Антидемидович 3 - интегралы (Антидемидович), страница 24

р) б бб: О < В < —, 0 < Лг < —,). Сделав элементарные преобразования, находим Ах(В, р) + Ву(В, лг) + Сх(В, ль) = ьбсгйо В. А +В +С =Ь с мп Всоз у+о с з1п Вз!и у+и Ь ьш Всоз В= гг л г гг л г гг.г г г г г . г зш Всаз р мв Взбл ьг соь В г г г " г г =ьЬсяш В г бг я Ьг сг Окончательно имеем / . „~ ~ б»злпгрсозглг зшгВзшглг созгВ '1 ь ь = вяб» / ~- ~ — + — ) ьлэ В+ — соз В) мп В еВ = г я г (,4 ~аз бг) 2сг ь $4. Интегрирование иа многообразиях 129 На Я, и Я, выдовняетсз равенство ИЯ = ийхду, в силу чего первые дза интеграла в о~алой части равенства являются двойными интеграламн в замкнутой области 0 = ((х, у) Е К: хэ+у» йс~). Принимая во внимание равенства и( = О, н! = Н, получим ~(х'+ у'+ ) 4Я+ Ц(х'+ у'+,') 4Я = =Д~(и[ 'и,чин) и,и,= ии'и~Д~( 'и '~и и,.

Переходя к полярным координатам, находим 2Дт'ит)и и (и (/и = т. и а а На Яз выполняются равенства х + у = йй, ЫЯ = и . причем Ян проектируется на 2 2 э П!ини Лэ ни' прямоугольник йии — — ((х, н) Е м~: (х(»» Л, О ( и» »Н), в силу чего имеем л и и дО „тит.)иили/ ° (и* Н~„хгии(и.,и*)1 хи -н о а тх 4ййН Н + — ) атсзт — ~ их 2лКН ~ Л + — ) . З) Н!э (, З) Складывая полученные равенства, окончательно находим й (Н(Н+ Н)э + 2Нз) 173. С какой силой притягивает однородная усеченная коническая поверхность Я = ((р, р, х) Е Й и х = рсоа р, у = рмв Эи. х = р; О (» р ( 2л, О 4 Ь < р»( а) с поверхностной плотностью рз материальную точку массы пэ, помещенную в вершине этой поверхности? е Применив формулу (18), п.4.3, получим Г = кпэро — ИЯ, т где л — посгояинал тяготения, т = (х — вы р — уз, н — хз), т = )(т(( ж (х — хе)э + (у — уэ)э + (х — нэ)э.

Здесь следует взять хз = рз = зз = О, тзк как материальная точка находится в вершине конуса. Обозначал Г = (Г, Гю Г,), имеем Г = ниэре г г — ИЯи Г„= игоре — ИЯ, Г, = лтпрз — ИЯ. (г у тз Параметрнзуем поверкность Я, полагал Я = йг(Ю), где 44(т, и) ю (-~ соз р, -я зго у, -Н), 12 = ((т, У) й К: Ь/2 ~(т 4 зэр2, О ~ээ ~2л). Тогда и т Ь'хиз, Сиз —, Гю О, йЯ Н~ — Гзйтийр иа визтйтэ. 2 180 Гл, 2.

Кратные и криволинейные интегралы Заменяя поверхностные интегралы соответствующими двойныын, найдем 2» а тг Г» = -и илра / соз гг Вр / — = О, / а лЛ 2~ Л Г = -итра индига / — = О,. / ./ ° о лтг 2» а»т2 а Г» = -итра / Вга / — = хакара 1ив 2 / / т Ь З Ь/2 Пз физических сообраясений мошно было сразу сделать вывод о том. что Г л» О, Г„= О. так как однороднал поверхность 5 имеет ось симметрии Ох, на которой находится центр тяжести поверхности, в силу чего а Г = ххплра 1и -й, 6 где й — орт осн Ог. М з 174. Найти потенциал однородной сферической поверхности 5 = ((х, у, 2) б И х + у +2 = а ) плотности ро в точке Ма = (ха,, уа, хз), т.е. вычислить интеграл П = — 285, где т = (х — ха) + (у — уо) + (х — го) . ° ПеРелйцелг от систеллы кооРДииат Охнх к системе ОЩ, совеРшив повоРот осей тать чтобы точка Мз находилась на полол:ительной полуоси ОГ, В новой системе координат точка Ма имеет кооРдинаты ба = О, Ло = О.

