VII.-Теория-упругости (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 47

(2.8)). Отношение (Л1/В'ро)~7~ имеет размерность длины и грубая его оценка есть; (Л1/В'ро)172 а, где а период одномерной Безразмерный коэффициент т связан с коэффициентом Пуассона о для «стержня», вырезанного из смектика в направлении оси г. Действительно, р — ро 1 — Уо — = — (ИЛИ + ПРИ + П»~) Ро (см. (1.6)), где и„= ди/дв, а и, и,„компоненты тензора деформации в п.лоскости ху. Полагая и~л = иэ„, имеем 1 — гл и 2 и„ 245 упРуГие сВОЙстВА смвктикоо структуры (расстояние между слоями). Е<ши смектик подверг- нут деформации, существенно меняющейся в плоскости ху на расстояниях 1А » а, то из (44.10) следует, что в направлении оси л деформация испытывает существенное изменение лишь на расстояниях 1~ 1~~,1а >> 1ь.

В качестве примера найдем гриновскую функцию уравне- ния (44.10), т. е. смещение и = С„(г) = С(г) в переменной точ- ке г, вызванное единичной сосредоточенной силой, приложенной в точке г = 0 и действующей в направлении оси я (ср. задачу к 8 8). Эта функция удовлетворяет уравнению е ро — — К1 Ьт~ С + б(г) = О. (44.11) Совершая над этим уравнением Ггреобразование Фурье (т.

е. умножив его на е '~" и проинтегрировав по дзт)., находим для фурье-компонент функции С(г) выражение Сй = 'роВ'Й', + К,Й',Г', где Й2 = Й2 + Й2. Обратное фурье-преобразование дает искомую функцию в виде интеграла С(г) = Й е (44.12) реВ'Й1-Р К1ЙА (2я)з Этот интеграл логарифмически расходится при 1с — э 0. Для при- дания ему определенного смысла надо исключить перемещение тела как целого, предположив закрепленной некоторую условно выбранную его точку, г = ге; тогда в числителе подынтеграль- НОГО ВЫражЕНИя НадО ПИСатЬ Ес~г — Епгге И раСХОдИМОСтЬ уСтра- ня ется. Вернемся еще раз к вопросу о влиянии тепловых флуктуаций на свойства смектиков на этот раз на их упругие свойства.

Наиболее определенным образом вопрос может быть поставлен следующим образом: как меняется под влиянием флуктуаций де- формация, создаваемая приложенной к телу сосредоточенной си- лой, т. е. как меняется гриновская функция С(г)? Оказывается, что это изменение сводится к замене в выражении (44.12) Й~2 и Йт соответственно на Й, (1п — ) и Йь (1п — ) где а величина порядка периода структуры ). В свою оче- ') Сппз1еьа О., Ре1сотн В.А. О Раув. Иеу. Песа 1981. У. 47. Р. 856; Раус.

йеу. 1982. г'. А26. Р. 915; Е.И. Как О ЖЭТФ. 1982. Т. 83. С. 1376. При исследовании необходимо учитывать также и члены третьего и четвертого порядков по и в разложении свободной энергии. 246 !'Л М! мвхАиикА !кидких кгистАллов редь такое изменение можно наглядно интерпретировать как изменение эффективных значений упругих модулей В' и .К! при уменьшении характерных значений волнового вектора деформации (т. е.

увеличении се характерной протяженности 1/Й). Мы видим, что эффективное значение В'ф убывает при й, — ! О как Вф ~1п(1/ай,)) ~!', а К„ф растет при й — Р О как ~1н(1/айА))2!'. Фактически, однако, эти эффекты могли бы стать существенными лишь при практически нереальных огромных размерах. Укажем в заключение этого параграфа, что выражение (44.6) для упругой энергии смектика можно несколько обобщить включением в него некоторых членов более высокого порядка, по без введения при этом дополнительных коэффициентов. Для этого заметим, что вклад в энерги!о, описываемый первым членом в (44.6), физически связан с изменением расстояния а между слоями:, производная ди!!дх совпадает с относительным изменением этого расстояния при смещении и, = и, и потому этот член можно записать в виде — рВВ (ба/а) . Но рас- ! 2 2 стояние между слоями может измениться не только из-за зависимости смещения и от координаты В, но и от его зависимости от л и у.

