Антидемидович 5 - ДУ (Антидемидович), страница 77

» 1 о э или Окончательно получаем ( — ) 4 -Ее и ( — ) =; -СзЛЕ, 1, 2р =:Се и ф Сз!»Е. (р+!)т („т И» 1 3 3 х(Е) = — ьЛС+ — Ее», у(С) = — СзЛС. В 4 4 ' 4 357 $5. Иитегральиые уравнения типа свертки. Особые уравнения 750, Три одинаковые точечные массы гл закреплены на струне так„что расстояния межлу ними и расстояния от крайних масс до закрепленных концов струны равны !. В начальный момент все массы находятся в положении равновесия, причем средней массе сообщается скорость еь.

Найти движение системы (рис. (Об). т Диффереззциальные уравнения движения системы найлем с помощью уравнений Лагранжа, которые для ма- ~ою лых свободных колебаний имеют вид д /дТЛ дП вЂ” — — -о — — — — о- — — — -о — — -— ! ! д! Ьдь1 ддь ! где Т вЂ” кинетическая, П вЂ” потенциальная энергия систе- М ° ° М (х ) мы, з)ь — обобщенные координаты, а точка означает произ- ззхзз водную во времени.

Если х,(!), хг(!), хз(!) — отклонения масс от положения равновесия, то / ° 7 ° з ° зз ! / 2 з 2 Т = (х! + хз + хз) з П =- (х! + хз + хз хзхз хзхз) ! тле Р— натяжение струны. Уравнения движения нмезот вид: аз + Л(2хз — хз) = О, хз+ Л(2хз — хз — хз) = О, хз+Л(2хз — хз) = О, где Л = — О. Принимая во внимание начальные условия х,(0) = хз(0) = хз(0) = хз(0) = хз(0) = О Р а,(0) = с„, получаем операторные уравнения (р + 2Л)Х, — ЛХ, = О, -ЛХ~+ (р + 2Л)Хз — ЛХз = оь, -ЛХз + (р + 2Л)Хз = О, гле Хз(Р) Ф хзП) Хз(р) Ф хз(!), Хз(р) Ф хз(г]. Решив эту систему, имеем (рз+ 2Л)з — 2Лз ' з (рз + 2Л)з 2Лз ь. Применив вторузо теорему разложения, находим: оь з'ззпыз! япызгд еь уз!пыз! ззпыз!) гз(!) = хз(!) = — — ( — ), хз(!) = — ( + 2зГ2 ы, ыз У' 2 з, ыз ыз где ы, = Л/(2 + ~/2)Л, ыз = ф2 — ъ'2)Л.

и. ф й). Интегральные уравнения типа свертки. Особые уравнения 5.1. Интегральные уравнения типа свертки. Уравнение вида р аг(!) = уз(!)+Л~К(г, т)г(т)дт, а < ! <))з (!) где у — неизвестная функция, р и К вЂ” заданные функции, а, Л, а, )У вЂ” постоянные, называется линейным интегральным уравнен»ем Фредгольма первого рода, если о = О, или второго рода, если о~О. Функция к, определенная в квадрате г)» = )((, т) е )и ! и < ! < )г, и < т < )у(, называется ядром интегрального уравнения.

Если Зз(!) = О, то уравнение называется однородным. Гл. 7. Метод ивтегральимл преобразований Лапшов 550 Уравнение 5.2. Интегральные уравнения второго рода. Если интеграл 1 е К«) в У«)йг ь абсолютно сходится, то преобразование Лапласа переводит свертку по теореме умножения 3. Бо- реля в произведение изображений, т. е.

к«)*у«) =.к(р)р(р), где К(р) =' К«). Поэтому уравнение (4), п. 5.), после перехода к изображениям У«) =; Р(р), р«) =' Ф(р), К(Г) Ф К(р), перейдет в операторное уравнение аР(р) =- Ф(р) + ЛК(р)Р(р), откуда .р(р) = Ф(р) а — ЛК(р) Р(р) = — Ф(р) + — — Ф(р). К(р) а а а — ЛК(р) или Обозначим — — — = Ф(р), и пусть Ф(р) Ф т)(Г). Тогда равенству Кш) в — ЛК(р) ! Л Р(р) = - Ф(р) + — Ф(р)Ф(р) соответствует а классе оригиналов решение аг (С) = р(Г) + Лт)(й) ь у«).

