Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев - Теория вероятностей и математическая статистика, страница 62

2. Распределяются случайным образом 5 шаров по 3 ящикам. Известно, что нет пустых ящиков. При этом условии найти вероятность того, что в первом ящике лежит один шар. 3. Каждый из 900 посетителей оптового рынка случайным образом обращается в один из 10 ларьков.

В каких границах с вероятностью 0,95 лежит число клиентов отдельно взятого ларька? 4. Поставки некоторого продукта в город могут производиться из трех областей, соответственно в соотношениях 20, 30 и 50%. Доля продукта высшего сорта в поставках соответственно равна 40, 50 и 20%. Какова вероятность купить продукт более низкого качества? Были приобретены 2 коробки продукта в разных магазинах.

Какова вероятность того, что среди них будет продукт более низкого качества? 5. Вероятность того, что случайно взятая деталь окажется второго сорта, равна 3/8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью, равной 0,995, можно было утверждать, что частота отклонится от вероятности менее чем на 001? Вариант 5 1. Дать определение условной вероятности события А при условии В. Как изменится вероятностная модель дискретного случайного эксперимента, если дополнительно известно, что произошло событие В. Доказать формулу полной вероятности. 434 Приложения ® 2.

Известно, что у пятизначного номера телефона все цифры разные. Какова при этом условии вероятность того, что среди них ровно одна четная (О считаем четной)? 3. Известно, что 96% продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает годной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную — с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, принятое по упрощенной схеме, удовлетворяет стандарту. 4.

Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появления события в этих испытаниях было равно 25? 5. В магазине вывешены один коспом 2-го роста, два костюма 3-го роста и три костюма 4-го роста. Костюм 2-го роста спрашивается с вероятностью 0,2, костюм 3-го роста — с вероятностью 0,3, костюм 4-го роста — с вероятностью 0,5. В магазин обратились 3 покупателя. Найти вероятность того, что хотя бы один из них ушел без покупки. Вариант б 1.

а-алгебра и вероятностная мера на ней. Сформулировать аксиомы конечной и счетной аддитивности. Доказать, что если неотрицательная нормированная конечно-аддитивная мера является счетно-аддитивной, то она обладает следующим свойством непрерывности: 1(шР(*)=Р(С) для любой последовая-~ тельности вложенных событий В, ~В, ~...,С=ПВ1 1=1 2. Рабочий обслуживает три независимо работающих станка.

Событие А,. состоит в том, что 1-й станок в течение часа потребует наладки, Р(А,) = 0,2, 1 = 1, 2, 3. Выразить события: 1) ровно 2 станка потребуют наладки, 2) не более 2 станков потребуют наладки, 3) хотя бы 1 потребует наладки. Найти вероятность события 3. Найти вероятность того, что в течение 7 часов работы будет не менее 2 часов, когда наладки потребуют все три станка. 3. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что образец годен к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже. 4.

Найти вероятность того, что у 6-значного номера телефона совпадают ровно 3 цифры. иг 435 ® Приложения 5. Вероятность наступления события в каждом отдельном испытании равна 0,2. Произведено 900 испытаний. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более чем на 0,04. Вариант 7 1.

Сформулировать и доказать теорему Бернулли. Найти наивероятнейшее число появления события в и независимых испытаниях. Сформулировать теоремы Пуассона и Лапласа, а также следствие из интегральной теоремы Лапласа. 2. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что искажается в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «точка» и «тире» встречаются в отношении 5:3.

Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если: а) принята «точка»; б) принято «тире». 3. Сколько раз надо провести опытов «трехкратное подбрасывание кубика», чтобы с вероятностью 0,95 хотя бы один раз появилось ровно 2 единицы? 4. Шесть рукописей случайным образом раскладывают по 5 папкам. Какова вероятность того, что некоторая папка останется пустой? 5. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004.

Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на 5 веретенах. Ковтрольиая работа № 1 «Случайные события» (спепяальиосп «Экономика») Вариант 1 1. Основные правила комбинаторики. Сочетания, размещения, перестановки. Разбиение множества на группы. Дискретное пространство элементарных исходов.

Простые и сложные события. Классическое определение вероятности. 2. В урне 9 белых шаров, 7 красных и 4 черных. Найти вероятность извлечь (без возвращения) три шара разного цвета. 3. Два аудитора проверяют 8 фирм (по 4 фирмы каждый), у трех из которых имеются нарушения. Вероятность обнаружения 436 Приложения ф нарушений первым аудитором равна 0,6, вторым — 0,9. Найти вероятность того, что все фирмы-нарушители будут выявлены. 4. В цехе работают 7 мастеров и 3 ученика, производяшие одинаковое число изделий. Мастер допускает брак в 1% случаев, а ученик — в 5% случаев. Изделие оказалось бракованным. Найти вероятность, что его сделал ученик. 5. Деталь является бракованной с вероятностью 2%. Сколько деталей надо взять, чтобы с вероятностью 99% среди них оказалась хотя бы одна бракованная? Найти наивероятнейшее число бракованных деталей в этом случае. Вариант 2 1. Сигма-алгебра и аксиомы вероятности. Доказать эквивалентность счетной аддитивности и монотонности.

