Антидемидович 5 - ДУ (Антидемидович), страница 75

3.3. Разлагая функци!о 1 в степенной Ряд, получаем 5!п252! = 2 (-!)" !"'! ='Р(р). .—.о (2п+ 1) Согласно решению примера 683, имеем (2п 4 1)152л ! 2Ф и!22 к!р"+т Следовательно, ~Ф) = Е(-1)" »=о п)р" к ! 1Р— -~',(-1)" —,— =- -е к, и р »=о и' р р 730. у(!) = —. со5252! 2! < Из разложения к мк-1 со5222! (-!)222»!к ! (2Й)! и соотношении 1! ! Г (Й+ 2) (2Й вЂ” 1)112/л (2Й)!2!»л 2 — ' к -' ькй р 2 2 р 2 Й!225 2 находим о получено разложение в ряд Фурье на сегменте [О, 4) функции (О, если 4й — ! < ! < 4Й+1, ,( 2, если 4й+ 1 < С < 4Й+ 3, по косинусам кратных дуг.

действительно, коэффициенты Фурье ак,оля функции 1 вычисляются по формулам Гл. 7. Метод ннтегралыная преобразований Лапласа 731 У(С) = С?2«(2ч?С), где 2„(х) = ~ (-1)~(-~ «о лева) функция 1-и? рода и-го порядка. н Подставляя в формулу для 2„(х) вместо х аргумент (?С)"+?« ((с) = ст 2„(2чС) = С ? ~ (-!)' й!Г(и+ у+ ! Принимая во ю?имание решение примера 682, имеем Г(а + й + 1) р «««? 1 — цилиндрическая (бессей!(и+ й)! 2??гС, получим ( 1)«С«ы ) -Е,,(„„,1) Следовательно, )« ? 7!1 «(И Г(С)=~ ( !) = — 2 ( — 1) — = — е У, пЕ??.о.м — Р ? «=о "' Р"+ 734. ° Г'(С) = м Воспользуемся решением предыдущего примера, полагая там и = 1. Получаем ! ! Ст,7,(2«?С) =' — е о. р? По формуле интегрирования изобрахгеиия (теорема 1О, и.

1.2) находим ? «ы Г !ту (2ч?С) г е о ?Сд 11+а ф/ — =еГ~=! — ер. / (Г? г Таким образом, ? Г(С)=,! — е У и. 4 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы 4.1. Интегрирование уравнений е постоянными коэффициентами. Пусть дано дифференциш?ьное уравнение 4"у 4"-'у Ау Ьу = ао — -Ьа? — „+ ... + а„-? — + а у = Г(С) «СС" АС"-' ''' " 4С и начальные условия А(р))г(р) = Р(р) + В(р), (3) где А(р) н В(р) — известные многочлены. Решая зто уравнение, найдем операторное решение Р(р) + В(р) А(р) у(О) = у„й?(О) = у, ..., Уи '(О) = у' (2) Считаем, что ао ~ О и функция г", а также решение у(С) вместе с его производными до п-«о порядка являются оригиналами. Обозначим )'(р) Ф у(С), Р(р) ив У(С).

Г!о правилу дифференцирования и свойству линейности вместо дифференциалыюго уравнения (!) с начальными условиями (2) получаем операторное уравнение (аоР '- а,Р + ... + а„) У(Р) = = Р(Р) + уо(аор" ' + а?Р" ' + " . + а. ?) + Уо(аор" ' + а?Р" ' + " . ь а -?) е " е Уо" 'ао, или 347 $4. Лияейиые дафферевииальиые урнвиеиия и системы Если уравнение (!) при начальных условиях (2) допускает решение у(!), удовлетворяющее условиям, пало,кенным на оригиналы, то это решение является оригиналом лля г (р). 4.2. Решение сметем лпнейныя дифференциальных уравнений с постояннымн ноэффнниентамн.

