Антидемидович 5 - ДУ (Антидемидович), страница 9

Подсшвив (2) в (!), получим М(С+ С!гС)о(С + Схг) — М(С)о(С) = (с — о(С))(М(С) — М(С + ЬС)), нли МС!го+ сгхМ+о(Ьо) = О. Разделив полученное на ххо и устремив С!го к нулю, имеем ВМ М+с — = О. оо Решение полученного дифференциального уравнения имеет внд ! о(С) = с!и — + се. М(С) (3) Постоянную ге определяем из начального условия: о(С)$, з —— О, т. е. в начальный момент времени или, что то же самое, при М(С) = М скорость о равна нулю. Поэтому из (3) имеем со = -с!и у.. ! Следовательно, М М о = с 1п — = с 1п М(С) М вЂ” х ' где х — сгоревшая масса топлива.

Если, в часпюсти, сгорит все топливо, т.е. х = М вЂ” ш, то ракета будет иметь скорость М о = с1п — — формула Йиолхооскоео, и гл 53. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним 3.1. Одиородаое уравнение. Уравнение вида М(х, р)г(я+ РС(х, р)бр = О, (1) где м, дг — непрерывные в некоторой области ю с !й' и однородные функции одной и той же степени, называется однородным. Напомним, что функция р называется одлородвой сомлели пт (ит — действительное число), если УС б (а, а) р(Сх, Су) ыС р(х, р), (х, и) б)9, с похюшью замены и = х сг(х) уравнение (1) сводится к уравнению с разделяющимися переменными х и (г.

5ло. Масса ракеты с полным запасом топлива равна М, без топлива она равна ит, скорость истечения из ракеты продуктов горения равна с, начальная скорость ракеты равна нулю. Найти скорость ракеты после сгорания топлива, пренебрешя силой тяжести и сопротивлением воздуха. м Пусть М(С), о(С) соответственно масса и скорость ракеты в момент времени С.

Тогда й(С) = М(С)о(С) есть количество движения ракеты. По закону сохранения количества движения справедливо равенство ЗО Гл, 1. Двффереициальиме уравнение первого порадка 32. Уравнение, сводимое к однородному. К однородному уравнению приводится следующее: Г-г(ьгх)а+ь) ( =, ь=, '=х2х (2) если а Ьз -азЬ| ~ О. Для этого достаточно полакить х = и+ а, у = е+Д и подобрать настоянные а, )3 таким образом, чтобы правая часть уравнения (2) приобрела вид у'(-~-„— Ьг-„- ~. Если же /а и-ЬЬ т т а~От — азЬ~ = О, то а~в+ Ь|у = Ь(азх+ Ьзу), (Ь = сопи). В этом случае уравнение (2) приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой х = азх+ Ьту. З.З. Обобщенно-однородное уравнение. Уравнение вида (1) называется обобщенно-однородным, если существует такая постоянная а, что после замены у = з" оно становится однородным. Решить уравнения.

60. (у+ тГх' — у') дх — хду = О и Здесь функции М(х, у) = у+ хГх' — ут ((х( > (у1), гУ(х, у) = — х однородные и имеют стег1ень щ = 1, так как Ь(((х, !у) = !у+ /~ (х — у ) = 1 (у+ l*з — у ) = !Ьг (х, у) для ! > О (т. е. а = О и Ь = +ос), а !т (!х, !у) =. -!х = !)т" (х, у) для любого С, Следовательно, данное уравнение однородное. Применив замену у = хи, получаем Ну = х да + и да, а уравнение преобразуется к виду (хи + ~ 4 ъг1 — и') дх — х(х ди + и дх) = О. (1) Очевидно, что х = О является решением исходного уравнения, поэтому считая, что в (1) х Ф О, получим звпхч'1 — и'Их — хди = О, Раздетая переменные и затем интегрируя, находим: дх ди у — — — звп х! и !х! = агсз(п — + С.

~х) ьг) — ит' х Принимая еще во внимание, что и = х! (т.е. у = хх) также есть решения, окончательно записываем все решения данного уравнения: зйп х 1и 1х! = агсип — + С; у = шх; х = О. М у х Заиечавве. Строго говоря, решение х = О получается в результате допушелля, что у( — ут О = О для произвольных значений у. 61. ху' = у(1+ )п у — )п х). < Переписав уравнение в виде х ду — у (1+ 1п — ) Их = О (х > О, у > О), у! х~ обнаруживаем, что функции М(х, у) = -у () +!и ух) и )у(х, у) = х однородные одной и той же степени гл = 1.

