VII.-Теория-упругости (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 45

Отсутствие центра симметрии приводит к тому, что свободная энергия деформации может теперь содержать линейный по производным глен . - псевдоскаляр пгоС п. Ее общий вид может быть представлен в виде гн = — '(с)зуп) + — е(пгоСп+с)) + — л(пгоСп), (43.1) 2 2 2 где !) параметр с размерностью обратной длины. Это отличие приводит к радикальному изменению характера равновесного (в отсутствие внешних воздействий) состояния среды. Оно не является теперь пространственно однородным (и = сопвС), как у нематиков. Равновесному состоянию холестерика отвечает распределение направлений директора, для которого 1)Сна=0, пгоСп= — д, [пгоСп) =С) (43.2) (свободная энергия (43.1) минимальна равна нулю). Эти уравнения имеют решение; пя = созда, и = в)пня, зл, = О.

(43.3) Эту структуру (ее называют гсликопдильно!1) можно представить себе как результат закручивания вокруг оси з нематической среды, первоначально ориентированной своими и = сопвС в ') При вещественных к вещественная величина лю должна быть положительной — колебания должны затухать (а не самопроизвольно усиливаться) со времонел!.

Все найденные в задачах 2 и 3 законы дисперсии этим свойством обладают. 237 мнхлникА хо 1Вст'еРикон г г пгь = (гтгь)нем + 11Ь1гев1т + пяег1т)пт01Тг гггг = 1ггг)нехг + мегыг1ьд1 Тг г11 — 1г11)ннм + гг1е1ьг11ьггг + 1г11е1тгпь + е1тьпг)птнгь (43.4) (члены с индексом Внемн обозначая>т выражения из гидродинамики нематиков). Дополнительные члены в этих соотношениях являются не истинными, а псевдотензором и псевдовекторами.

Тем самым нарушается симметрия относительно пространственной инверсии, и именно по этой причине эти члены отсутствуют в гидродинамике нематиков. Обратим внимание на тог что построение аналогичных членов, которые были бы истинными тензорами или векторами, невозможно в силу требования инвариантности уравнений относительно изменения знака и. Так, член вида сопвФ (ПОВТ+ пьд,Т) в о,ь или член вида сопвФ Ь в с1 меняли бы знак вместе с и, между тем как тензор напряжений и тепловой поток должны быть инвариантны по отношению к одном направлении в плоскости ту. Ориентационная структура холестерика оказывается периодической вдоль одного направления в пространстве (оси В). Вектор и возвращается к прежнему значению чеРез кажДый интеРвал Длины 2ггггд вДоль оси Вг но поскольку направления и и — и эквивалентны., истинный период повторяемости структуры вдвое меньше равен я/г7.

Разумеется, макроскопическоо описание геликоидальной структуры холестерика формулами (43.3) имеет смысл, лишь если шаг структуры велик по сравнению с молекулярными размерами. В реальных холестериках это условие выполняется (я/г7 10 ~ см). При выводе уравнений равновесия и уравнений движения нематиков наличие у них центра инверсии не использовалось. Поэтому те же уравнения в их общем виде справедливы и для холсстсриков. В то же время имеется и ряд отличий. Прежде всегог меняется выражение Гя, с которым должно вычисляться, согласно определению (36.5), молекулярное поле Ь. Далее, наличие линейного по производным члена в свободной энергии приводит к появлению различия между изотермическими и адиабатическими значениями модуля Лз (ср. конец 3 36).

В сформулированной в 3 40, 41 системе гидродинамичсских уравнений основными термодинамическими переменными являются плотность и энтропия. Соответственно этому должны использоваться адиабатические значения (как функции р и Я) модуля упругости. Наконец, существенное изменение в гидродинамических уравнениях холестериков по сравнению с уравнениями для нема- тиков состоит в появлении догюлнительных членов в диссипативных частях уравнений -- в тепзоре напряжений гтл, тепловом потоке г1 и величине М в правой стороне части (40.3) (Р.ЛХ. Лен1ге, 1968): 238 гл »| мкхлпикл жидких кгисталлов этому преобразованию.

Аналогичным образом, член вида сопвФх х ь'Т в М невозможен, поскольку он инвариантен по отношению к изменению знака и, между тем как величина М (определяющая производную с1п/Ф) должна была бы изменить знак. Коэффициенты в выражениях (43.4) связаны друг с другом соотношениями, шгедующими из принципа Онсагера. Для применения этого принципа (ср. 9 41) выберем в качестве величин ха етермодинамических потоков» величины сг,'ы ц„Я,. Из вида диссипативнойг функции (40.2Ц (точнее, из вида функции 2ЩТ, определяющей рост энтропии) видно, что соответствующими етермодинамическими силами» Х, будут величины — и,ь(Т, д Т/Т .

