VII.-Теория-упругости (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 48

8 46. Ъ'равнения движения смектиков Механика смектиков имеет то общее с механикой нематиков, что в обоих шгучаях речь идет о гидродинамике с догюлнительными (по сравнению с обычной жидкостью) переменными. В случае нематиков этой и!'.ременной является директор и, а в случае смектиков смещение и слоев !,Р.С. Маг4гп, О. РагоЫ!', Р.Я. РегВЬап, 1972).

Последнее требует пояснения. Скорость определяется в гидродинамике как импульс единицы массы вещества. Ее компонента и, отнюдь не обязана совпадать в данном случае с производной ди!гд1, Перенос массы (в направлении оси В) может осуществляться в смектике не только за счет деформирования слоев, но и путем «просачивания» вещества сквозь остающуюся неподвижной одномерную структуру (подобно описанному в 8 43 аналогичному эффекту в холестериках). Это явление пе специфично для жидких кристаллов, аналогичное явление возможно и в твердых кристаллах, .где оно связано с диффузией дефектов (сь!. примеч.

на с. 130). Но в смектиках оно в принципе неустранимо ввиду ббльшей Вразмытости» периодической структуры (как бы содержащей значительное число дефектов вакансий) и бблыпей подвижности молекул. При адиабатическом движении каждый элемент жидкости переносит свое постоянное значение энтропии В (отнесенной к единице массы); если в какой-либо начальный момент времени энтропия В была постоянна по всему объему среды, она останется постоянной и в дальнейшем.

Поскольку условие э = сопв$ справедливо именно для энтропии единицы массы, будет удобным от- 251 угяв!!юсин ДВР!жвиия смвктиков (46.3) ') Строго говоря, в С46Л) надо было бы писать ди/дз — бо(з) вместо ди/дя, где босо) — значение ди/дз в отсутствие внешних снл при энтропии э. Рассматривая движение при заданном о, мы можем выбрать в качестве педеформированного именно это состояние и положить бо(о) = О. Подчеркнем, однако, что после этого уже нельзя, например, дифференцировать выражение !46.1) по з с целью определения текшературы по формуле Т = (де/дз) р! о) Хотя мы интересуемся в конечном счете лишь линеаризованными уравнениями движения, мы не производим линеаризации на каждом этапе выводов, так как зто усложнило бы запись формул.

носить спасала к единице массы также и внутреннюю энергию среды; обозначим ее через ж Для деформированного смектика эта величина выражается формулой, аналогичной (44.1): с!с = е ео(з) = , /!Р Ро) + (Р Ро) + А 2 С ди 2ро ро до +и Я + йсссз,с!)2 2 до 2ро где ро -- плотность недеформированпой среды, коэффициенты А, В, С здесь не совпадают с таковыми в (44.1) они представляют собой теперь адиабатические значения модулей упругости (и предполагаются выраженными в функции от я), а пе изотермические, как в (44.1); что касается коэффициента Кз, то его изотермическое и адиабатическос значения совпадают по тем же причинам, что и для нематиков (см.

конец 2 36) ). Единица массы вещества занимает объем 1/р. Поэтому термодинамическое соотношение для дифференциала энергии: Ие = ТсЬ вЂ” рЛ' = ТсЬ+ — с/р. ро Давление в среде можно, следовательно, найти дифференцированием выражения (46.1) Р=Р ~ ( А!Р Ро)+Рос!в 2/дс'! ди (46.2) др в дз Дальнейшее построение уравнений движения смектиков очень близко по используемой последовательности операций произведенному в 2 40 выводу уравнений движения нематиков. Для усиления этой аналогии снова (как и в 2 40) будем пользоваться энергией Е = ре и энтропией 5 = рз, отнесенными к единице объема.

Уравнение непрерывности имеет обычный вид 2) др дс — Р+ с)си(рог) = О. Динамическое уравнение для скорости должно иметь вид р — '* = дьсг,ь (46.4) дС 252 мьхапикА !кидких кгиста!!лов 1В! У! дЯ, ( ч) 2й (46.6) Как и в 2 40, вычисляем производную по времени от полной энер- гии единицы об"ьема среды, фигурирующую в уравнении закона сохранения энергии (40.11).

Отличие возникает только в виде по- следнего члена в (40.12). Имеем теперь !) ! св»К,[А, )(А,~-") = = — й — + с)!у ( ) (46.7) д! (как и в 2 40, члены с полными дивергенциями не выписываем), где введено обозначение д ( дЕИ ) — К~ти Вди+Од(Р— Ро) К~яи р,н (46.8) Если рассматривать 6 как в-коьгпоненту векторной величины Ь = п)! (и единичный вектор вдоль оси и), то легко убедиться, что этот вектор может быть представлен в виде дивергенции )1, = дьсг ~, Ж (46.9) ГДЕ СИММЕтРИЧПЫй тЕНЗОР 1т,.ь ИМЕЕТ СЛЕДУЮЩИЕ КОМПОНЕНТЫ: !Р) о; = тру — — КзЬА —, с = Ро — '+ С(Р— Ро), ди (г) до, д.' д (г) ди (г) ди (г) пик = — К!АА ! —, пук —— — К!!1! —, с1ир — — О. д*' др' (46.10) 11 ) Здесь и ниже изменением модулей упрутости вдоль среды пренебрегаем.

