Антидемидович 5 - ДУ (Антидемидович), страница 6

рис. 4) г .з У, =/( у(1)б(. о Далее, поскольку Я, + Ут — — ху и Яз = 25ы то, приняв во внилгание (1), получим х ху = / у(1)а(. о по х, находим Иу ах у, или у 2х' 2 Ят — —— 3 Дифференцируя зто равенство 2 3 -(*у'+у) = откуда у = Сч/х, или х = Сух. Ряс. 5 Очевидно, если переменные х и у поменять ролями, то залача также булет иметь решение у = Сх', р Замечание 1, В процессе решения прсдпслвгалн, что переменные х н р помикнтсяьны. Оливка, как легко вплоть, они могут быть и отрицательными, т.с. можно считать, что постоянная С в обоих решениях принимает любое действительное значение. Замечание 2.

Если вместо Рнс. 4 воснольюватьсЯ Рнс. 5, то пРилсм к такомУ же РезУльтатУ, т. е, во всех случанх получаем семейства парабол с вершинами в начале коорлинат. Прпглвгаем читателю унхчнить рисунки 4 и 5 в соответствии с полученным решенном залечи. %2. Задача, привидение к уравиеюим с рззделяюишмися иеремааимми 33.

Найти кривые, касательные к которым в любой точке образуют равные углы с полярным радиусом и полярной осью. < Используя соотношения между углами а и у (см. рис. 6), а также геометрическую интерпретацию производной йр р'(у) р'з(нуЧ-рсозу 1 — — гба, а = — (х — у), дх х'(у) р" сову — р ипу ' 2 после несложных выкладок получим дифференциальное уравнение Р У =18 р 2' интегрируя которое, находим 1п р = — 2 1п ~ сов — ~ + 1п 2С у 2 С 1 + соз у Замечание.

Если вместо рис. б рассмотреть рис. 7, то получим дифференциальное уравнение Р У вЂ” = — сга -, р 2' из которого следует, что С Р= 1 — сов у Эю семейство получим из семейства (1) путем замены у на и+7Г. ТакИм образом, окончательный ответ звписывветев в виде С Р= 1х сову 34. Найти уравнение кривой в полярных координатах, если известно, что тангенс угла 7, образованного радиусом-вектором, проведенным в точку касания, и касательной к кривой в этой же точке, равен полярному углу у. гв.а м используя условие 18 7 = у и соотношение у = а+ 7 (см. рис, 8), можем записать гйу — гйа у = 187 = 18(у — а) = 1+гйугаа' 17 Но гйа = т — —, поэтому из предьибпцепз уравнения после не- Р Ргау сложных преобразований патучаем Р у= Р Решив это дифференциальное уравнение, найдем О С р= — (у уй), и Рве.

9 у Замечмме. Если вмесго рис. 8 рассмотреть рис. 9, то аналогичным пуюм можно получить дифферегщиапьиое уравнение у = .ег, из которого следует, что р = Су. Р 35. Нормаль МГ'„) к некоторой кривой пересекает ось Ох в точке Д. Доказать, что если абсцисса точки г2 вдвое больше абсциссы точки де, то кривая — равнобочная гипербола и Из рис. 10 видим, что Гл. 1.

Дифференциальные уравнения первого порядка 18 Используя условие хо = 2х и соотношение у' = !8 а, из (1) получаем дифференциальное уравнение х=уу. Разделяя переменные и интегрируя, имеем уг(у = хйх, у — х = С. 2 з (2). Из курса аналитической геометрии известно, что каноническое уравнение гиперболы имеет один из видов: х' у' х' у' —, — — =1 или — — — =-1, аз Ь' а' Ь' в .го причем, если а = Ь, то гипербола называется равпобочной. Легко видеть, что второе соотношение в (2) определяет два семейства равнобочных гипербол (для С ) 0 и для С < 0). > Примечание. При С = О из (2) получаем пару пряыык у = Хх — так называемые вырожделлые гилербазы.