Аналопочно применяется операционный метод к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть требуется решить систему и дифференциальных уравнений второго порядка Х, аы —,+Ьы — +с,кдк =У(!) (в=1,п) кы ( с начальными условиями 4.3. Решение уравнений с пулевыми пачаяьнымн условиями прн помощи интеграла Дюамеля. Пусть требуется найти частное решение дифференциального уравнения АУ=У'"'+а,У'" "4 ... Ч-ак,д'+акр=-~(!) с начальными условиями д(о) = у'(о) = ...

= у'" 0(о) = о. (2) Рассмотрим задачу д(0) = д'(0) = ... = ди к(0) = О, (3) где бд — левки часть уравнения (1). Поскольку операторные уравнения, соогветствуююцие задачам (1), (2) и (3), имеют вна 1 А(р))к~(р) = —, р если известно решение задачи (3), то„сот!шоно А(р)Р(Р) = Р(р) где Р ф 7, то У(р) = РУ~(р)Г(р). Таким образом формуле Дюамекш, имеем д(!) = ~ ~(т)у',(! — т) Ат о (приняли во внимание, что у,(0) = 0 согласно начальным условиям). Формула (4) принимает вид у(!) = у,(!)У(О) + ~ у,(!)У'(! — г) 4 .

(5) о Решить слелующие дифференциальные задачи. 733. у" +о'у =Ьппас; у(0) = уо, у,'(0) =)4. ° Операторное уравнение, соответствующее дифференциальной задаче, имеет вид (р +а))к= +уор+уо. аЬ рк+ ак Ада(О) дк(0) = ик, = !Зк. А! Если ук(!) и 7,(!) — оригиналы, а Ук(р) и Г,(р) — их изображения, то система (1) с начальными условиями (2) заменится операторной системой (аккР Ч-Ь„ку+с„к) Ук(Р) = г,(Р) + ~ ((а,кР-> Ь„к)ах 4-а,к!ук!.

(3) к.—. ~ к.—.! Решая се как алгебраическую линейную систему уравнений, найдем Ък(р), а потом и их оригиналы дк(!) Изображение Оригинал 1 р ГО,есппг < 0 ч1!) = ~ 1,', 1 > о У!д Ь 1) рьы 1» !д > -1) С, Д = СОП5! и! 1р — д) 1"с", и Е И, гг = сопь! 5!пи!, и Е К, и = сопь! р2 ! яг (р — д) 2 -1- а! 1ю(р -1- ьд)" и! ! 2 ь 2) ьч р — гг !р — а)2 -1- аг КС!Р 1-ИО)ьы и! —— ! 2 + „2)ь.» 10 ьпьгг, а Е И, а =- сппь! р р2 2,22 с!!ыг, я Е И, а = сопя 12 *)п аг —, Я ЕЖ, ы=сопы 1 гг р — — ьгсга— 2 ы дг п)г сю— рг Ьи! 252 1Япьгь(, и Е И а = ссп5! ег 2бгт( ) 222 с, ОЕй, а=сопя 15 с —, аЕРО а=соль! ч'и! ' 1 ьра+ а 16 с -д р 1 — е Тг, ОЕИ, а=соль! ьгюь 17 1 1 — ь!ив Я гь — е " ы)п игр 1 р чр 1 — соь— сгпг 21 — е ср усов ьгр 1 ч'р — длр р /а т бгт~ — ), ОЕИ, а=сапы )ьг г,)' 20 Таблица оригиналов и их изображений 5' япыг, ы Е И, д = спп52, м = сппь! 1" япы), и Е И, я Е И, дг = сопи ссьыг, и Е Рь Я = сОп5! е сщаг, ЯЕИ, а=-соль!, а=сопя ! сп5а!, и Е И, а Е И, Я =.

сдп5! Приводим таблицу изобрюкеиий для некоторых функций и соответствующие указания для пользования ею. Если требуется по заданному оригиналу найти соответствующее ему изображение, щ таблицу читают слева направо; если известно изображение и требуется найти соответствующий ему оригинал — справа царево. Таблицы более подробные, чем предложенная здесь, приводятся в специальной литературе по операционному исчислению. 349 и 4. Линейные диффереицвазииые ураииеиив и системы Решив его, находим аЬ Р Уо У(р) = +Ус + — (Рз.„аз)з Рз щ,з Из таблицы изобрщкений функций находим: Уо Р . Уо .

