Антидемидович 3 - интегралы (Антидемидович), страница 27

у. з) б П~: О < с < а, 0 ( у ( а, 0 ( з < а] плоскостью, заданной уравнением э я+ у+ л = -а, пробегаемое против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной г стороны осн Ох. ~ 6. Элементы векторного анализа 6.1. Скалярные и векторные поля. Если ка'кдой точке М пространства Й~, пг > 1, или некоторой области этого пространства поставлено в соответствие некоторое число у(М), то говорят. что задано скалярное поле 1 (например. поле давления в атлюсфере.

поле плотности сплошного распределения массы в объеме 1Г и т. д.). Если каждой ~очке М пространства И~, ш ) 1, или области этого пространства поставлен в соответствие некоторый вектор и(М), то говорят, что задано векторное поле и (наприлгер, поле тяготения системы масс пли сплошного распределения лгассы в ограничениолг объеме, иоле плотности импульса, поле плотности тока, поле магнитных сил и т. п.). 6.2. Плотность аддптпвной функции областей. Восстановление алдитнвной функции по ее плотности. Пусть Ф(К) — аддитивная функция компакта К, т.е. функция, удовлетворяющая усло- вию Ф(К, О К,) = Ф(К1) + Ф(Кэ) для любых двух компактов без общих внутренних точек. Число гз(М) = йш Ф(К) к-вг рК Ф(К) = ~т(н) г*.

к (2) где дЛ вЂ” ыера компакта К, называется плошиосглью Фрикико Ф в точке М б К. Если плотность Гз(М) аддитивной функции областей Ф ггепрерывна или кусочно — непрерывна на компакте К, то Гл. 2. Кратные п эгрнволиненные интегралы б.З. Дифференциальный оператор Гамкльтока. Пусть (ээ(М), и(М), ... ) — множество скалярных н векторных полей, имеющих непрерывные производные по всем координатам, и пусть Т(р! = Т(р; Р(М), и(М), ... ) — некоторое выражение, имеющее смысл скаляра или вектора, линейное относительно произвольного вектора р: Т(иэ р, + оэрг) = аэ Т! р, ) + аэТ(рэ), где оэ, аэ — произвольные действительные числа.

Пусть р т ау+ 61+ сй. Тогда, в силу линейности Т, имеем Т(р) = аТ(г) + !эТ(у) + сТ(й). (1) 202 Полагаем Т(~) = — Т(!) + — Т(Я+ — Т(й), ...д . д д дх ду дг (2) заменяя в (1) компоненты вектора р символами дифференцирования по 'х, у и г соответ- ственно. Символ 1» (набла) называется дифференциальным оператором Гамильтона. В векторном анализе накболее важными выраженияьги Т, о которых упоминалось выше, являются: а) Т(Р! эо) = РР (эо — скалярное поле); б) Т(Р! и) = (Р, и) (скалярное произведение); в) Т(Р! и) = [Р, и] (векторное произведение). На основании (2) получаем: а) Т(ч) = 1тю т ~~~!+ олу'+ — "й; б) Т( ч) = (1т, и) = о + дд + —, если и = (Р, !г, Я); в) Т(Ч) = [гу, и] = — — — = ( — — — ) г+ ( — — — ) у+ ~ — — ) л.

о о о /оя оо'э . ог он ° Уоо ог1 о» оу о» ( зу 3» ! о э» ~о оу гэ' Р !г В Вектор в правой части а) называется градисноэол скалярного поля Р, Выражение в правой части б) называется расходияостью (пли диогрггнцигб) огкториого поля и. Вектор в правой части в) называется вихрем (или роторол) огкторного поля и. бА. Пронзводнал скалярного полл по направлению. Градиент скалярного поля. Пусть ю — скалярное поле, определенное в области й С Н, т — гладкая кривая, лежащая э в й н проходящая через фиксированную точку Мо б й, г1 ! — длина дуги кривой от точки Мо до точки М.

Если прн М Мо существует конечный предел отношения !ьэо(Мо) ю(М) — ю(Мо) г.'э! то он называется проиэеодиоб скалярного полаю в точке Мо вдоль кривой т и обозначается $(М,): дэ йш Р(М) — Э (Мо) (1) д! ы о гэ! Если функция ю дифференцируема в точке Мо, то ее производная вдоль кривой существует н для всех кривых, выходящим из точки Мо с одной и той же касательной т = (соя ау, соэдээ сов зэ), значение этой пРоизвоДной оДно и то же, а сама пРоизвоДнал называется проиэоодной по данному направлению т н вычисляетсв по формуле дэо — (Мо) = (бгад Р(Мо), т) = — (Мо) соз оэ + — (Мо) совА + — (Мо) соз гэ ° (2) дээ ду дэ» д! дх ду дг Вектор бгад ю(Мо) = фМо), одт(Мо), ф(Мо)) направлен из точки Мо в сторону быстрейшего возрастания скалярного поля Ьо, а его евклидова норма равна абсолютной величине производной пола эо в этом направлении. на гяадэшй поверхности уровня Р(м) = с, с = сапог, касательная плоскость к поверхэюспэ в точке Мо ортогональиа вектору бгад Эо(Мо).