Ьа = та, где то = хр + Уа + га. ПРн Указанном г г г переходе к новой системе координат сфера 5 перейдет в сферу 5' = Я. гй Г) б Ж: б + л + з. = а ). Таклглг образом. требуется вычислить интеграл г г = /1 Ы5' Пара 5' Представим множество 5' в виде 52 = Ф(21). где Ф(В, га) = (азш Всоз за, амл Вил д, а сов В), 22 = ((В, р) б 61~: 0 ( В ( т, 0 < лг ( 2х), и вычислим коэффициенты Гаусса. а такясе И5'. Пиееы Е = а, С = а зш2 В, Г = О, В5' а» с/ЕС вЂ” Гг а(В Ии = а зш В ВВ Ви.

Принимая во внимание равенство В 4 р +(à — та) =а — 2атасозВ+та, получим 2 2 2 2 2 2» л игла р / и — ' Д вЂ” * /В/ 2 2 агг — 2 Ьа 6 6 т» — ллм аа~+ г .о а а л ~Т-'ъ 7иа = 2з.а ра = — (а+ та — (а — та(). ага та а Если а < то, то Ьт»» здд~я. Если а > та, то Ьг»а 4;тара. Оба случая обьединяются "а одной формулой.

Действительно, неравенство а < та эквивалентно неравенству †, < а, а а »2 а»1 неравенство а > та — нералелштву — > а. Следовательно. Р = 4хуа пип т а. — „. 1 'а 'а 1 $ 4. Интегрирование иа многообразиях 175. Вычислить интеграл 181 Г(Г) = Д г"(х, у, х) оЯ, 51«1 где хг + (о, если г ( р'т~+ у, «(о= 1)' (**+ *) «=» )'/ .г,г «+„+ « г+««с «ь.~/ ««г ге э« г После перехода в двойном интеграле к полярным координатаы получим $Ц~ М г ог ог Г «4 Г(С) = 4Я~ЙЭ«~ = т~г) ~ = -т~ф21 +р ) ъ/Гг — рг~ р = — (8-бэ«2)Ф . > о о о Вычислить следующие поверхностные интегралы второго рода: 176.

1 = ~~ хНу4х+ у4х4х+ тих Ыу, где Я вЂ” внешняя сгорона сферы. заданной х э равнением х + уг + хг = а . ° Рассмотрим интеграл Плоскость х = 0 пересекается со сферой Я по окружности г = ((х, у) Е И~: хо+ уг = а ), ;...,.-.-...,.. « -С.. о,а гз -,/« ~— З:«,О.О « «С «-=С, )««': х-~З вЂ” *' — ~~О. )««),о=з, ) э': '« '« а ). Ориентация кривой; должна быть согласована с ориентацией многообразий Ят '1 ", и г 5" 'Г ", по правилу.

указанному в п.4.1. Эти ориентации протнвополоя'ны. поэтому у =Ц 4 ««Д~*«*« =Ц*'4 4 — Д) * 4 ь-гЦ«сс-'«вЂ”-, « ~ ь. После перехода в интеграле к полярныы координатам получим г«а э~~ «,= ~«,/ «и=у«,=-.о —,>.' ---. — 4 г г~' 4« 3 ~ 3 о о Пз очевидных равенств ~/ .

«„«* - ~)", «* «. = г, 5 окон ~отельно находим г' = 4 та*. р м Пз условия прпыера следует, что функция У отлична от нуля на той части поверхности 5(Г), которая находится внутри части пространства Й, ограниченной конической поверхностью Яг = ((х, у, з) Е И: г = „гхг+ уз), поэтоьб ныееы $4. Интегрирование иа многообразиях 183 х, у, х — компоненты вектора Ф (в примере 1б2 найдены следующие значения: А Ьсяпг д сох я, В = асэ(в Вага у, С = абзгв Всоэ В). Поскольку С > 0 при 0 < В < — и С < 0 при -' < В < х, то в формулах для вычисления сов п, сов ф, сов", перед радикалом выбираелг знак +"', в силу того что на верхней половине поверхности зллипсонда соэ > О, а на нижней его половине соэт < О.

Принимая во вннмание равенство 45 = Я + Вг+Сгдддгг, приводим поверхностный интеграл к двойному: Ц( А В С 1 ГГ або ас абх Г = + — + ~ дддлг ж ~~ ( — + — + — ) явддддгг = у(В, я),(д, ~)) Д (,, Г' э га /Ьс ас аб1 Г . Г Гбс ас аЫ /1 1 11 = ~ — + — + — ) / яп д дд ~ дя = 4гг ~ — + — + — ) = 4хабс ( — + — + — ) .

ь а Ь с Г / ~ а Ь с ) (, аг Ьг сг ) ' Упражнения длп самостоятельной работы Вычислить след> ющие криволинейные интегралы: а 119. / —, где у — отрезок прялюй, заданный уравнением у = — — 2, заключенный э-Э' г между точками А = (О, — 2) и В = (4, 0).