В частноспз, если Функция К есп многочлен К(Г) = 2' аь(», то ее изображение К(р) приз=а нимает вна — ае а~ и! К(р) = — + — + ... + а —. 3 ''' роы Тогда К(р) а,р" + а р" ' + ... + и!а„ а — ЛК(р) арми — Лавр" — Ла ~р" з — ° ° ° Лава! Функция Ф является дробно-рашюнальной и ее оригинал гй можно найти по второй теореме разложения. Таким образом, решение Р(р) опершорного уравнения, соответствующего интегральному уравнению второго рода типа свертки, всегда можно преобразовать в простРанство оригиналов. аЯ) т р(Г)+Л/ К«, )У(т)йт (2) а называется линейным интегральным уравнением Вольтеруо первого рода, если а = 0, или второго рода, если а Ф О. Если ядро уравнения К зависит только от разности ( — т, т.

е. К(Г, г) = К(Г -т), то интеграл К« — т)((т) г(т = КВВ ь 7(О ь является сверткой Функпий К и У. В этом случае уравнение Вольтерра а/(Г) = р(г) + Л / К(г, т) У(т) Ют (4) будет уравнением типа свертки, и его решение можно найти операционным методом, пользуясь теоремой умножения Э. Бореля. $5.

Ивтегввльиые уравнения типа снертаи. Особые уравнения 5.3. Интегральные уравнения первого рода. Интегральному уравнению первого рода уг(1) = Л / К(1 — т) Г(т) дт о соответствует операторное уравнение й(р) = лк(р)р(р), решение которого 359 ! 1 р(р) = — = Ф(р) (2) Л К(р) нельзя перевесги при помаши теоремы умножения в пространство ори~иналов, так как функция — не яшшетсн изобрахгением, поскольку необходимым условием существования изображенин 1 К является выполнение соотношения 1цп(К(р)) ' = О.

Однако, в некоторых случаях решение существует. если функции к и ч» дифференцируемы и к(0) ~ О, то, продифференцировав уравнение (1), получим интегральное уравнение 2-го рода у»'(1) = Л / К'(1 — т)У(т) дт -1- К(0)У(1), (3) о решение которого существует Если К(0) = К'(0) = ... = Кт п(0) = О, а Коо(0) ~ О, то после (и+ 1)-кратного дифференцирования уравнения (1) получим интегральное уравнение второго рода (ат'п(1) = Л ~ Ко"'(1 — )У( ) 4~+ К'т(О)У(1). о 5.4. Особые интегральные ураввевия. Ивтегрвльвое уравнение Абеля. Интегральные уравнения (1) и (2), п.5.1, называются особыми, если ядро К(1, т) обращается в бесконечность в одной или нескольких точках сегмента (а, Д, либо один или оба предела интегрирования а и р бесконечны.

Примером особога интегрального уравнения Вальтерра 1-го рода служит интегральное ураанение Абеля дт = у»(1)» О < а < 1. у(т) (1 — т) о Уравнение получено Абелем для случая а = 2 при решении задачи а таутахране; найти 1 кривую, сколшя вдаль которой без тренин, тяжелая частица достигает своего самого низкого положенил за одно и то же время, независимо от ее начального положения. Пусть ядро К уравнения (1), п.

5.3, при 1 = 0 обращается в бесконечность и не имеет произ! водных. Рассмотрим свертку У(г) о! = ~У(т) дт = а(1). по свойству интегрирования оригинала о имеем ! д(1) =; а(р) = - Р(р) Р и равенспю (2), п. 5.3, принимает вид Ж) = — б(р). 1 (1) Лрк(р) Согласно теореме 11, п. 1.2, йп рК(р) =!!шК(1) = са, следовательно, йш — = О. Поэтому 1 'Р го т»ь рИ(р) функшш — является изображением. С цомошью теоремы уынолгения равенспю (1) можно ! рИО») перевести в пространство оригиналов. Гл. 7.