Уо ф уосоза(, ф — з!п ай орз4аз . о ' РзЧ аз а Поскольку — т — т-г — — 2 — г — р-гт —, то по формуле 7 таблицы и теореме об интегрировании аЬ Ь 2а ! (р +а ) (р +а ) Р' оригинала имеем аЬ Ь г Ь Ф / т з!и агат = — (з|п а( — а( соа а!). (уз+аз)з ' 2 l 2аз о Окончательно получасов Ь Ь о|па| 7 Ы'г у(Г) =- ( у'„+ - - ) — + ! Уо — — ) севан и.

2а) а г, 2а) 734. У" 4 4У'+ 4у = е а(соз | + 2 з|п |); у(0) = — 1, у (О) = 1. а Перейдем к изображениям: УФУ, у ФРУ+1, у =, 'РУ-|-р — 1, Р -|- 2 сщ( 4 2з|п| Ф 2,„| ' у(Г) = е (| — сщ! — 2з|п(). » 735. Ув т зу" + зд'+ д = 1; у(о) = У'(о) = у" (о) = о. «( Пусть у(() Ф У(р). Переходя д взобркжег!иям, получим операторное уравнение, соответствующее дифференциальной задаче: (р4|)'У = —. Р Ею решение— 1 1 1 1 1 У(р)— в(рщ Пз,,+1 ( Ь Пз (ощ |)з' Оригинал изображения У находим по формулам 1, 3 и 4 таблицы: у(|)=1 — е — (е — — е =1 — е 11+!+ — ). » 2 ~ 2) 736. Уи+ у = 1; у(о) = д'(о) = у"(о) = о.

М Дифференциальной задаче соответствует операторное уравнение, решением которого является функция У, где 1 р(Р' + 1)' По теореме смещения получим -н Р+4 е (соз!+ 2з|пг) =; (р+ 2)з+ 1 Дифференциальной задаче соответствует опсраюрное уравнение Р У+Р— 1+ 4РУ+ 4+ 4У = г р4 4 (р -|- 2)' -|- 1 решение которого имеет вид 7 Р 4 7Р + 16Р 4 11 ((Р + 2)' + 1)(Р + 2)' 1'азлагая правую часть этого равенства на простые дроби, находим: Р44 1 У(р) = —— + (у+2)о+1 (Р42)з' Перейдем к оригиналу, воспользовавшись свойством линейности, теоремой смещения и таблицей изображений. Имеем Гл. 7.

Метод пвтпгралапых преобразований Лапласа 350 Оригинал найдем с помощью второй теоремы разложения: д(С) = 2. шз(емУ(р)). Функция У Рг имеет простые полюсы в точках р, = О, р, = — 1 и рз = 7 — — 2 —, ра = 7 + -'-2-. Вычисляя вычеты функции р еиУ(р) в указанных точках, находим 1, 1, ег е' шзе =1!шег =1, газе" У(р)= 1гш и р(рз+1) з о рг+1 ' и з -гр(р' — р+1) 3 ехд((г+ — ', )С) 2 1 Д гез ему(р) О гез ему(р) = 2 Ке — = — — е г соз — С.