120. ) уд(, где ", — дуга параболы. заданной уравнением уг = 2рх. отсеченная кривой, уравнение которой хг = 2ру. 121. ) хух4[, где 1 — четверть окружности, леясащей в первом октанте, полученной в ре- зультате пересечения сферы 5 = ((х, у, х) Е мэ: хг + у + х ж я~ ) и поверхности цилиндра Яг = ((х, у, *) б Н': х'+ уг ж — ",, х б Н). 122. ) (2х — 1ГГхг + уг) Й, где; — первый виток конической винтовой линни, заданной у равнения лги х = г сох й у = 4 эта 4, х = 4.

123. Найти массу дуги кривой, заданной уравнением у = )в х, лгежду точками с абсциссаыи хг и хг, если плотность кривой в каждой точке равна квадрату абсциссы точюг. 124. Найти лгассу кривой т, заданной уравнениялли х = е'соэг, у = е'эглй г = е', от точки, соответствующей г = О, до произвольной точки, если плотность кривой обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке (1, О, 1) равна единице.

123. Вычислить статический люмеит первого витка конической винтовой линии. заданной уравнениями х = гсоэ Д у = бяп 4, з = 4, относительно плоскости хОу, считая плотность пропорциональной квадрату расстояния от этой плоскости: д = йх, б = совал. г 126. Вычислить площадь данной цилиндрической поверхности, заключенной лгежду плосв костью хОВ и поверхностями, заданными уравненпялгн у =;/Йрхх. х = у. х ж гр, р > О.

Вычислить криволинейные интегралы: 127. ( яду, где г — пробегаеыый в положительном направлении контур треугольника, образованного отрезками осей координат и првмой, заданной уравнением — * + " = 1. г 3 г ага — *аэ 120. )" — К вЂ” " —, где т — четвертая часть астроиды, заданной уравнениями х Ф+эй а соз 4, у = а эгаэ 4 (от точки (а, 0) до точки (О, а)). 129. ') х дх + уду+ (х + у — 1) дх, где т — отрезок прямой линии, от точки (1, 1, 1) до точки (2, 3.

4). 184 Гзг. 2. Кратные и криволинейные интегралы 130. Доказать, что величина интеграла ((Оху — у) дх+ хз ду. где ", — зал~кнутый контур, выражает площадь области, ограниченной этим контуролг. 131. Доказатгь что интеграл 1 1»(у) Йх + (хи'(у) + х ) ду равен утроенному моменту инерции однородной плоской фигуры. ограниченной контуром ",, относительно оси ординат. Найти функции по данныл~ полнылг дифференциалам: г. гг = ~ '-*" ».1 ге» ~ 1» У ~ У. = 1» зыз Вычисл1»ть поверхностные интегралы: 134.

д — „, . где Я вЂ” цилиндр, заданный уравнениелг х +у = Н, ограниченный плоскогг вв 2 з 2 г стями. уравнения которых г = О и г = Н, а г — расстояние от точки поверхности до начала координат. 133. Ц вЂ ,. где 5 — сфера, заданная уравнением х' + уз + гз = а а р — расстояние элемента поверхности до точки (О, О, с). расположенной вне сферы. 138. Цугйхду+ хгдудг+ худхдг, где Я вЂ” внешняя сторона поверхности, располох щенной в первом октанте и составленной из цилиндра, заданного уравнением х + у = Н .

2 з з и плоскостей, уравнения которых х = О. у = О, г = О и х = Н. 137. Цузгдх Иу+ хгдудх+ хзуИх Ых, где 5 — внешняя сторона поверхности, располов женной в первом октанте и составленной нз параболоида вращения, заданного уравнениелг г = х + у, цилиндра, заданного уравнением ха+у = 1, и координатных плоскостей.

г з 2 2 138. Ц((г" — у") соз а + (х" — г") соз 5+ (у™ — х") соз;) 65, где Я вЂ” верхняз половина х сферы. заданной уравнением х +у +г = а . а созе, сов 5, соя т — направляющие косинусы з внешней единичной нормали и к поверхности Я. ~ 5. Формулы Остроградского, Грина и Стокса Пусть К вЂ” компакт с краем дК в евклпдовом пространстве И~ с фиксированным базисом. Определение 1. Ко»такт К называется элементарным, если каждая прямая е пространстве е1~. параллельная оси Ох;, л = 1, т, либо не пересекается с К, либо имсега с К один общий сегменол.

когиорый.ножет вырождагвься а олочку. Указанный в определении сегл~ент л~ожно задать в виде р,(хы ..., х; и х,»л, ..., хт) < з, ( г)Ч(хг, ..., х, л, хвел, ..., х,„), где Лв,. ф; — непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов. Определение 2.