(у|-уо)8(у,-уо)+(хз-хо)Жх~-хо) =О, (у~ — уо) + (х~ — хо) = С . 2 2 з Таюзм образом, если С ~ О, то имеем уравнение окружности радиуса С с центром в точке Мо. М 37. Сосуд объемом в 20л содержит воздух (80% азота и 20% кислорода). В сосуд при непрерывном перемешивании кажлую секунду втекает О, ! л азота и вытекает такое же количество смеси. Через какое время в сосуде будет 99% азота? М Пусть (2(1) — количество литров азота в сосуде в момент времени 1 после начала пере- 0,1 СФ мешивания.

То~да в 0,181 литрах смеси содержится — г — че — литров азота. Согласно условию задачи, в сосуд за время Ж поступит 0,!гул азота, а вьпечет — '— 2п — ' л. Следовательно, количе- О,! ° ГЗ 41 ство д(') азота, когрое втекает в сосуд за время 81 и остается в нем, равно 0,1 (! — $) г(1 литров.

Получаем дифференциальное уравнение и! 20 — 1'„з 200 ' 8(2=0,! (! — — у!8( () з 20) интегрируя которое, находим -о,воза Для определения постоянной С используем условие ()(1)(, о = 16 л. Получаем С = 4, вследствие чего зкция фуз (2(!) = 20 — 4е (1) есть решение поставленной задачи. Полагая в (1) С = Т и Я = 19,8л (что составляет 99% от 20д), находим Т = 200 1п 20 с = 599,2 с га 10 минут — через такой промежуток времени после начала перемешивания в сосуде будет 99% 36.

Доказаггч что кривап, все нормали к которой проходят через одну и ту же фиксированную точку, есть окружность. м Пусть Мо(хо, уо) — точка, через которую проходят все нормали, и М,(хы у!) — точка, расположенная на кривой. Тогла уравнение прямой, проходящей через зги точки, имеет вид 1 У = — —,— (х — хо) + Уо. у1(х ) Этому уравнению удовлетворяют также коорлннаты точки М,(хы у,), поэтому долмсно быль 1 У1(х,) = —, — (х~ — хо) + уо. у,(х|) Разделяя переменные х, и у~ и интегрируя, получим: в 2.

Задачи, приведвшие к уравнениям с разделяюицввиея переменными 38. В баке находится 100л раствора, содержащею 10 кг соли. В бак непрерывно подается вода (5л в минуту), которая перемешивается с имеющимся распюром. Смесь вьпекает с той же скоростью. Сколько останется соли в баке через час? М Пусть СС(С) кг — количество соли в баке в момент времени С после начала истечения смеси из бака. Тогда )бб есть ее концентрация в данном растворе, а ?бб . 5>СС вЂ” количество соли, вытекающее из бака за время >СС мнн. Следовательно, имеем дифференциальное уравнение йс„з = — 0,05 (З >й.

Здесь знак "—" указывает на то, что количеспю соли в баке уменьшается. Интегрируя уравнение, получаем ~ = Се ед", Поскольку при С = 0 абаке имелось 10кг соли, то С = 10. Таким образом, С) = !Ое ' " есть решение данной задачи. Полагая в последнем равенстве С = 60 мин, получаем, что кщзичество соли в баке через час равно 10е кг ы 0,5 кг.

Ь 39. В воздухе комнаты объемом 200 м содержится О, 15% углекислого газа СО,. Вентилятор подает в минуту 20м воздуха, содержащего 0,04% СОз. Через какое время количество углекислом газа в воздухе комнаты уменьшится втрое? м Пусть (2(С) м — количество углекислого газа в комнате в момент времени С после начала работы вентилятора. Тогда -~00- есть концентрация его в комнате в момент времени С. О(С) Следовательно, 20 м' воздуха, которые уходят из комнаты за минуту, содержат 0,1зЗ(С) м' СОз. Поэтому за время >СС мин из комнаты уйдет 0,1!'„)(С) >и м' СОз.

За это же время вентилятор подаст 0,04% з з -' — 20 >СС м = 0,008 >СС м СОС в комнату. Таким образом, приращение 4('„З газа СОз за время >СС равно (0,008 — 0,1( З(С)) >СС, и мы имеем дифференциальное уравнение >С(2 = (0,008 — 0,1Д) >й. Проинтегрировав, получим 12(С) = (0,08 — Се ' ) м . Поскольку при С = 0 1;з = О,Зм' (т.е. 0,15% ст 200м ), то С = -0,22. Таким образом, СЗ = 0,08+ 0,22е "". Момент времени Т, котла количество СОз будет 0,1 мз, находим нз равенства О,! = 0,08+ 0,22е Лт.

