Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (Л.И. Седов - Механика сплошной среды), страница 95

Осооонное физическое значение может иметь учет свойств величин в подынтегральном выражении для 6И'" на поверхности разрыва Ьв. Определенно 6Иэ связано с выбором определяющих параметров л' и )г, с определенном их вариаций и, в частности, со свойством непрерывности вариации на скачках. Важно отметить, что при определении или при задании величин Л и 6И'* выявляются общие основы для самых разнообразных моделей. Это позволяет использовать и синтезировать опыт в различных областях и установить непосредственныо связи между различными теориями. Кроме того, возникают дополнительные средства для использования статистических соображений. Учет диссипативных процессов можно и удобно производить при помощи уравнения для продукции энтропии в законах для действительных движений и процессов.

Уравнение, определяющее изменение энтропии частиц, получено ниже из уравнений Эйлера в общей вариационной задаче (9). Положительность роста энтропии за счет Модели сплошных сред с внутренними степенямн свободы 477 бЛ вЂ” = йул б„А Здесь через 6Л/бхог, 6Л/6(г" и 6Л/бо обозначены вариацнонные производныо, например: бЛ дЛ дЛ, дЛ вЂ” == — — Ча + ЧаЧ. (14) бв" дх" дЧ в" 'дЧЧ х" О с а а 0 на х,.

после суммирования по индексу г Умножая уравнения (12) получим дсс 99 дб1 . 'с 1 д 4 дал, дЛ дав -~- ЯХс —" -'- — —,— + Ч )т', аб~ ' дК„ (15) где ю е б бЛ Л дв' Р =- х, х —. — =- —, Чо Р б е ~,Ц~ = д$4 в так как х, — Ч,х, '+ х, 'Ч,( — х„~ -.= Ч, (х, хя —.) бс в ') Эти уравневияполучевы приравннваннем нулю в объемном интеграле коаффицнентов при бе~, дрл н бу с учетом равенств бЛ=дЛ+бсСЧ.Л, бр~ =дрл+бх|Ч рл, бдт = Ч бх дт, внутренних необратимых процессов должна обеспечиваться законаыи, задающими Л и обобщенные силы () и М для действительных явлений.

По основному смыслу уравнения (9) принимается, что величина 6И' представляется поверхностным интегралом по Ха + 8+. При вариациях бх', 6(ъ" и их производных, отличных от нуля на Х + о-, вариация 6И' определяется из уравнения (9) через 6)ЛЫт и 6И'". Если, кроме уравнения (9), величина 6И' па Хо + Я~ (при произвольных бх', 6(ъл и соответственно их производных) задается еще внешними условиями, то, как будет показано ниже, это приведет к начальным условиям, краевым условиям и условиям на скачке.

Уравнение (9) при вариациях бх' и 6(г", равных нулю вместе со своими проиаводными нужного порядка ва Хс + Я~, но произвольных (линейно независимых) внутри Ф'ю приводит к уравнениям Зйлера ') — „Ч,х„р+ Ч,( —,х,'/+ М- Ч,К~ + а —,' .Ч~Черл =- РВЧ15, (12) бЛ Ю бЛ дЛ вЂ” — = — р9, би дЬ' (13) 478 Добавление 11 в силу равенства дЛ в р в р дЛ Г д х" д хз т 0 = — (Хв Чвхв — Хч увХ4 ) =— дх " ' ' дх Р (,д~вдйв д14д~ч~ Уравнение (15) представляет собой уравнение для продукции энтропии в частице, так как по принятому условию координата $4 играет роль времени. Для получения производных по собственному времени»1т = (двв)Ъ»($4 достаточно умножить обе части соотношения (15) на Явв) чч Уравнения Эйлера содержат в себе уравнения импульсов и энергии, и в зависимости от смысла параметров )»» уравнения Эйлера могут содержать в себе уравнения Максвелла, уравнения химической кинетики, различные другие виды уравнений для искомых параметров (»4 — характеристик внутренних степеней свободы.

Мол;но показать (в), что все существующие макроскопические модели сплошных сред, в том числе и модели пластических сред, можно получить иэ базисного уравнения (9). Уравнения Эйлера представляют собой, вообще говоря, уравнения с частными производными, порядок которых связан с порядном производных, входящих в аргументы функции Лагранжа Л, в общем случае этот порядок может быть довольно высоким. Если Л»(т и ЛИ'х — четырехмерные скаляры, определенные формулами (10) и (11), то после варьирования первого интеграла и соответствующего интегрирования по частям из основного уравнения (9) следует формула йУ=--.