Поэтому, применив замену у = хи, ду = хди+ оИх, получим хди — и1пидх = О. Разделяя переменные и интегрируя, находим (пх — 1п!1пи(= 1пС (и ~ 1), % 3. Одиорпаяме уравнения и уравнения, привадюииеся к иим 31 у=хе *. с* Заметим, что решение у = х, которое соответствует значению и = 1, входит в формулу семейства интегральных кривых при С = О. ~ 62.

ау с~в ж (у' — х') Иу = О, М(1,!). м В ланном примере требуется найти кривую, которая удовлетворяла бы дифференциальному уравнению и проходила через точку М. Прежде всею, находим все решения этого уравнения. Полагая у = хи, получаем и' дх+ х(и' — 1) Ои = О. Отсюда при и Ф 0 интегрированием находим ) з (и+ / — =1ПС, 1 1п)их)+ — = (пС, 2из или х +2у !и — =О. 2 2 )у) С (1) К полученному семейству присоединим еще кривую у = О. Дадее, подставив в (1) х = 1, у = 1, имеем С = ет.

Поэтому требуемая кривая имеетуравнение х' + у'(1п у' — !) = О. м 63. (хуер +у') их — х ет г(у = О. м здес~ удобно применить замену х = иу тогда их = и иу+ у г(и, и г(у+ у (ие" + 1) ии = О, Ну (ие'-ь 1) би — — =О, !п)х)+ет = С. )ь у и 64. (2„гху у— у) йх — х ду = О. < Очевидно„ху > О. Отбросив тривиатьные решения х = О, у = О, считаем, что ху > О. Полагая у = их (и > 0), имеем Иу = и Зх + х йи, 2 (ьгйьуп х — и) йх — х аи = О.

(!) Если х > О, то отсюда находим (и ~ 1): дх 1 г 0и !у !их = — 1п)1 —,/й)+!пС, или х!! — )) — ~ = С. х 2./ тггй — и' Если же х < О, то полагая в (1) х = — х,, получим 2 (т/й+ и) бх, -ь х, Ии = О. Разделяя переменныс и интегрируя, имеем Гу~ х~ 1 Ч- г) — — = С, или — х (1+)) — ) = С.

х1 х~ Обьединяя оба ответа (при х > 0 и при х ( 0) в один, окончательно можем записать х — з/ху у= С. (2) Заметим, что решение у = х (и = 1) входит в (2) при х > 0 (С = 0), а решение у = 0 вообще не входит. Поэтому все решения данного уравнения описываются формулой (2) с присоединением у = О. Решение же х = 0 можно включить в (2) лишь формально, поскольку дифференциал 4 (х — гхуу) при х = 0 не существует.

)н 65. ху' = усов!и — ". м Замена у = хи, (и > О, х ~ О) приводит к уравнению хи = и(со51пи — 1). Гл. 1. Диффеуеициальвме ууааненви первого иоряаяв 32 Считая, что 1п а Ф 2йе (и Ф е, Ь б Е), получаем йх йи г 4(йг и) )и(!х1С) = г! = сгй (1п 4й), х и(сов )и и — 1) ' соз1пи — 1 или 1п(Сх) = сГК1п )( —. (у Наконец, легко проверить, что ЧЬ б Е функция у = хе'"', х Ф. О, также является решением исходного уравнения. ~ бб.

(бе+ д — И (х+ (Ьх+ у — 2)г(у = О. И Это уравнение вида (2), и. 3.2. В данном случае а, =б, Ь, =1, ог -— 4, Ьг — — 1, аЬг — агЬ, =2ИО. Следовягельно, можно применить замену х = и+ а, у = е + )у. При этом получим г(х = Ые, Ыу = 4е, (бе + е + ба + )5 — 1) ли + (4е + е + 4а + )у — 2)де = О. Полученное уравнение приводится к однородному, если положить ба+)у — 1 = О, 4а+ )у — 2 = О. Решение этой системы имеет вид а = -2, Д = 4. Таким образом, после замены х = и — 2, 1 у = е + 4 исходное уравнение приводится к однородному: (бе+ е) 4и+(4и+ е)г(е = О. Теперь восггсльзуемса уже извеспюй заменой и = е(, Ии = е 46+ 6 4е.

