Антидемидович 5 - ДУ (Антидемидович), страница 74

Функция !' называетсн дробной или мгроморфной, если она не имеет других особенностей, кроме полюсов. Согласно определению, мероморфная функция есть частное двух анзлитических на комгглекс- ной плоскости С функций, причем функция в знаменателе имеет хотя бы один изолированный нуль на плоскости С, а если нулей бесконечное множество, то оно не имеет предельных точек. Вычетом функции У в изолированной особой точке а называется число 1 гезу = —, / у(г) йг, (4) 2кг,/ где т — достаточно малая окружность П = (х Е С: !г — а! = б). Если функцию у можно представить рядом Лорана (2) в окрестности изолированной особой точки а, то зй! 5 3.

Обратив,б гие Лапласа В устранимой особой точке вычет все .да раасн нулю. В попике порядка гп вычет вычисляется по формуле й' ! юз1= — Ьп — „(( -а)"У( )) (6) (и 1)! ««йз" Для полюсов первого порядка формуда (б) принимает вид гез7 = !!ш(х — а)У(х). « Если при этом в окрестности точки а у(х) = фц, где )«и ф — анвлнтические функции в точке а, причем р(а) ~ О, а ф(х) имеет в точке а нуль первого порядка (т. е, ф(а) = 0 и ф'(а) Ф О), то вместо формулы (7) можно пользоваться формулой р(х) (в(х) р(а) гез 7 = Ош — (х — а) = Огп - „ (8) --' ф(х) -" х( ):Е(а) ф'(а)' (7) З.З, Теоремы разложении.

Непосредственное применение формулы (!), п.3.1, затруднительно. Мы рассмотрим здесь так назьтаемые лервую и вторую теорены раможенил, которые значительно упрощают процесс восстановления оригинала по его изображени!о. Теорема Е Если изображение Р донускает в окрестности точки рч — — 0 раможение в сходящийся ряд Парана ло стеленям— ! р Р(р) = ~', — '„"„ «=о р то ему оютветствует функция-оригинал !« О(!)у(!) =',) а„— с ««о (2) Прежле чел! формулировать вторую теорему разложения, приведем нааодяшие сообрюкения. Если у — аналитическая функция внутри области Ю всюду, кроме конечного числа особых точек а! (3 = 1, и) и непрерывна на границе С этой области, то справедлива формула Коти о вычетах 7(з) йз = 2я! ~ гезу. (3) с г=! Подынтегральнал функция Р(р)е' в формуле (1), п.3.1, аналитическая и ее особые точки находятся на плоскости р слева от прямой, уравнение которой У = а = а.

Справа от этой прямой функция Р(р)е' аналитическая, поскольку оба сомножителя — аналитические функции. Если применить теорему о вычетах к интегралу «аи ~е~Р(р) йр = / е~Р(р)йр+ / емР(р) йр с -и сл по контуру С = С, ы Сл (рис. 103) и перейти к пределу при Ь -! со, то оказываетсн, что е"Р(р)йр -! О, / е~Р(р) йр — ! 7"(!)2я! = 2н(~ гез(е~Р(р)), св «-и ! т.е О(!)У(!) = ~ геа(е" Р(р)). У! Этот результат известен в теории операционного исчисления как вторая теорема развахгвния. Сформз пируем эту теорему. Гл. 7.

Метод интегральных преобразований Лапласа 342 изображения Р(р) яеляетгл функция О(1)У(() = ',), юз(е "Р(р)). (4) Если для точки зь можно указать такую б-окрестность, что при однократном обходе точки з«по любому замкнуюму контуру, целиком лежащему в этой б-окрестности, одна ветвь многозначной функции переходит в другую, то точка з« называется точкой разветвления данной мно- гозначной ф ункции. Если среди особых точек функции ер'Р(р) кроме полюсов и существенно особых точек рь (й = 1, 22) имеются точки разветвления р,' (ь' = 1, гп), то « ! « Г(() = ~ гез(емР(р)) — — ~ / ер Р(р) йр, (5) Рь 22гь ., 2«1, » где у,' — контуры, состоящие из окружностей С,' малого радиуса с цен- трами в точках 'разветвления, верхнего и нижнего края разрезов плос- кости по лучам, проведенным из этих точек (рис.