Геометрическая вероятность. 2. В партии из 30 изделий 5 бракованных. Найти вероятность, что в случайной выборке из 10 изделий содержится не более одного бракованного. 3. В одной коробке 4 красных шара и 6 синих, а во второй — 8 красных и 2 синих. Из первой во вторую переложили два шара, а затем извлекли из второй два шара без возвращения. Найти вероятность того, что последние оказались одного цвета. 4.

На заводе установлена система аварийной сигнализации, которая при наличии аварии срабатывает с вероятностью 99%. Однако в 0,2% случаев, когда аварии нет, сигнал также может возникнуть. Найти вероятность того, что случилась авария, если сигнализация сработала. Вероятность аварии 0,007. 5. Страховой агент при каждом визите заключает с вероятностью 30% договор. При каком числе визитов наивероятнейшее число договоров будет равно 10? Вариант 3 1. Независимые испытания Бернулли. Формула Бернулли и неравенство для наивероятнейшего числа успехов (с доказательствами).

2. Шесть клиентов равновероятно обрашаются в 3 фирмы. Найти вероятность того, что ровно в одну фирму обратятся 2 клиента. 3. Из продукции птицефабрики 75% яиц стандартные, 20%— большего объема и 5% — двухжелтковые. С какой вероятностью 437 ф Приложения среди 3 случайно выбранных яиц одновременно окажутся хотя бы одно большего объема и хотя бы одно двухжелтковое? 4.

К системному администратору обращаются за помощью пользователи. Среди них 60% начинающих, 40% опытных. Вероятность обращения начинающего пользователя 85%, опытного — 15%. Найти вероятность того, что очередной пользователь, обратившийся за помощью, окажется начинающим. 5. Стиральным порошком фирмы А пользуется 25% населения. Сколько людей надо опросить, чтобы получить эту долю с точностью 0,05 с вероятностью 0,95? Вариант 4 1. Условная вероятность. Полная группа событий. Формула полной вероятности и формула Байеса (с доказательствами). 2. Студент в состоянии решить 20 задач из 25 в первом туре экзамена и 15 из 20 — во втором.

Найти вероятность сдачи им экзамена, если в каждом туре дается 3 задачи и достаточно решить хотя бы 2 из них. 3. Фирма участвует в четырех независимых проектах, вероятности успеха которых составляют 0,5; 0,6; 0,7 и 0,8 соответственно. Найти вероятность того, что хотя бы два проекта увенчаются успехом. 4. В город поступают товары трех фирм в соотношении 2:3:5.

В поставках первой фирмы 60% товара высшего качества, второй — 40%, а третьей — 20%. Куплен товар высшего качества. Найти вероятность того, что он изготовлен второй фирмой. 5. Вероятность того, что пассажир опоздает к поезду, равна 0,005. Найти наиболее вероятное число опоздавших, если всего билеты купили 600 человек, и вероятность того, что их будет именно столько. Вариант 5 1. Операции над событиями. Формулы де Моргана. Независимость событий. Вероятность противоположного события. Теоремы сложения и умножения вероятностей (с доказательствами).

2. В каждой упаковке товара фирмы «Том» имеется одна из букв Т, О, М равновероятно. Какова вероятность собрать все буквы, купив 5 упаковок товара? 3. В урне 7 красных шаров и 9 синих. Извлекли три шара (без возвращения), затем положили их обратно и добавили в 438 Приложения ® урну два шара того цвета, который оказался в большинстве среди извлеченных.

С какой вероятностью два шара, вынупых после этого, окажутся синими? 4. Мимо бензоколонки проезжают легковые и грузовые машины. Среди них грузовых машин 75%. Вероятность того, что проезжающая машина подъедет заправиться, для грузовой машины равна О,1, для легковой — 0,2. Найти вероятность того, что очередная машина, подъехавшая на заправку, окажется грузовой. 5. К 5 менеджерам обращаются 400 клиентов фирмы. В каких границах с вероятностью 0,95 лежит число клиентов отдельно взятого менеджера? Вариангл б 1. Теорема Муавра †Лапла и следствия. Теорема Пуассона (с доказательством).

2. Группа из 27 студентов пишет контрольную из 3 вариантов (по 9 человек в каждом). Найти вероятность того, что среди случайно выбранных 5 студентов есть писавшие каждый вариант. 3. Фирма имеет 3 поставщиков, каждый из которых надежен с вероятностью 0,8. В случае отказа одного поставщика вероятность разорения фирмы равна 0,25, двух — 0,75, трех— 0,95. Найти вероятность разорения фирмы. 4. Из урны„где было 10 красных, 6 белых и 4 синих шара, вынут один шар. После этого из урны извлечены (без возвращения) 2 шара, оказавшиеся красным и белым. При этом условии найти вероятность того, что сначала был вынут синий шар. 5. Страховая фирма заключила 2500 договоров. Вероятность страхового случая по каждому в течение года составляет 2%. Найти вероятность того, что число таких случаев не превзойдет наивероятнейшее число более чем на 2.

Контрольная работа № 1 «Случайные события» (специальность «Менеджмент») Вариант 1 1. Дискретное пространство элементарных исходов. Простые и сложные события. Классическое определение вероятности. 2. В каждой упаковке товара фирмы «Рекс» вложена одна из букв Р, Е, К, С (равновероятно). Найти вероятность собрать все буквы, купив 6 упаковок товара. 439 1й приложения 3. Из урны, где было 5 белых и 2 черных шара, переложен вынутый наудачу шар в урну, содержащую 3 белых и 4 черных шара.