Получаем Т = 10 1и 1! - 24 мин. > 40. Скорость остывання (илн нагревания) тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20'С. Ко~да тело остынет до 25'С, если за 10 минут оно охладилось от ! 00'С до 60 С? м Согласно указанному закону, можем написать соотношение >СТ вЂ” и й(т-тп), (1) >й где Т вЂ” температура тела, Тп — температура окружающего воздуха, й — коэффициент пропорциональности.

В нашем случае Т, = 20'С. Интегрируя уравнение (1), получим Т = 20+ Сез'. Из условия Т(С)зг=п = 1ОО'С находим С = 80, а условие Т(С)!>. зп — — 60'С позволяет определить Сг. Следовательно, й= — 0,1!п2, Т(С)=20+80е 'и'=20+80 2 Полагая здесь Т = 25'С, находим требуемый момент времени Сз — — 40 мин. Ы 41. В сосуд, солерхгащий 1 ю воды при температуре 20'С, опушен металлический предмет с массой 0,5 кг, удельной теплоемкостью 0,2сн,о и температурой 75'С. Через минуту вода нагрелась на 2'С.

Когда температуры воды и предмета будут отличаться одна от другой на 1'С? Потерями тепла на назревание сосуда и прочими пренебречь. м По аналогии с предыдущим примером имеем 4Тп 4Тв йп(Тп 2а)> й (Т Зп)> Гл. 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 20 где Т„и Т, — температуры предмета и воды соответственно, «„и «, — постоянные коэффи- циенты.

Вычитая почленно из первого соотношения второе и вводя обозначение В = ҄— Т„ можем записать ОЛ «и + «в гЫ Отсюда находим В = Сем. Поскольку в начальный момент времени ! = 0 разность В = 55', то С = 55. Поэтому В = 55е"'. Для определения коэффициента «воспользуемся уравнением теплового баланса. Имеем по общей формуле для теплоты 13 = сгл(тх — Т„), где с — удельная теплоемкость тела, гп — его масса, Ть — ҄— разность температур; Г'„), = 2сн,о Яз = 0,2 0,5(75 — Т)сизо Здесь 13, — катнчество тепла, поглощенное водой, (3з — количество тепла, выделенное предметом при остывании до температуры Т. Поскольку по условию ф = Г'„зз, то Т = 55'С. Таким образом, через минуту В = 55'С вЂ” 22'С = 33'С. А тогда 33'С = 55'Се, откуда й = !п0,6, Поэтому Л = 55 (0,6)' есть закон сближения температур воды и тела.

Из равенства 1 = 55 (0,6)" находим г(т„ — = й(҄— Т„), (1) где Т„и ҄— температуры печи и металла соответственно, Далее, Т„= а+ (Ь вЂ” а)! в силу 1 равномерного повышения температуры печи, ! — время, измеряемое в минутах. Гаким образом, дифференциальное уравнение (1) можно записать в виде ат„ —" =«| + — (ь- )-Т„1!. О! (, 60 (2) Введем заменУ а + тб(Ь вЂ” а) — Т„= х. Тогда УРавнение (2) пРеобРазУетсЯ в УРавнение с Разделающимися переменными: 4х Ф-а а бО интегрируя которое, находим -!п(«х--~б — ) =-г+-!пС, Ь вЂ” а йФО, или 1~ Ь вЂ” а т„=а+ (1 — — 7! — +Се ". «) 60 гак как Т„(!)(гм = а, то С = -т-« . Следовательно, окончательно имеем Т„= а+ — (! — — (1 — е )) .

Температура металла через час, очевидно, будет равна т„(60) = Ь вЂ” — (1 — е ") . ° 60« !и 55 ге Змии 1п5 — !п3 — время, по истечении которого температура тела будет выше температуры воды на 1'С. )ь 42. Кусок металла с температурой а помещен в печь, температура которой в течение часа равномерно повышается ст а до Ь. Скорость нагрева металла пропорциональна разности Т температур печи и металла, коэффициент пропорциональности равен й.