Антидемидович 4 - ТФКП (Антидемидович), страница 15

м 45. Найти на плоскости С образ параллели с ширмой (е ( — /з <?з < /з) прн стереографической проекции. Чему соответствуют южный и северный полюсы? М ПУсть точки (С, О, Г) Е Я имеют шиРотУ (и. Тогда Г = ,—' + дчзл. ПоэтомУ из фоРмУл (3), п. 1.3, находим Каждой точке параллели широты Р соответствует точка плоскости С, нахоляшаяся на окружности У = Тх б С: (4 = !й (кз + —,) ), 06Ратное Угвейждение также спРаведливо. Южный полюс, т, е. точка широты (а = --,, соответствует точке (х( = О, Точки, отвечающей северному полюсу, в плоскости С нет.

> 46. Что соответствует на сфере Римана семейству параллельных прямых на плоскости С при стереографической проекции? М Рассмотрим семейство параллельных прямых плоскости С, пересекаюших ось Оу. Пусть прямая этого семейства проходит через начало координат и наклонена к оси Оа под углом а. б 2. Топология комплексной плоскости 43 Тогда из задачи 44 следует, по ей соответствует меридиан (за исключением северного полюса) с долготой а. Пусть у = ях + Ь, д = !да — любая другая прямая этого семейства. Тогда, если точка Я = ((, О, () Е В соответствует точке а = х+ гу, по формулам (3), п.

1.3, получаем дх+ Ь 1з!' (= —, О= —, в 1+~ ~г !+)а!г 1 ! ~а~г О да О = ДЕ+ Т;,', = Д(+Ь(1-() ПоэтомУКООРдина ( О ( точки г УдоюгетвоРЯгот уравнениям г г' 1) 1 М вЂ” Π— Ь(=-Ь и ( +„+ г( 2,~ 4' Следовательно, точка Я принадлежит окружности, определяемой двумя последними уравне- ниями. Так как точка (О, О, 1) удовлетворяет этим уравнениям, то все такие окружности проходят через северный полюс. Таким образом, всякому семейству параллельных прямых на плоскости С отвечает на Я се- мейство окружностей, каждая из которых проходит через северный полюс. М 47.

Доказать, что при стереографической проекции окружности, расположенные на сфере, проектируются в округхности или в прямые на плоскости. Какие окружности на сфере соответ- ствуют прямым на плоскости? < Рассмотрим на сфере Римана окружность АС + ВО+ С(+ Р = О, (г„г+ г( !гг где А, В, С, Р— некоторые действительные числа.

Найдем образ этой окружности при стерео- графической проекции сферы Я на плоскость С. Пусть точка (О, О, 1) принадлежи~ данной окружности. Тогда Р + С = О и уравнение плос- кости, в которой лежит заланная окружность, примет вид АТ+ Вг) = С(1 — (). Принимая во внимание формулы (2) и (3), п. !.3, получаем в плоскости С прямую Ах + Ву = С, которая и есть образ данной окружности. Из формул (3), п.1.3, получаем, что ( = (1 — ()х, О = (1 — ()у.

Поэтому из уравнения плоскости А(+ ВО+С(+ Р = О следует, что С = 1 + л,~~'„' . Тогда, ггодставляя выражения (, О, ( через х и у в уравнение сферы, получаем уравнение кривой в плоскости С: (Р+ С)(х Ч- у ) + Ах+ Ву = — Р. Если С+ Р эь О (т.е. заданная на сфере Римана окружность не проходит через северный полюс), то эта кривая является окружностью на плоскости С, а если С+ Р = О (т. е. окружность на сфере проходит через северный полюс), то она переходит в прямую на плоскости С.

м $2. Топология комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел. Свойства функций, непрерывных на компакте 2.1. Тополопап комплексном плоскостп. В пункте !.2 показано, что упорядоченная четверка В = (С, +,, ~ ~) является нормированным векторным пространством над полем !к. Поэтому упорядоченная пара (С, р), где у(аг Е С, зг Е С) я(вп хг) = !аг — а,! = (хг — х,)г+ (уг — у,)', есть метрическое пространство.

В множестве С введем в рассмотрение так называемую сферическую метрику р. Гл. 2. Комплексные числа и функции комплексного перемемиого ПУсть Яг((г г)г, ьг), Вг(сг, бы ьг) — сфеРические изобРажениЯ точек х, б С, хг б С. ХРР- дальным Расстояние,и к(Я„В,) между точками Яг и Яг называется евклидова норма вектора (сг сг г)г г)г (г (г), т. е. Й(дг, Яг) = ((г — (г) + (г)г — г)г) + ((г — Сг) . Полагаем »гг(хг Е С, хг Е С) р(хг, гг) т й(Я», Яг). Согласно основным формулам стереографической проекции имеем 1 +М" 1+! гР' ' 1-~И2' 1+И" ' 1-У~хгР' ' 1Ч-~ гР' Слеловагельно, если хг б С» хг 6 С, то г г г +~ Гг 1+~ Г,) "(, ч~"~г +~ Гг) '), +~ ~г - ~.Г )х»1~ И~ 2(хгхг -Ь угуг + ~хг~~~ г1~) 1+ /хг/г 1+ ~хф (1+ !хг!г) (1Ь !хг!г) (1Ч- /хг/г) (1-Ь )хг!г)' ! г — хг! Р(хг» хг) »гг) + /хг~г»,Л Ч- (хг(г ы Если х Е С, то р(х, со) = ='==.