3 6. Элементы векторного апллпза гО3 6.3. Потенциальные векторныеполя. Цпркуллцпи векторного полл. Любое векторное лоле в, совпадающее с полем градиента некоторого скалярного поли р, называется попэонцвальиыя, а функцюо и называют в этом случае пощеициалоя коля и. Если вектор пола в имеет физический смысл силы, то нотенцнал и этого полл имеет физический смысл работы. Работа А силы в иа гладкой или кусочно-гладкой кривой т, соединяющей точку Мо с точкой Мы вычисллетсл по формуле А= (в, т)а1, ч где т — единичный касательный вектор к кривой ",. В силу условия в = бгаа оо, из (1) получаем А = (бгай рц т) 61 = / — 61 = р(Мо) — р(Мо). Г ар д1 (2) мом1 Мо'М, т.е, работа силы иа пути МоМо равна разности потенциалов в точках Мо н Мо. Если в — произвольное непрерывное векторное поле, то интеграл по замкнутому контуру (в, т) а! называется циркуляцией поля и по контуру Ч. П~ркуллцнл непрерывного потенциального векторного поля в по всякому замкнутому контуру Т, лежащему в односвлзной области, равна нулю.

Справедливо н обратное утвержде- ние: если циркуляция непрерывного векторного поля и равна нулю по любому замкнутому контуру 1, лежащему в односвлзной области, то поле и потенциально. 6.6. Поток п расходпмость векторного полл. Пусть Я вЂ” конечная »ладках нлн кусочно-гладкая поверхность, в — векторное поле, заданное в области й, содержащей все точки поверхности Я. Выражение (3) ~', я - ф...> ба где и — единичный вектор нормали, характеризующий сторону поверхности, называется потоком поля и через поверхность Я.

Вычисление потока лвллетсл линейной операцией. Если поверхность Я, ограничивающая область й, замкнута и при стлгивании области й в точку М существует конечный предел ю(и; 5) и-м рй где рй — жорданова мера множества О, то он называется раскоднмосчлою нли дивергенцией оекоаоркого поля и в точке М б й и обозначается й!ч в(М): 61ч в(М) = Ьа — д (и, и)НЯ. (г) и — мийо Таким образом. ~о определению а1ч'и(М) есть плотность аддитивной функции областей— потока векторного поля и через замкнутую поверхность 5. Если компоненты поля в = (Р, Я, Я) иыеют в области й непрерывныепроизводные —, —, то справедлива формула зг зо зн зэ' зэ' з»' ойч и(М) = — (М) + — (М) + — (М), дР д1'„> дЯ д* ду д» (3) получаемая на основании формулы (2), формулы Остроградского н теоремы о среднеоь Ранее, в п.6,3, показали, что 61чи ы (чт.в).

где Р— дифференциальный оператер Га- мильтона, 8 8. Элементы векторного анализа М Используя определение градиента скалярного поля, получаем я (н~ - (-(яо, -М, -<н)' - Н, †. — я » ° (ив = Ло уи+ *- гтди ди ди (,ах ' ау ' дх ) Направление бган и(М) определяется векторны бгаг> и(М) У 12 9 41 е(М) = = ( —, — —, -- ) = (совая, соз>?я. соя тг), '98гас> и(М)8 (,25' 25' 5/ Единичный вектор т, выходящий нз начала координат в направлении биссектрисы первого координатного угла, имеет вид т = ( —, —, 0) .

Согласно формуле (2), п.6.4, получаем (72 Л аи 12 9 3 а1 — = (бгай и(М). т) = — — — = —, и ягг Я, г' 205 204. В каких точках пространства Озу- градиент поля и ях х +у +2 — Зхут. (х. у. 2) б э з з ж: а) перпендикулярен к оси 02 б) параллелен осн Ох; в) равен нулю? 2 ° я Нз определения градиента скалярного поля следует, что бгаг> и(х. д. 2) = (3(х 2 ух). 3(у — хх), 3(хз — ху)) . В сл> чае а) имеем (бгаи и, й) ж З(хз — ху) = О, откуда 22 = ху. В случае б) вектор 8гао'и(х.

у. 2) колинеарен орту й осн Ох, вследствие чего в каждой точке искомого множества дольхны одновременно выполняться равенства х -ут = О, у — хх = 2 2 О. Псключнв из нлх 2. найдем хз — у = О, откуда х = у и хз+ху+у = О. Второе равенство выполняется лишь в случае, когда х = у = О. Подставляя х = у в любое из исходных равенств, получаем, что х = у = 2. Следовательно, градиент скалярного поля и параллелен оси 02 в точках х = у = 0 и в точках х = у = х. В случае в) получаем равенства х — ус = О. у — хх = О, т — ху = О.

которые должны 2 2 2 выполняться одиовреягенно. Пспользуя результат, полученный при рассмотрении случая б), имеемх=у=2. и 1 205. Дано скалярное поле и = !в —, где т = (х — а)2 + (у — 6)2 + (2 — с)2. В каких т' точках пространства Охух выполняется равенство 08гая> и(! = 1? Вя з- В -Ь Вя Принимая во внимание равенства — = — —, —" = -", — = — — ', получаем в 2'в» ж,я в, ))бгал и9 = —.

Равенство Обгаг1 и0 = 1 выполняется на сфере единичного радиуса с центром в точке М = (а. 6, с), т.е. на множестве точек т = 1. ° х 206. Найти косинус угла а между градиентами поля и = в точках А = Х2 1- у2 1 2 (1, 2, 2) и В = (-3, 1, 0). . ° Носннус угла о. вычислим по формуле '58гао и(А Ц '98гао и(ВЦ Обозначив тз = хз + у + 22, последовательно получим ди 1 2хз ди 2ху ди 2хх и= —, — = — — —, — =- —, — = — —, т(А)=3, т(В)=чт>00, т" дх тз тя ду та ' д.