104). Рве. ьае Найти оригинады данных функций Р. е е"«Р 722. Р(р) = —, а > О. а 2»Р ' т Функция.Р— аналитическая на плоскости р с разрезом по отри- С, цательной полуоси. На верхнем крае разреза р = ре" и р = ьзрр, а на нижнем его крае р = ре '" и „р = -2 рр. Поскольку р = 0 — точка 0 разветвлении функции Р, то, согласью формуле (5), имеем 1 г е'"" у(1) = — — / ер йр, 2хь Р' чРР 7« где у« — контур, изобрюкенный на рис. 105, ориентированный против хода часовой стрелки, состоящий из двух лучей и окрухгности радиуса е > О. Оценим г .ьез р,е 'ЧРР ~ е-«»р / ер — йр < / 1еи) ~ — ~йр) ,р .

~,р Полагая р = ееь", получим е 'ЧРР— «чт~х 2 (е 1 — 1йр~ = е' «Р .гй»р < ем,ре2я — »0 при г-»0. Поэтому Р Р«Е -«чрр»««р о ,„е и д +м / ь«,рр -2«.рр) — (е — йр = — ~ е —, йр — ~ йр = — ~ е М ! йр '4 + « +«« ! Г юсова РР 2 Р У(П=-'~'е- йр = — / е " созаийи р Теорема 2. Если изображение Р есть меромарфнан фунниия на комплексной пласкаопи р и аналитическая на нарунлагкасти )(ер > а и если существует последовательность екрузкностей С„= (р Е С: 1р~ = А„), Вь < Вь < ..., Н вЂ” +со, на которой Р(р) стремится к нулю равномерна относительно агйр, а также»уа > о интеграл )' Р(р)йр абсолютно сходится, та оригиналам 343 03. Обратвое преобразование Лапласа Г гг (после подстановки гр = и).

Обозначим 1(а) = / е "'сазана(и. Интегрируя по частям, нахоо з(п аи аг,1+ 21 Г „г, 21 а(1 1(о) = — е а ~~ 4 — / ие " з(пои г(и = — — —. л о а а г(а о Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. решая его, получаем г 1(о) = Се аг. Постоянную С находим из условия угя 1 рг С = 1(0) = / е " ' Ни = — / е '"' аг(иЛ) =— у71,/ Д 2 2)/1 о о Следовательно, ! гя а 1 аг 1(а) = -)/ — е а, 1(1) = — е 2 )/1 ' ггяг 723. г(р) = е ав, о > О. а Пусть 1(1) =' е '"о. Тогда по теореме днфференшарования изображения получим ,,у 2 е'' -1~(1) ф (е ' г/, илн — ГГ(1) Ф вЂ” — —.

о ' гр ,1 Согласно решению предыдущего примера — 11(1) = — е аа . Позтому тяг аг а аг я)= е а, е что=; е ац,м 2чтя(з ' 2(ъ'яг е '"у 724. р(р) = —, о > 0. р ' а Воспользуемся решениеагапредыдуще~о примера н теоремой интегрирования оригинала. Получим р ' 2чгя,/,ггтз' о Произведя замену 4- —— и, находим: а г а /,е ц г(т = — / е ' би = Ег( ® . о а г гт( Имеем — =' Ег((-ф) . М г+ 725. р(р) = (р — 2)(рг — р — 20) м Поскольку (р — 2)(р~ — р — 20) = (р- 2)(р+ 4)(р — 5), то функция р имеет простые полюсы в точках р, = 2, р, = — 4, рз = 5.