Метод юпетральиых преобразований Лапласа 360 решить интегральные уравнения второго рода. 751. Я) = з!п ! + — ( (! — т) ~(т) Ат. 27' о М Перейдем к изображениям. Имеем ! г з г 2 7(!) — Е(р), $!п ! —,, (! — т) 7(т) Ат — Ю е Я) — — р(р). ,+1 / р' а Операторное уравнение, соответствующее интегральному, принимает вид ! 1 2 р(р) = + — — р(р), р~ + 1 2 рз откуда У(р) =- (р — 1)(р'+ 1)(рз+ р+ 1) Представим функцию Р как сумму простых дробей: А Вр+С Рр+Е (Р) ! з + Т ,з+р г !' Из тождества р = А(р + 1)(р +р+ 1)+ (Вр+ С)(р — 1) + (Рр+ Е)(р — 1)(р + 1) получаем систему уравнений А+В+Р = О, А+С вЂ Р+Е, 2А+Р— Е=О, А —  — Р+Е=О, А — С вЂ” Е=О, -1, Согласно второй теореме 1 решив которую, получим: А = 6, В = 2, С = 2, Р = — 3, Е =— ! ! 2 разложения имеем 1 ~ 1 (Р+ 1)ег ! (р+ !)ер 1 (2р+ 1)ел~ ~(!) = — е + — гез + — гез — —, — — гез 6 2; (рз+ !) 2, (рз+1) З,,гз; (рз.+р4- П 2 1 (2р+ 1)е"' — гез 3 -~-~Ъ (р'+р+ 1) 2 г багз ! ( , 1,3~ = — е + — (сот!+ з!и !) — - е з соз — ! = — ~е + 3 сот(+ 3 з!и ! — 4е т соз — г') .

м 6 2 3 2 6 ~ 2 752. ((!) = е и+ 3~с ц ''~(т) Ат. о м пусть Р(р) ~ 7(!). В правой части уравнения перейдем к изобрюкениям. получим 1 е и Ф вЂ”, 3 ! е Е "7(т)Ат =, 'ЗР(р)— ' р+2' у ' р+1 о (по теоРеме э. БоРелЯ). тогда Р(Р) = б, +~~~- 2) — — лч,— +-~) + 4~;--~, откУда находим 1 3 И) = 4 ( и+ 3 ") и 361 $5. Ивтегральвые уравиеиия типа свертев. Особые уравнения 8 г 753. У(>) = ь!п2> — — / ьЛ3(> — т)~(т)бт, зl ° ПУсп Р(Р) Ф > (>). По таблице изобРажений ь>п 2> =; -т —, ьЛ 3> =' -т —, а по теоРеме 2 р+4' р — 9 умножения Э. Бореля 3 ьЛ 3(> — т)1(т) аьт =' Р(Р) ,г 9' о Интегральному уравнению соответствует операторное уравнение 2 8 Р(р) = — В(р), рз+ 4 рт — 9 решением которого является функция В, где Р(р) —, — + + 2(рз — 9) А В Ср+ В (ро†!)(рз+4) р — 1 р+1 рз+4 Из тождества А(р+ !Нр + 4)+ В(р — !)(р +4)+ (Ср+ В)(р — 1) = 2(р — 9) находим А = — 5, В = 5, С = О, Ю = -5-.

Таким образом, 8 8 26 8 8 13 2 5(р — 1) 5(р+ 1) 5 рз+ 4 По таблице находим 8, 8, !3 >'(>) = — — е'+ — с '+ — яп2> = — (13яп 2> — !бьЛ>). и 5 5 5 5 754. У(>) = >'+ / ь>п(Ю вЂ” тИ(т) Ат. о И Для получения операторного уравнения перейдем к изображениям: 6,, 1 Г, Г(р) у(>) Ф Р(р), > =' —, ь!и> =;, / яп(> — т)~(т)а>т =,' рао ро+ 1~ / рз+ 1~ о 6 Р(р) 6(р~+!) 6 6 р(р) = + р(р) = = — + —. >,а рз+>,ь ь „а По таблице изображений находим: >5 У(>)= +> >ь 20 Проинтегрировать уравнения Вольтерра первого рода.