Антидемидович 4 - ТФКП (Антидемидович), страница 16

Отображение 1 л»(1), где»(1) = 1», + (! — 1)»» лу( б [О, ц, называется парпиев тричесним представлениелг отрезка [»п»г[. Непрерывная функция [о, Ь[ К называется ломаной (кусочно-линейной), если ее график на плоскости К, отождествленной с плоскостью С, состоит из конечного числа отрезков. Определение 1.Открытое множества О С С (О С С) называется связным, если любые две вга точки можно саединтпл ломаной, все точки которой принадлежат этому множеству.

Определевие 2. Замкнутое множество Г С С называетсл связным, если ега нельзя разбипм на две части, расстояние между которыми положительно. Понятия связности открытых и замкнутых множеств существенно отличаются. Определение 3. Связное открытое множество называетса обдаст ью. Определение 4. Замыкание обласгпи называетсв замкнутой областью. 2.3. Последовательность комплексных чисел я ее предел. Пклвдовательностью (»„) точек метрического пространства (С, р) называется отобрюкенне [л[ -" С (см. общее определение последовательности точек в и. 1,8, гл. 1). Рассмотрим некоторые вопросы теории последовательностей точек метрического пространства, изложенные в З 3, гл.

1, применительно к последовательностям комплексных чисел. Определение 1. Точка» б С «азывавтсч пределом последовательности (»„) (при этом записываем» = 1пп»„иви»„»), если Яе ) 0)(Эп, Е 1Ч) (Уп ~ и,): р(»„, ») = [»„— »[ < е. 46 Гл. 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного В этом случае послеловательность называется сходящейся. Из определения следует, что начиная с некоторого номера и, Е (ч( все члены последовательности (»„) содержатся в г-окрестности точки л Е С. Вне окрестности 0,(л) могут находиться лишь точки л„»з, ..., л„, „мнохсество 2 которых ограниченное.

Согласно теореме п. 3.2, гл. 1, объединение 0,(л) гз Е двух ограниченных множеств является ограниченным множеством. Следовательно, сходлшаяся последоватеяьность ограниченная (ОМ Е К: Чп Е Н |л,! < М). Для обозначения ограниченных последовательностей (л„) комплексных чисел будем пользоваться символом Ландау л„= 0(1). Определение 2. Последовательность (л„) имеет пределом со (лри этом записываеи 1ип л„= оо или л„ос), если (чуг > 0) (Зп, б 3!) (зги > и,): р(л„, со) ( г. (2) Из определения 2 следует, что, начиная с некоторого номера и, Е 1(, все члены иоследователыгости (л„) удовлетворяют неравенству 1»„! > ()Я вЂ” ! ~ (см. п.

2.1), т. е. находятся вне круга радиуса Ка = .Я-1(. Условие !ип лй тсо равносильно тому, что Бгп !л„! к+со. Для несобственного комплексного числа со понятия действительной и мнимой частей, а также аргумента не вводятся. Согласно теореме 1, и.3.1. гл. 1, сходящаяся в метрическом пространстве (С, р) последовательность (л„) имеет единственный предел.

Теорема П (л„л) сь (Ке»„йел) л (1т »„1т л). < Необходимость. Пусть „л, тогда р(л„, ») = 1»„— »! О, и из неравенств ! К廄— Ке л! ч !л„— л(, ! (т л„— 1т л ! < !л„— л!, вьшолняюшихся тгп Е гч, следуют требуемые свойства Кел„Кег, !тл„1тл. Огл "„ 1ии — =— --С. й !ип (л„+(„) = 1!т л„+ !ип Г„, Иги (»„Г„) = )ип л„1ип С„, Теорема 3 (критерий Коши).

Посчедоватечьность (л ) сходотся тогда и только тогда, когда она фундаментальная, т. е. (чге > 0) (Би, Е (чО('в(п > и„р Е Щ) г р(л„ьр, л ) = !льне — »„! < г (3) (см. определение фундаментальной последовательности в п. 3.1, гл. 1). Поскольку метрическое пространство (И, р), где р(*, у) = !я — у! тг(к Е К, у Е К), полное, то в сиду теоремы 1 полным является и метрическое пространство (С р), где р(л„лг) = 1»т — л,! У(лг Е С, лг Е С) Теорема 4. Пусть последовательность (л„) сходится и» = йт л„.

Тогда любая ее нодпоследовательность (л„„) также сходится и Ит л„„= л. ь- Достаточность. Пусть Ке»„Кел, !тл„!тл. Тогда !»„— л!т = (К廄— Кел) + 2 1(тл„— )тл) 0 при и оо, т.е. л„-чл. и Таким образом, сходимость последовательности (»„) комплексных чисел равносильна сходимости двух последовательностей действительных чисел (Ке »„) и (1гл »„). Это позволяет перенести всю теорию пределов последовательностей действительных чисел на последовательности комплексных чисея. В частности, из ограниченности последовательностей (Ке л„) и (1тл„) немедленно следует ограниченность последовательности (л„). Сформулируем теоремы для последовательностей комплексных чисел, которые следуют из теорем для последовательностей действительных чисел.