Это легко понять, представив себе все слои одновременно повернутыми, скажем, вокруг оси у на угол 0 таким образом, что величина периода структуры вдоль оси В остается равной а; расстояние же между слоями (измеренное по направлению нормалей к ним) оказывается при этом равным а сов 0. При малых углах 0 изменение расстояния между слоями ба = п(сов 0 — 1) — — —. В0! 2 Поскольку в то же время смещение и при рассматриваемом по- вороте есть и = сопв1 + х 16 0 — сопв1+ х0, то В таком виде это выражение справедливо при любой зависимости и от х; если же и зависит также и от у! то вместо (ди!!дх) надо писать (!7ги) . Таким образом, с учетом описанного эффекта свободную энергию (44.6) надо писать в виде Это выражение используется в задаче к этому параграфу.

247 дислокации в смвктиклх Задача Слой счектика 1толщины 6) с плоскими границами, параллельными плоскостялг слоистой структуры, подвергнут однородному растяжению вдоль перпендикулярной ему оси х. Найти критическую величину растяжения, за которым слоистая структура смектика становится неустойчивой по отношению к поперечным возмущениям ( И". Неу)«.»сУ«, 1971) '). Решение. Однородное растяжение означает деформацию и = ух, где постоянная 7 ) О. Для исследования устойчивости полагаем и = тх -> + би)х, х), где би — малоо возмущение, удовлетворяющее грш«ичпыга условиям би = О при а = хйу«2 уплоскость ху выбрана посередине слоя). С точностью до членов второго порядка, полная упругая знергия возмущения уотнесенная к единице длины вдоль оси у): дб в з) )«»»*»*=-')(в',( ") -в' «( ") к,( ") учлен с тдби/дх выпадает при интегрировании по бх в силу граничных условий).

Будем рассматривать возмущения вида би = сопку. сов Р,к сов У«,х, Ус, = кп7Ь, п = 1, 2, ... Пуоперечная модуляция слоистой структуры). Условие устойчивости структуры состоит в положительности энергии 1Ц. Заменив все интегрируемые множители сйпз, сое их средними значениями 1/2, получим это условие в видо В'Ро1к„. — Уй,.) + К«к, ) О. Граница устойчивости 1по мере увеличения 7) определяется появлением вещественного корня уг' трехчлена в левой части етого неравенства 1комплексиые значения уг, пе удовлетворяют условию конечности возмущения во всей плоскости ху). Первое такое появление происходит для возмущения с и = = 1.

Для него находим критическое растяжение и соответствующее значение й. =Ькрв): 8 45. Дислокации в смектиках Понятие дислокации в смектике имеет тот же смысл, что и в обычном кристалле. Разниууа состоит лишь в том, что ввиду одномерной (вдоль оси з) периодичности микроскопической ') Эта неустойчивость аналогична рассмотренной в З 21 неусгойчнвости сжимаемого прямого стержня. з) Значение ккр определяет лишь абсолютную величину квол«юного вектора» возмущения в плоскости ху, но не полную симметрию возникающей деформации.

Определение последней требует выхода за границы приближения, отвечающего линейным упо би) уравнениям равновесия уситуацня здесь аналогично той, которая имеет место для конвективной неустойчивости плоскопараллельного слоя жидкости — см. У|, з 57). См. 1Уеуг«еи,1.М. «У/ Лошп. Сйеш. Рйуз. 1974. 1«. ОО. Р.