~ ~У,(Р»' "+(7»м» ")7;,...У»бх "; хв+з р=в + ~Хд (~ул '+ Мэ' 4) у»»... У1 Ь)» ~ п»Ю+ ') 77,14"п»»(а. (16) 4=4 вв азх Здесь Р»"'"'р и У~»ь '4 — некоторые величины(компоненты тензоров), вырал»ающиеся чероэ Л и через производные от х» и )»а; эти величины получаются при преобразованиях вариации б~ Л»(т путем интегрирования по частям. Техника этих преобразований вообще не дает однозначного определения компонент Р»" "'р и У'„'ь'"'4, это связано с возможностью приписать слева в (16) последний интеграл, который тождественно равен нулю, когда й'» будет произвольным антисимметричным тензором с непрерывными компонентами, имеющими непрерывные производные первого и второго порядков в точках объема, ограниченного поверхностью ~э+ ох Модели сплошвых еред с внутренними степенями свободы 479 Это утверждение очевидно на основании теоремы Гаусса— Остроградского, так как из равенства »»'» = †»1'» следует, что р,у а'» = о.

В качестве компонент»»' » можно взять любые линейные формы того же вида, что и в первых членах подынтегральных выражений в формуле (16). Очевидно, что формулы, дающие выражение компонент тензоров р»1» ~ нй л „,»л...~ .»й ~» через параметры, характеризующие движение и состояние частиц, не определены однозначно ввиду произвола в выборе й'». В связи с этим возникает проблема о неоднозначности понятия тензора энергии — импульса и проблема о произволе для заданных уравнений Эйлера уравнений состояния вообще и, в частности, фундаментального понятия о внутренних напряжениях. Зависимость указанных компонент тензоров в формуле (16) от определяющих параметров можно рассматривать и истолковывать как уравнения состояния физической среды.

Это — уравнения, обобщающие закон Гука. Таким образом, для фиксированной системы уравнении Эйлера появляется произвол в определении уравнений состояния. Более детальный анализ показывает, что дополнительные краевые и начальные условия на сильных разрывах, выражающие собой физические взаимодействия на границе тела или внутри тела на скачках, не могут служить основой для исключения указанной неоднозначности в уравнениях состояния. При фиксированной системе уравнений Эйлера можно изменять плотность лагранжиана Л добавлением дивергентного члена; нетрудно видеть, что это также повлечет за собой изменение уравнений состояния. Однако полное фиксирование лагранжиана можно включать в физическое определение модели сплошной среды.

Фиксирование системы уравнений Эйлера не дает полной и нужной информации о конкретной модели среды. Естественно, что напряжения определяются однозначно, когда уравнения состояния установлены. Но весь смысл обсуждаемой неоднозначности связан с тем, что все законы движения и законы процессов изменения параметров )»» в конкретных задачах сохраняются при некоторых различных видах уравнений состояния. Необходимо отметить и подчеркнуть, что вскрытая выше неоднозначность не связана со спецификой метода установления уравнений состояния с помощью вариационного уравнения (9). Такое же положение дел возникает при использовании общего термодпнамического уравнения притока тепла в дифференциальной форме [ "1.

Смысл этой неоднозначности можно понять и разъяснить при помощи следующих общих физических соображений. Добавттеятте Н Хорошо известно, что при движении абсолютно твердых тел решение задачи о внутренних напряжениях в твердом теле не имеет определенного ответа. В твердом теле всегда можно представить себе приложенной любую систему внутренних сил, эквивалентную нулю, наличие или отсутствие которой нельзя обнаружить. Присутствие такой системы сил не имеет никакого значения.

Легко убедиться, что и для любых деформируемых тел, аналогично тому как и для абсолютно твердых тел, можно указать много различных систем напряжений, которые не влияют на законы движения, и поэтому наличие или отсутствие таких напряжений нельзя обнаружить. Для различных систем внутренних напряжений уравнения движения и добавочные условия одинаковы, но уравнения состояния различны. Очевидно, что вопрос о такой многозначности ке возникает, когда заранее приняты уравнения состояния.

Однако в проблемах конструирования новых моделей, когда устанавливается система уравнений состояния, вопрос о возможности разного выбора уравнений состояния возникает по существу решаемой задачи. Этот вопрос может приобретать существенное значение, когда плотность лагранжиана зависит от последовательности градиентов определяк|щих характеристик. Для того чтобы продемонстрировать па примере справедливость указанного предложения, рассмотрим уравнения теории упругости, для которых уравнения состояния представлены формулами ()7) дзо Вместо уравнений состояния ()7) возьмем другие уравнения состояния в виде причем величины Лт'тт' антисимметричны, как указано, по з, ), т. е. представляют собой компоненты тензора, зависящего для всех задач одинаково, но произвольно заданным образом от лтобых параметров состояния и любых их производных '). Легко убедиться, что все законы движения и деформаций будут определяться независимо от р", так как добавочные напряжения ро удовлетворяют тождественно уравненняы равновесия р,р".=.