и и :3 3 2 Окончательно имеем е ' 2 1 гггЗ д(С) = 1 — — — — е г сгп — С, и 3 3 2 737. д'" + 2д" + д =- з!и С; д(О) = д'(О) = д" (О) = д'"(О) = О. П Решение операторного уравнения, соответствующего дифференциальной задаче, находим после перехода от функции, ее производных и правой части уравнения к изображениям. Оно имеет вид 1 У(р) = (р' о 1)' Ори~инва д(с) находим как вычет функпии р еиУ(р) в точке р = г': д(С) = Ке — ~ )' = — (3 — С')ппг — — !созе. и г(Рг '((р+ !)') 8 8 738. д' — д' =- 8 Мп С; д(О) = д'(О) = д" (О) = д"'(О) =. О, дьч(0) = 1 П Поскольку д(С) Ф У(р), д'(С) Ф рУ(р1, д (С) ф р'У(р) — 1, з)пг ф -г —, то операторное р -1-1 ' уравнение, соответствующее дифференциальной задаче, имеет вид 5 8 р У вЂ” 1-РУ= —, рг!' откуда „г)9 1 (р) = р(рг — 1)(рг + 1" Оригинал будем находить с помощью второй теоремы разложения.

Функция У имеет простые полюсы р, = О, ргл —— Ы и комплексно сопряженные полюсы второго порядка рк, = Ы. Обозначим Р + 9 = Рг(Р), (Р 1)(Р О 1) = Рз(Р). Тогда рг(р) Ррз(р) Найдем вычеты функции еМУ(р) в ее полюсах. Имеем Рг(0) г Рг(рг)егг' !Ое' 5, „, Рг(рг)еал 5 гезеиУ(р) = — = -9, гезег У(р) =, = — = — е', геземУ(р) = „, = — е Рг(0) ' и РгРг(Рг) 8 4 ' гг РзРг(Рз) 4 гезеиУ(р) о геземУ(р) = 2Ке1(ш —, = 2Ке гС /г(р — г)г(р + 9)емг) (г (р 49)ем и и г г г(р г(р(рг+1)(рг 1)г/ г) р(рг 1)(рг+!)г = 2Ке ~ з ~ ~ 3 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~ ! ~ ~ с -Зр' — 44рг + 27р — р~! — 28ргг'+ 9г (рг+ 9)С + ) ез р (рг !)г(р+ С) ,( г Н( 1;)г) г =\ /13 Сх е 13 = 2 Ке ( — + г) ее = — сох С + 2С з)п С.

4 г) 2 Окончательно находим: 5 13 д(с) = -9+ — сьс+ — созе + 2сппс. и 2 2 $4. Лииейиые диффереивиальвме уравнения и системы 739. Уо+ ы'У = а(О(1) — г)(! - Ы); д(О) = д'(О) = О. м Перейдем к изобрикениям, Имеем у =' у, уо ='рзУ, г)(1) ф Р, О(1-Ы ф р (по теореме запаздывания). Дифферегз циазьггой задаче соответствует операторное уравнение ( о+о,г)У а ~! — е ор) Р 351 решением которою является функция У, тле а -ор У = — —.— (1 — е ).

Р(р'+ о) По второй теореме разложения получаем а а а 2а гог( = — — — возы( = - 3!и Р(Р'+ы') ' ыз ыз ыз 2 ' а по теореме запаздывания находим: ае " 2а з ы(1 — Ь) 2 з — — — у згп — — гг(1 — Ь). р(рз -1- ого) Гаким образом 2а г',, ю(, ог(1 — Ы у(г) = — (пп — г)(1) — з(п' — г)(1 — Ь)) .

> 2 2 740. до + 4у = 2(1); у(О) = д'(О) = О, где à — 2ггк, если 2пя <1( (2п+ 1)я, 2(1) = -1+ 2(п+ 1)Я, если (2п+ 1)л < 1 » ((2п -1- 2)Я, О, если 1 < О, и 6 Жо откуда 1 яр У(р) = — гй —. Р3рз+ 4) Оригинал изображения У(Р) найдем по теореме умножения. Изображение функции уг по теореме дифференцирования оригинала имеет вид 1 яр 1 огр У'(!) =: р — !й — — )'(О) = — 1Л вЂ”. рз 2 р Имеем 1, если 2пя<1<(2п+1)я, — бт — =' ~ -1, если (2п+!)я <1<(2п+2)я, Р 2 ~ О, если !<О, 1, 1 п 6 Хо — ф — (1 — сгп2о).