™. Входящие в граничные условия нормальные составляющие градиента ~(~, подынтегральной функции в поверхностном интеграле обращаются в нуль в каждой точке поверхности Х тождественно. Интеграл по любому элементу Ла поверхности Х по формуле Гаусса — Остроградского сводится к интегралу по контуру Г, ограничивающему этот элемент.

Взаимодействия по элементу Ла снодятся к взаимодействиям по контуру Г, которые можно рассматривать как внутренние. Если бх; = 0 на Г, то интеграл по Ли равен нулю. Отсюда следует, что добавочные напряжения р" и ~7„У""'~ в совокупности не дают вклада в потоки энергии взаимодействий (при произвольных возможных перемещениях бх,) между соседними частицами, отделенными одна от другой элементами любой поверхности Х, и, следовательно, и внешними телами на границе тела Хо.

Применение аналогичного преобразования к компонентам р", определенным формулой (17), в которой и представляет собой удельную внутреннюю энергию, приводит к уравнению энергии с наличием обмена механической работой между частицами, отделенными одна от другой элементами Лс поверхности Х, при бх1 чь О. В этом случае обмен энергией между соседними частицами осуществляется только за счет обычных напряжений второго порядка р".

В связи с этим подчеркнем, что в более сложных моделях нельзя внутренние поверхностные взаимодействия свести только к обычным напряженним второго порядка, поэтому приведенные выше соображения представляют интерес. Вариационное уравнение (9) позволяет глубже уяснить существо понятий об уравнениях состояния, о граничных и начальных условиях на сильных разрывах, которые не следуют из дифференциальных уравнений без дополнительных допущений. Оказывается, что все только что перечисленные условия и уравнения тесно связаны между собой и должны рассматриваться в едином комплексе. Последующие выводы связаны с таким преобразованием формулы (16) для 6И', чтобы подынтегральное выражение содержало только вариации бх' и брл и независимые на Х + Бк ковариантные производные по нормали Ч',"~бх' и у„'Я' брл (а, р = 1, 2, ...) Дело в том, что вариации бх' и т';бх', а ташке не все высшие градиенты 7Го ...,Уз бх' на Х + Я~ можно РассматРивать как независимые.

482 Добавление И В простейших частных случаях соответствующие преобразования формулы (16) для получения граничных условий были произведены Миндлиным ') ['т). Соответствующие частные преобразования для получения условий на скачках были сделаны М. В. Лурье Рз) Предположим, что поверхность Хз + о'.ь гладкая, для этого достаточно гладкости поверхности Я (так как объем Гз и выбираемая поверхность Хзпропзвольны).

Указанные преобразования приводят к формуле б( = ~ (У;збх1, Упу„бхз+...+Уц, пук-Пбх'+ и+за + " Азб(ь 1 млтрзб)ь т ° + ~~щ8-и та б(х ) г(с. ('(9) В формуле(19) компоненты векторов У,.з, Уы, ..., Уцг и и компоненты тензоров Млс, ... „Фщ, и определены однозначно и выражаются через Р' " ' + фя""и Ж~ьл' " + 317" ', которые не определяются однозначно. Существенной особенностью векторов У;„и тензоров .а(ла, определенных в точках элементов с(с на граничной поверхности Хз + Яй, будет их зависимость не только от ориентации этих элементов, как это имеет место для обычных напряжений, но и от кривизны этих элементов и от других более тонких дифференциальных геометрических свойств рассматриваемых элементов з).

Истинными характеристиками сплошной среды будут именно векторы У„и тепзоры Мю они зависят от геометрических особенностей площадок, по которым происходит взаимодействие, и от определяющих паРаметРов чеРез фУнкцию ЛагРанжа Л и чеРез (),и"'" и ЛХлй"'" входящих в выражение для бйте. Очевидно, что и формуле (11~ ') Общее преобразование в четырехмерном пространстве — времеви прн любом конечном порядке градиентов вариаций было произведено В.

Желноровичем. ') Переход от формулы (16) к формуле (19) легко получить при отсутствии ребер или конических точек на 2 + Юя; при налнчин таких особенностей формула (19) также верна, но в этом случае вначенне интеграла (19) необходимо рассматривать как предел вдоль гладкой поверхности Е + Я ., стремящейся к поверхности с ребрами. Из-за наличия особенностей и разрывов у подынтегральной функции в (19), зависнщей от вектора тз и его касательных производных, при переходе к пределу (к трехмерной поверхности Е + Б с двумерными ребрами) возникают добавочные интегралы, взятые по двумерной поверхности ребер. Зги интегралы можно выписать, применяя интеграл (16), не имеющий особенностей на ребрах, сразу к поверхности с ребрами, затем надо произвести преобрааование к формуле (19); прн атом преобразовании второй ивтеграл от дивергеитного члена, обращающийся в нуль для гладкой поверхности Е + Яя, для поверхности с ребрами даст легко вычисляемые интегралы по ребрам, вообще отличные от нуля.