Таким образом, )хг — хг/ „(, „,,—,) „,,)"г у)'Й,у +~~.~ уг) + ~х~Р' если х»ЕС» хгЕС, если гг Е С, хг = оо. Упорядоченная пара (С, р) является метрическим пространством. Заметим. что в множестве С можно пользоваться сферической метрикой. Пусть А С С— ограниченное множество (напомним, что согласно определению 5, п.3.2, гл.1, применительно к мегрическому пространству (С, р), множество А называется ограниченным, если его диаметр г((А) = щр р(хг, хг) = зор ггг — х,~ конечный).

Пусть О < г( < +оо и»гх Е А ф < Л. *ЫА, » ел »пе н гел Тогда Ч(гг б А, г, б А) имеем р( г, г) гхг — хг! г ~ ~Р(хг хг) ~ ~Р(т хг). (2) 1 + )(' ' ,/1 + !х,/г,/ 1 + ~х,/г В рассмотренном случае метрики р и р зквивалентны. уолологией в метрическом пространстве (Х, р) называется семейство открытых множеств в нем (см. п.б.б, гл. 1). Топология в пространствах (С, Р) и (С, р) осуществляется путем введения в рассмотренные семейства окрестностей.

Пусть е > О и ха Е С. Согласно определению 1, п. 3.2„гл. 1, множество 0,(ха) = (х Е С: 1х — ха! < е) О,(ос)=(хбСгр(х»со)<е)= хЕСг <е = хбСг(4> ~ —,— 1, (3) ф-~-~Да ~ — ~ ~/ ~ ег т. е. множество всех точек комплексной плоскости С, лежащих вне окружности радиуса называется е-окрестностью точки хь в метрическом пространстве (С, р). В метрическом про- странстве (С, р) е-окрестностью точки х = оо является множество в 2. Топология комплексной плоскости 45 Согласно определению 2, и. 3.4, гл.

1, точка» Е А С С (» Е А С С) называется внутренней, если с)чцествует ее е-окрестность О,(») С А. По определению 1, п.3.3 гл. 1, множество О С С (О С С) называется открытым в метрическом пространстве (С, р) ((С, р)), если оно состоит лишь из внутренних точек. Согласно теореме 1, п.

3.3, гл. 1, каждая е-окрестность в метрическом пространстве (С, р) ((С, р)) является открытым множеством. Определеиие 1. Совокупность всех открытых множеств в комплексной плоскости С (С) называется топологией г этой плоскости, а упорядоченная пара (С, т) ЦС,т)) — таповогическим пространством. Топологическое пространство (С, т) ((С,т)) обладает свойствами: 1) обьединение любого семейства (Ов)„ел аткрытьтмнажеств О„С С (О„С С) и пересечение конечнага семейства их являются открытыми множествами (см. теорему 2, п.

З.З, гл. 1); 2) пустое множества о и множество С (С) являются атнрьнпыми множествами. Согласно определению 3, п. 3.5, гл. 1, точка»л Е С (», Е С) называется тачкой прикосновения лгножеслва А С С (А С С), если любая ее б-окрестность Ог(хл) имеет с А непустое пересечение. Точка»л б С (»в Е С) называется предельной лля множества А С С (А С С), если она является точкой прикосновения множества А)[»л). Из определения прелельной точки множества А следует, что любая ее б-окрестность содержит бесконечное множество точек из А (см. теорему 4, п. 3.5, гл. 1). Из неравенств (2) следует, что если» Ф со — предельная точка множества А в топологическом пространстве (С, г), то она имеет такое же свойство в пространстве (С, г) и наоборот. Поэтому прн определении конечным предельных точек можно пользоваться как евклидовой, так и сферической метрикой.

В этом смысле метрики р и р эквивалентные. Очевидно, что конечное множество А С С не имеет предельных точек. 2.2. Замкнутые множества, отрезок н ломааяя. Связные множества. Согласно определению 1, и.3.5, гл. 1, множество Г С С (Г С С) называется замкиулпым, если его пополнение СГ является открьпым множеством. Замкнутое множество Г содержит все свои точки прикосновения. Множество всех точек прикосновения множества А С С (А С С) называется его замыканием и обозначается А (см. определение 2, п.

3.5, гл. 1). По определению 5, п.3.5, гл. 1, точка» б С (» Е С) называется граничной точнов множества А С С (А С С), если она является точкой прикосновения как А, так и СА. Множество дА всех граничных точек множества А называется его границей Оно замкнуто и может быть пустым. Пусть», б С>»г Е С. Множество (» б С: - = 1», 4 (1 — О»», 1 б [О, 1]) называется отрвжом на плоскости С, саединпюи(им точки»п»з, и обозначается [»и»,[. Точки», и», называются его концами.