— Ь,)Т. Надо также учесть, что величины пт четны, а д„Х; нечетны по отнопгению к обращению времени (как это видно из места, занимаемого ими в уравнениях (40.3), (40.7) и (40.8)). Если величины ж и жь имеют одинаковую четность по этому преобразованию, то соответствующие кинетические коэффициенты связаны равенством увь = уь, если же четности щ„ и т» различны, то уаь = — уь .

Сравнив теперь «перекрестные» коэффициенты в соотношениях (43.4) '), найдем равенства иг =иТ, р1=НТ, Таким образом, можно окончательно переписать (43.4) в виде сг1» = (сггь)нем — Р(гй(птУТ)ь + пь(птУТ) ), 1ч = ~нем + и(пт»Т~', (43.5) с1 = с1„,м + иТ(пЬ) + 2иТ(п(п . и)), гДе символ (и . п) обозначает вектоР с компонентами п1»лпь. Итак, в механике холестериков появляется зависимость тензора напряжений и вектора М от градиента температуры ) .

срорма этой зависимости (векторное произведение [пTТ)) означает, что градиент температуры приводит к появлению закручивающих моментов, действующих на директор и на массу жидкости. В то же время молекулярное поле (сопровождающее вращение директора относительно жидкости) и градиенты скорости жидкости приводят к появлению в ней тепловых потоков. ы ) При сравнении необходимо тщательно следить за порядком индексов в множителе е,»й е) Напомним (см. У1, 9 49), что существование среди диссипативных членов в уравнениях движения членов с градиентом второй независимой термодинамической величины (например, давления) запрещено требованиями закона возрасгания энтропии.

Наличие таких членов привело бы к появлению в диссипативной функции членов с произведениями»ранг», Ь» р, которые в отсутствие членов с квадратом (»тр) е сделали бы невозможным обеспечение положительности Й. 239 мвхлник« хо свст'е»иков (о~7)п = о — = —. 4п Ь сс» Ч С функцией п(з) из (43.3) находим отсюда Ь = уо ~«1п), (43.6) где вектор с1 (с абсолютной величиной д) направлен вдоль оси я. В рассматриваемых условиях выражение диссипативной функ- ции (40.21) сводится к 2Л = Ьзссу и с Ь из (43.6): 2Л = уо~с7з.

(43.7) Этим дается энергия, диссипируемая в единицу времени в единице объема жидкости. При стационарном движении эта энергия компенсируется работой внешних источников, поддерживающих действующий вдоль оси я градиент давления р' = с1р/Ию Плотность действующих в среде объемных сил как раз дается градиентогн — 'С7р, работа этих сил (в единицу времени в единице объема) есть — р'о и приравняв ее 2Л найдем скорость «просачивания» о = —. (43.8) По отношению к частице жидкости, протекающей «сквозь» геликоидальную структуру, директор п вращается с угловой скоростью ос7.

Это вращоние сопровождается «трением», характеризуемым коэффициентом 70 им и определяется скорость течения. Одно из своеобразных, .специфических для холестериков гидродинамических явлений может быть наглядно описано, как «просачивание» жидкости сквозь остающуюся неподвижной геликоидальнук> структуру ( И; Не1)ггсЬ, 1972). Оно состоит в следующем. Представим себе холестерическую среду, геликоидальная структура которой закреплена в пространстве (скажем, за счет определенных эффектов сцепления с ограничивающими среду стенками). Покажем, что в этих условиях возможно существование однородного по пространству равномерного потока жидкости в направлении оси структуры (ось я). Поскольку структура (43.3) отвечает равновесному состоянию среды, она обращает в нуль молекулярное поле, Ь = О.

Наличие «просачивающегося» потока несколько искажает структуру и соответственно создает малое (вместе со скоростью потока о) молекулярное поле. Определим это поле, исходя из уравнения движения директора (40.3). Поскольку поле п1г) (в нулевом по скорости приближении) неподвижно, дп/д1 = О, а поскольку поток жидкости предполагается однородным (о, = о = сопэ1), и о,ь = П,ь = О. В результате уравнение сводится к равенству 240 сд ы михлиикл жидких кгистлллов В реальных условиях скорость нс может быть постоянной по всей ширине потока она должна обращаться в нуль на стенках ограничивающей поток трубки. Падение скорости происходит в слое некоторой толщины д. Но единственным параметром длины, характерным для рассматриваемого движения, является величина 1/д. Егчи принять, что все коэффициенты вязкости холестсрика имеют одинаковый порядок величины, то отсутствуют также и какие-либо безразмерные параметры, которые не были бы 1.