Модели сплошных сред с взутреннлми степеияии свободы 483 для бИ'е существенны только комбинации, составленные из ч,'а"'~" и Млю "", входящие в определение У,. и .Юла. Если на части границы Хо величина ЬИг задана, то на основании формулы (19), произвола дх',6(хл и их нормальных градиентов на Хо, получим следующие условия в точках А на рассматриваемой ча- сти Х Ум = 1м (А), Фаз = — для (А) (1=1,2,3,4; А=1,2,...,Л', а=0,1,2,, г — 1; Д==0,1,2,..., з — 1), (20) где гс„ (А) и для (А), вообще говоря, заданные функции в точках А. На пространственной трехмерной части границы Х„ соответствующей 1о = сонат, равенства (20) представляют собой начальные условия в трехмерном объеме, занятом телом.

Условия (20) на трехмерной части Х, образованной двумерной границей тела Х, и одновременно изменяющимся временем 8, можно рассматривать как краевые условия на границах переменного трехмерного ооъема, занятого данным телом. Равенства (20) на текущей границе 1 = сопз$ ) 1с можно рассматривать, вообще говоря, просто как соотношения, определяющие правые части на основании законов движения, которые выделяются начальными и краевыми условиями.

Напишем теперь условия на трехмерной поверхности сильного разрыва Я, расположенной внутри четырехмерного объема )г, сплошной среды. Примем, что на основании предварительных исследований и соответствующих гипотез все внешние воздействия на среду, распределенные по Я, включены в 6Иге (например, изменение «аддитивной» постоянной ио и, в частности, тепловыделение при химических реакциях на фронте горения или детонации или поглощение энергии на различного рода разрывах оплошности вдоль Я иногда можно рассматривать как внешние воздействия; зти же эффекты можно трактовать как внутренние процессы, усложняя и изменяя плотность лагранжиана Л и, в частности, выделяя вариации соответствующего добавочного поверхностного интеграла по поверхности разрыва о). Полагая, что вариации бл' и б)х" и все их производные, входящие в бИг, равны нулю на Х, на поверхности скачка Я, получим 0 = 6И' = ~ ((У~обх'), + (Умах') +...

+ (Уц„п7~„" нбх') + з + (Удг-п7е Пбх) +(-~аллой)х )++ (.1блоб)х ) + ...+(.Флн-п7еы Пбй ),+(.,Ф„ц, п7е Пб)х )) сЪ. (21) В формуле (21) у всех величин, зависящих от направления нормали на 8, дальше будем применять одно и то же направление нормали, 484 Добавление 11 На основании определений У, и Фаз и оператора т„имеем ~ ы (и) — + 9 ы( и) чВА (в) +омАВ( в)> Рп + 1~(-и) (22) причем знак минус соответствует четным а, р и Й, а знак плюс — нечетным.

Как было указано, основное условие о классе допустимых функций состоит в предполонсении, что искомое решение и сравниваемые функции в объеме Р"» кусочно-непрерывны вместе со всеми своими частными производными, присутствующими в основном вариационном уравнении (9). Основной смысл введения поверхности сильного разрыва Я внутри объема Г4 состоит в том, что при мысленном пересечении поверхности Я искомые решения и соответственно варьпрованные допустимые функции терпят разрывы '). Вти разрывы могут иметь различный характер, который, в частности, может быть связан с порядком и видом производных или саыих функций, терпящих разрыв на Я. Например, можно рассматривать сильные разрывы типа трещин, в которых сами искомые функции вместе с любыми частньпии производными разрывны, или разрывы типа дислокаций, в которых малые перемещения, нормальные к поверхности Я, непрерывны, но перемещения в касательной плоскости к Я при переходе с одной стороны Я, на другую Я разрывны, илн разрывы типа ударных волн в классической газовой динамике, когда все координаты х' (перемещения) на 8 непрерывны, но могут терпеть разрыв производные дх'/д$'.

При наличии в числе аргументов функции Л производных высшего порядка зз 4 дбч... д~Ъ возникает болыпее число различных видов возможных сильных разрывов. В газовой динамике и в простейших теориях механики твердых тел при постановке и решении конкретных задач возможны различные случаи, когда тип поверхностного разрыва задается или когда тин разрыва определяется в процессе решения.

В соответствии с зтим при применении вариационных уравнений также необходимо вводить илп находить классы функций, среди которых должно существовать искомое решение ч). В частности, если принять, что класс допустимых функций определяется следующими г) В общем случае величивы разрывов искомых функций также являются искомыми. Однако можно рассматривать задачи, в которых некоторые разрывы искомых величии фиксировакы в дополнительных условиях задачи. ') Тавого рода допущекия аиалогичвы весьма общим допущениям о непрерывности и диффереицируеиооти рааличвых функций в механике сплошной среды. Моделя сплошных сред с ввутревввмв степенями свободы 485 условиямн в точках поверхности Я: (Ч,",бх') =(Ч,",бх') (1=-1,2,3,4; а=0,1,,гг--1;г ~(г), причем (Ч„"бх'),, (Ч„'бх') произвольнь| и незаьдспмы при а = г,, гг+ 1,...,г — 1, (Чоб)с )„= (Чоб)х ) (А = — 1, 2,..., Л'; ~ .= О, 1,..., з, —,1; г, ( г), (23) а (Ч'„б)хл)„(Ч'„"б)хл) произвольны и независювы при () = з„...