1081. 248 гг! у| мехАникА гкидких кгисталггов структуры смектиков вектор Бюргерса дислокации в них всегда направлен по оси я, а по величине равен целому кратному от периода а структуры. С учетом этого замечания для деформации вокруг дислокации в смектике остается справедливой полученная в 8 27 формула (27.10) .при надлежащем определении тензора модулей упругости Лгььи. Для этого введем тензор напряжений в смектике сг;ь в соответствии с обычным определением, т.

е, по формуле Рк = а„-,„, (45 Ц где Рг - объемная «сила внутренних напряжений» (44.9). Вве- дем также тензор деформаций, отвечающий смещению и, = и; отличные от нуля его компоненты; ди 1ди 1ди (45.2) Сила (44.9) может быть представлена в виде (45.1), если выразить тензор напряжений через тензор дефорлсации формулами 11 пгь = Лгытп!~ г Г.

г Лгг«г = РОВ . Лгхгх = Лгягу = К1Ь ~.г Л,„„= Л„„= Л,„„= 0; (45.3) некоторые из этих компонент операторы. Формула (27.10) для смещения и, = и принимает вид п(г) = — Л,ьг,Ь / тй — еггг — г') ф', '',у ' д*» (45.4) Яо бу и=— 2к (45.5) где оэ полярный утол радиус-вектора в плоскости ху. ) Остальные компоненты Лггг„, можно выбрать так, чтобы было т = Г» — — 0; в формулу (45.4) этн компоненты не входят. где С = Сгг -- функция (44.12). Рассмотрим два частных случая дислокаций прямолинейные винтовую и краевую. В первом случае ось дислокации совпадает с направлением вектора Бюргерса, т.

е. с осью х. Этот случай вообще не требует каких-либо новых вычислений. Заранее ясно, что деформация и будет зависеть только от координат х, гь Но в плоскости хд среда изотропна. Поэтому можно сразу воспользоваться результатом задачи 2, 8 27, согласно которому 249 Лислоклции в смиктиклх Обратимся к более сложному случаю краевой дислокации (Р.С. Не Сеппез, 1972). В этом случае ось дислокации перпендикулярна вектору Бюргерса; пусть она совпадает с осью д. Тогда в качестве поверхности Яр в интеграле (45.4) можно взять правую полуплоскость тр., а вектор и нормали к ней будет лежать вдоль отрицательного направления оси г.

Из всех компо/ нент вида Л,в„отлична от нуля только Л„„= В ро, так что формула (45.4) принимает вид Р и(г) = ЬВ'ро дх' гЬ/. дх — о Подставляем сюда функцию С из (44.12). Дифференцирование по в дает множитель |Лап интегрирование по е1у дает 2яб(йи), е-функция устраняется затем интегрированием по дйа. В интеграле СЮ )'е — гв х о для обеспечения сходимости надо понимать к как Л вЂ” г0. Таким образом, после выполнения интегрирований по дт,'е1р'е1йе получаем / ехи(1л и) ~ )ил lс,— Рй ' 2х где / Й. ехр (гь„.х) дй.

Л2 2Г1 / Ь~ ч. Лгй4 2х ' В ре Последний интеграл вычисляется путем замыкания контура интегрирования бесконечно удаленной полуокружпостью в верхней (при г > О) или нижней (при г < О) полуплоскости комплексной переменной Й, и взятия вычета в полюсе й, = гЛЙ или .2 ,ЛЬг. 1 = ~1 ехр ( — Лйз(г)), где верхний или нижний знак относятся соответственно к е > 0 и г < 0. Таким образом, смещение 250 гэ! М! михАиикА »кидких ИРистАллОВ Более интересно, однако, не само смещение, а его производные по координатам. Для производной по л имеем — — Г ехр 1г — Лй~ ф + гЛ:. я!1 гйи = дх 4гг / Согласно (45.6) производная по В связана с производными по я формулой ~Лдги д» дх! ' откуда ди ьх ехр (45.8) д» 8(хл)!!!фи! 1 4лц 1 Деформация быстро (экспоненциально) стремится к нулю при ~т~ — » оо и гораздо медленнее (по степенному закону) при ф — » оо.