Эти же полюсы имеет и функция ег'Р(р). Для нахождения оригинала функции Г воспользуемся формулой (4), п. 3.3. Вычеты функдии р а-а еие.(р) найдем с помощью формулы (8), и.3.2. Имеем еи(рг бр — 1) 5е гез е~р(р) = о=г 3(рг — 2р — 6) 18 ' 344 Гл. 7. Метод интегральных преобразований Лапласа е'(рз+р-1) П и геь ег Р(р) = = — е ь=-ь 3(р' — 2р — 6) 54 еьь(р~+р — 1) ~ 29 геь сир(С) = = — е 3(рз — 2р — б) ) 27 Подставив полученное в формулу (4), и.

З.З, находим: 7(С) = — (1!е 458е — 15е ). и 54 726. р(р) = о -р+2 (р' 4 4)(рз + 1) ° Фунюгия емр(р) имеет простые полюсы в точках р = ж2( и р = ж(. По формуле (8), п. 3.2, находим ем(р'-р+2) (1+ь) „ "р(.) =— 2р(2рз 4 5), б ем(р'-рч-2) 1 — ь „, геь е" Е(р) = — = е ' . г.=з1 2р(2рз + 5) 6 В точках р = — ь и р = 2ь получим комплексно сопряженные выражения. Следовательно, г'! — ь е !+ь „'ь 1 С(С) = 2Ке ( — е ' — е' ) = — (соь2С+ ып2( — соьС+ ь!пС).

и 6 6 ) 3 ! 727. р(р) =— (р — 1)'(рг + 1)(р — 2) м Функция е'~е (р) имеет простые полюсы в точках р = 2, р = жь и полюс 3-го порядка в точке р = !. Согласно формуле (4), п. 3.3, имеем у(С) = геьеь Р(р)+ геьеир(р)+ геь еие(р) Ч- геье"у(р). ь=г ь=! Р= г 1 Вычислим вычеты по формулам (6) и (7), п. 3.2, получим: р! а геье Е(р) = — —, = — е, (р — 1) (рз+ 1) еи 1 геьгзьр(р) 4 геь еь'р(р) = 2Ке (гезеМР(р) ~ = 2Ке ( ) = — (соьС вЂ” Зал(), / ь,(р — 1)з(р+ ь)(р — 2) 7 =; 20 1( еь' е"р(р)=-( г р=' 2 1,(р'+ П(р — 2) ) 1 (2(бр~ — 16р + 15р — 3), Зрг — 4р+ 1, С~си ь~ е' 2 1, (рз + 1)'(р — 2)ь (р 4 1)ь(р — 2)' (рь 4 1)(р — 2)/ 4 Таким образом, еь 1 е С(С) = — + — (соьС вЂ” Зь!п() — — (С 4!).

М 5 20 4 728. р(р) =— рейр чс Поскольку ей р = сов ьр, то функция еир(р) имеет бесконечное множество простых полюсов рз = О, р„= ж( (й — р ) ьг, )ь 6 Я. Согласно второй теореме разложения имеем !ь гч=( — ) ~ь.т ( — ' е ( 7) ~ „соь()ь — 1) кС = 1+2Ке2 ',, = 1+ 2~ (-1) ь(к — -') кь)гь((ь — -') к = (Сь — !) к б 3. Обратное преобразование Лапласа 2 г Йл! ак — — — / У(!)соз — 4! (й Е Уо). о 4, цозтому 1 г — / 2 !22 = 2, ! В рассматриваемом случае 1 = 1 Йкг С05 -2 51п — 4- ! вл ° лл ак = — / соз — ! ой = 2 2 4 1 ао = — / К(!) !(г = 2./ о ! — 1) Таккак со5-"2 51п-4- =( — 1) при п=4й — 2(ЙЕЩ, то а =2 2, и Гй — 2~ л 2! соз й — 1 !+2с 12 ~1 2)~ )О, если 4й — 1<!<4Й4-1, (й 11 '(2, если 4й+ ! < 5 < 4Й+3.

к=! !й — 2!2г с помощью единичной функпии 2) можем представить функцию ( в виде у(!) = 2 ) ( — 1) 2)(! — 2й — 1). Таким образом, к=о 1 — Ф 22 ( — 1) О(! — 2й — 1). М рсйр =о Найти изображения функций. 729. ((1) = йп256. м Воспользуемся теоремой 1, п.