Теорема 2. Пусть (л„) и ((„) — сходящиеся последовательности колггмексных чисел. Тогда их сумма (» +(„), произведение (л„, („) и частное (-*к) (нри усговии, что зги Е 14 („~ О л 1!т ф„а О) также являются сходящимися последовательности и и ври этом б 2. Тополопи комплексной плоскости Теарема 5 (Больцано — Вейерштрасса). Всякое бесконечное ограниченное мназкестаа Я С С имеет хотя бы одну предельную точку а С. м Пусть (х„) — произвольная последовательность точек множества Я, Она ограничена, поскольку мно:кество Я ограниченное. Тогда и последовательности (Ке х„), (1ш а„) ограничены. Согласно теореме Больцано — Вейерштрасса для последовательнее;ей действительных члсея, из последовательности (Ке х„) можно выделить сходящуюся подпоследовательность (Ке г „).

Пусть !цп Кех„, = х, х Е К. Рассмотрим подпоследоаательность (1шг„ь). Она ограничена, поэтому низ нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (1ш г„ь ). Пусть !пп !шхьц = у, у Е К. В силу теоремы 4 Кех, х при гп — + оо. Рассмотрим подпоследовательность (г„, ) последовательности (г„). По теореме 1 !цп ггц = з = яд(у, ° Е С. Согласно определению 4, и. 3.5, гл. 1, г является предельной точкой мнохсества Я. м Определевие 3. Тачка х Е С (г Е С) называется частичным пределом паследааатеяьнасти (х„) ияи ег предельной тачкой, если из нее манена аыдвгить падпагледааатеяьнаппь (г„,), предел катарин равен х. Из теоремы 4 получаем следствие: если последовательность (г„) сходится и точка г б С— ее частичный предел, то 1нп г„= ..

Следует различать предельные точки множеств и последовательностей. Например, последовательность (гн), где „= (-1)" имеет две предельные точки: г~ = -1 и, = 1, а конечное множество (-1, 1) предельных точек не имеет. 2.4. Свойства компакта К С С. Все необходимые определения и результаты, относящиеся к свойствам компактных множеств в метрических пространствах, излохсены в б 4, гл. 1, Рассмотрим свойства компакта в метрическом пространстве (С„р).

Определение 1. Пусть К С С Множество К назыааетгя компактным а себе ияи компактам, если из любой последовательности (з„) точек г„Е К милена выбрать падпасгедааатгюность (г„), стаднигуюся к ненагпарай тачке гг Е К (см. определение 1, б 4, гл. 1). Теорема 1 (об ограниченности компакта). Каждый компакт К С С явяяетгя ограниченным множествам. < Пусть, вопреки утверждению, компакт К не ограничен.

Тогда существует такая по ледовательносзь (г„), что ) „( > и и Хсп Е сИ г„б К. Из (г„) нельзя выбрать ограниченную подпоследовательность и, тем более, сходящуюся. Получили противоречие, источник которого в предположении, что компакт К не осраннчен.м Заметим, что согласно теореме Хаусдорфа компакт К С С вполне ограничен в метрическом пространстве (С, р), т.е. тг > 0 для него имеется в С конечная г-сеть, Поскольку метрическое пространство (С, р) полное, то по теореме срреше каждое вполне ограниченное в нем множество компактно.

Следует также отметить, что не всякое ограниченное множество Я С С является компактом. Например, множество Я = (г Е С: (г~ ( 1) ограниченное, но не компактное а себе, поскольку любая подпоследовательность последовательности (х„= — ", ) его точек сходится к 1 б Я. Аналогично, если множество Я С С имеет предельную точку гр !( Я, то оно не является компактом. Теорема 2 (критерий компактности в себе), Мналгестна Я С С яаяяетгя компактом тогда и только тогда, когда ана одновременно замкнуто и ограничена.

< Необходимость. Пусть Я вЂ” компакт. Согласно теореме 1 множество Я ограничено. Допустим, чю оно не замкнуто. Тогда существуют такая точка хг б Я и такая последовательность (г„), что ссп Е (с( х„Е Я д 1пп г„= г,. Любая подпоследовательность (г,) сходится к га б Я, что противоречит определению компакта. Источник противоречия — в предположении, что множество Я не замкнуто. Следовательно, Я вЂ” замкнутое множество. Достаточность. Пусть множество Я С С замкнутое н ограниченное, В силу замкнутости оно содержит все свои точки прикосновения (см. пюк5, гл. 1).

Рассмотрим любую последовательность (х ) его то'ек. Поскольку она ограничена, то, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса 48 Гл. 2. Комплексные числа и функции комплексного переменного (см. теорему 5, п. 2.3), существует подпоследовательность (х„ь), сходящаяся к некоторой точке х Е С. Так как множество Я замкнутое и Чп Е )Ч г„Е Я, то х Е В. Согласно определению 1, множество Я компактное в себе.

М Теорема 3 (Бореля — Лебега). Пз любого покрытия компакта К С С бесконечным семейством (С )„е„аткрытыл подмножеств 6 С С можно выделить конечное покрытое. М Утверждение является частным случаем теоремы 6, 5 4, гл. 1. И 2.5. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Понятие отобраэкення из одного множества в другое дано в п. 1.8, гл. 1. Предел, непрерывность, а также свойства непрерывных отображений из одного мезрического пространства в другое рассмотрены в з 6, гл. 1. Будем изучать отображения 1': С ь С и (: К С. При этом результаты, изложенные в з 6, автоматически имеют силу в рассматриваемых случаях. Задание комплексной функции комплексного переменного ш = у(х), х Е РР равносильно заданию двух функций и: Кз - и и и: Кз -ы К с областью определения Рг С К'. При этом функция и называется дгигтаительнай частью функции 1', а функция в — ее мнимой частью, т.е.