Следовательно, (б( + 1)е 4( + (66 + 56 + 1)г(е = О. Разде!ил переменные и интегрируя, отсюда получаем (( Ф вЂ” 2 и ( га — у !: 1 11 6(+! 4е 1 ! 6(+1 (26 + 1) = С вЂ”. 3(+ 1 Возвращаясь к переменным х и у, окончательно имеем г 5'! (2х+ у — 3) = С ~Зх+ у — -7! . 2) Решения 2х + у — 3 = 0 !6 = -2 ! и Зх + у — 2 — — 0 (( = -у ! можно включить в полученное 5 г 11 семейство кривых соответственно йри С = 0 и С = со. гь 67.

(5х — 7у+ 1) г(у + (х + у — !) г(х = О. и Поскольку прямые 5х — ту + 1 = О и х + д — 1 = 0 не параллельны, то проводим замену х=и+а, у=в+)5, где постоянные а и )у удовлетворяют системе уравнений 5а — 7)3+1=0, а+)у †1. из которой находим а = )у = 2. Таким образом, после замены х = и+ 2, у = е+ 2 получаем 1 1 дифференциальное уравнение (5и — 7е)йе+(и+ с)г(и = О. Как и в предыдущем примере, пользуемся заменой и = бе. Тогда Ж = е г(6+ б Ж, (с~ + б( — 7) х х г(с+е((+ 1Щ = О.

Разделяя переменные и интегрируя„находим з (6 — 1)((+ 7) (б + !) г(б + )и(!е)С) = О, — )п |6 — Ц + — МТб-Ф 7! + )и |еС) ге О, 1 3 откуда (б 1)(б+Л е =С или (х — уКх+7у — 4) =С. ~ й 3. Однородные уравиепия и ураапения, прпаодащнеси к нам зз 68. (2п+ у+ 1)г(х — (4х+ 2у — 3) г(у = О. < Так как прямые 2х+у+ 1 = О и 4х+ 2у — 3 = О параллельны, то замену, которую производнлп в предыдущих примерах, здесь проводить нельзя. Однако, в силу того, что козффициентм при переменных х и у пропорциональны, можем положить л = 2х+ у. Тогда оу = г(э — 2г(а и исходное уравнение принимает внд 5(л — 1) Ых — (2л — 3) г(э = О, Интегрируя зто уравнение и возвращаясь к переменной у, получаем 2* + у — 1 = Се'"-'. > 69.

у'=2( ",) . м Посредством замены а = н+ 3, у = е — 2 приходим к однородному уравнению йс — = 2 —. г(и (и+ е)' применяя еще одну замену с = ис(н), получаем уравнение с разделяющимися переменными о( 2(э йн (! +с)э Интегрируя это уравнение, находим Г г(и Г ( + 2(+! ' — + з( г(( = С, 1п(и('(+ 2агсгйС = С, н ./ ((1+('з) илн (после возвращения к переменным а и у) у+2 Се з > 70. (у'+1))н — = —. у+а у+и а+3 я+3 ° а Замена х = и — 3, у = е + 3 приведет к однородному уравнению применение к которому замены е = н!(н) позволяет получить уравнение с ран!сдающимися переменными (н( +(+ !)1п(1+0 = 1+4, нС 1п(1+О = (1+0(! — 1п(1+0)- Разделяя л ггосэгеднем уравнении переменные и интегрируя, находим: йн )' )п(1+с)г(( н .Г (1+С)(! — $п(1+!)) или 1п)н~+ )п(1+() + 1п11 — )ц(1+ ()! = 1пС.

Отсюда, потенциируя и возвращаясь к старым переменным, окончательно имеем и+у С 1п — = 1+ —. > *+з *+у' Замечааае. Длл решения уравнения (2), и.3.2, прнненяют еще н замену ага+ 61у+ с1 аз а + азу + сэ юпорая сразу прнаолнт к уравненшо с разлеляющнннся переменнымн. В данном случае можно вклсльэоааться укаэанной заменой. Тогда получим уравнение Р у+а (э + (и + З)э ) йг э = а, где а+3' 1п)а+31+!аз+1а11 — 1пз1 =1пС, 1л — =!+ —. а+у С а+3 *+у' Гл. 1.

Дифферевциальвые ураввеиии первого порядка 34 аз 'х'2(х = (хм+ х ) г(х приводится к однородному, если выбрать а = 2. Полагая в (1) х = хи, имеем (н' — !) 2(х = 2нх2!и. Разделяя переменные и интегрируя, получаем ! 1и!х)+ — — = С, н2 или 2 1~)*)+, =С. м у — х' (2) Заьмчавпе. В данном случае мм получилн решение лля у > О, поскольку у = г ) О. Лию2огично ыожно установить, что и лля у =. — 2 < О семеистео репюний описмаается формулой (2). Решение у = х г , 2 входит в это семейспю при С = со. 73.