(ср. (40.7)); вид тензора напряжений будет установлен ниже. Еще одно уравнение связано с наличием дополнительной переменной и выражает собой отличие в, от ди/дй — — Н, = 1"У'. (46.5) д! Величина 1»" представляет собой скорость «просачивания» -- скорость жидкости относительно одномерной решетки; она имеет кинетическую природу, и ее выражение будет установлено ниже. Наконец, уравнение для энтропии, учитывающее диссипативные процессы в среде, имеет вид (40.8) 253 1 46 угавпвння движения омьктиков Подставив в (46.7) ди/д1 из уравнения (46.5) и снова выделив в одном из членов полную дивергенцию, пишем (дЕ«1 — — 5Лг — н, дьсг ь + сЬк ( )— = — ИМ+ н,ьп,' +411у(.

). Это выражение отличается от (40.17) лишь смыслом обозначений 6 и Ю'). Поступая далее также, как это было обьяснено в 3 40, получим прежнее выражение (40.21) для диссипативной функции 2Л = ' ~а+ Х6 — 5ЧТ, (46.11) где сг,'ь вязкая часть тензора напряжений: о.,ь = — рб,ь + о,.„+ о,ы Ж (46.12) Динамическое уравнение (46.4) с этим тензором напряжений принимает после линеаризации (опускаем член (ттрн)н) вид ро — ' = — дгр + 54 + дьо;'~., (46.13) где вектор Ь = п6 определен выражением (46.8). ВЯзкий тензоР напРЯжений и,'.ы тепловой поток 41 и скоРость проса >ивания К («термодинамические потокиа) обычным образом представляются выражениями, линейными по «термодинамическим силама — и;ь(Т, Т Я д;Т, — Ь(Т, причем коэффициенты в этих выражениях связаны друг с другом соотношениями, следующими из принципа Онсагера.

Не повторяя заново соответствующих рассу>кдений (ср. 3 41, 43), напишем резулыат. При этом будем считать, что (как это обычно имеет место) смектик обладает центром инверсии (до сих пор это еще не предполагалось). Тогда вязкий тензор напряжений дается той же формулой (41.4), что и для нематиков, причем под п следует понимать направление оси и. Тепловой поток и скорость просачивания даются выражениями 41, = — >г~ — + ~А, с1т = — >г~ г«>~ Т, Дг = Лрй — и —, (46.14) дТ д д7" дс т де' причем положительность диссипативной функции требует выполнения неравенств >гт, Лр ) О., 14~ ( ТЛр>п . (46.15) ') А также отсутствием члена е,(д,Е).

Такой член, однако, являлся бы в данном случае малой величиной третьего порядка, которой можно пренебречь по сравнения> с величинами второго порядка. 254 мьхАпикА !кидких ИРистАе!ПОИ !э! ч! 8 47. Звук в смектиках В обычных жидкостях (а также в нематических жидких кристаллах) существует лишь одна ветвь спабозатухающих звуковых колебаний продольные звуковые волны. В твердых кристаллах и аморфных твердых телах существуют три звуковые (акустические) ветви линейного закона дисперсии колебаний Я 22, 23). Одномерные кристаллы смектики и здесь занимают промежуточное положение: в них имеются две акустические ветви (Р.С. де Бег!пел, 1969). Не интересуясь здесь коэффициентами затухания этих волн, и имея в виду лишь определение скоростей их распространения, пренебрежем в уравнениях движения всеми диссипативными членами.

Полная система линеаризованных уравнений движения ск.ладывается из уравнения непрерывности д ! Р + ре1!чч = 0 (47.1) д! (здесь и ниже индекс у ро опускаем; р', р' переменные части плотности и давления), уравнения (46.5), которое сводится к ди (47. 2) просачивание отсутствует, и динамического уравнения (46.13): р — = — чр'+ п6! (47. 3) д! причем, согласно (46.2), р' = Ар'+ рС вЂ”.

де (47.4) ') См. Каи Е.И., Лебедев В.В.,~,~ ЖЭТФ. 1983. 1'. 85. С. 2019. 11в!ление просачивания делает возможным существование в смектиках эффекта, подобного описанному в конце 8 43 для холестериков. Если периодическая структура смектика каким-то способом закрепэгена в пространстве, возможно существование однородного стационарного течения вдоль оси В. Из (46.13) следует, что для такого течения !1р/еЬ = 6, а из (46.5) с !х' из (46.14) ! Ие: Лр6: Лр (46.16) "де К сказанному выше о кинетических коэффициентах смектиков надо сделать важную оговорку. Уже упоминавшаяся в 8 45 расходимость флуктуаций в смектиках в особенности сильно проявляется именно в кинетических явлениях, что может существенно изменить их характер ).

255 1 47 'зВук В смектикАх В выражении (46.8) для 6 следует опустить член Х1Ьзли, содержащий производныс высших порядков, он оказался бы слишком высокого порядка по волновому вектору Й, который для звуковых волн следует рассматривать как малую величину: с1 = А172 (47.6) и (в рассматриваемом приближении) не зависит от направления. Фазовая скорость сэ волн второй акустической ветви, как мы увидим, мала по сравнению с с1. и/Й = сз (( сп Поэтому по отношению к этим колебаниям среду можно считать несжимаемой (ср. примеч. на с.

231). Уравнение непрерывности сводится при этом к условию несжимаемости Жом = 0; в (47.5) опускаем второй член, так что уравнение (47.3) принимает вид р — = — т7р'+ прв 147.7) Продифференцировав л-компоненту этого уравнения по в и подставив в него и, = ди/дб, получим д'б д'р' д'б р — = — — "+ рв —, дг д~~ д~~' где б = ди/дж Применив же к уравнению (47.7) операцию с11ч, в силу условия несжимаемости получим д'б ьр' = рв —. дх' Наконец, исключив из этих двух уравнений р~., получим одно уравнение для величины б; "Ьб=В1 — "' ' Лб~. ДР Г д ~ д~2 (47.8) ь=рвд" +с — ".