Антидемидович 3 - интегралы (Антидемидович), страница 23

16). Каждая ири„эаа тз представляет собой чепэерзь Рнс. 26 144. 1 = ~ уз ~Ь + зэку+ зз ~Ь, где т — часть кривой Внвиаим у = 8, й Яз, Я, = ((с, у, з) Е К; з + у + зз = а ), яз = ((з, у> з) Е К*: аз+ уз = ас), з ) О, пробегаеызл против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной части (з > а) оси Оз. ч Переходя к полярмыы коордмиатам, получим уравнение кривой Внамьмн в анде 3' зд р=асозр, з= 1)аз — рз (- — ~(р«( — ~. Прннммал во вимманме зто уравнение и зыбмрая в качестве параметра полярный угол зз, имеем з l з = а соз р, у = ампесоззз, з = а~наьз~ ~(ф ( -~ . 2) Для вычисления крмвоаимеймого интеграла 1 приведем его к интегралу Рнмама, вычисаив зиачемме аодыктегрального выражемня в точкзл параметризованной кривой т.

Получим бт и -2ама рсоа р бр, Иу = а(сыР р - мвз р)Ир, Ыз = збп р(а соз р)бр, р -„З О, уз бз+ ззбу+зз 3з = аз(-2з1азрсоаз р+з~пз и — 2ыаззз+эбвззсозззз)бр, зз зз О. Принимая во викыаиис равенство з з (-2 нвз р созе Зз+ збв р ссез р) Иьз = О, х = сов(о, у ж 21п ьо (О к (и ( — 1 ! 2/' получим 2 2 l г 2 1 з э 1.з 4 о(х — * Ну = — (з!в со+ сох )о)!((о = — 2 ззв ро((о = — —.

3 л 'и о о Вполне очевидно. ) и = ) о! = 1' ы = — —. Следовательно. 1 = 3 ) ы = — 4. )ь о 'и о! Прп решензш примеров 146 — 151 будем пользоваться независимостью криволинейного интеграла второго родя от выбора пути интегрированна. соединяющего две точки, если подынтегральиое выражение является полным дифференциалом некоторой фуикиип в односвязной области Р, содержащей кривую. ио которой вычисляется интеграл. Если известна такая функция и.

что о(а = Р !(х+ О !(у, то можем сразу написать (з1, ю) 1( ! о!) Р!(х+()!(уж о(х.у)~ = а(х!у1) — и(хо. уо). (зо,хо) (зо Оо) Если впл фушппш о нам неизвестен и в данной односвязяой областл Р выполнено равенство ео е = .й-. то, пользуясь свойством независимости криволинейного интеграла от выбора пути е у интегрирования пз точкп (зо. уо) в точку (х1. у1), лежащего в Р, будем брать в качестве пути ломаную, состояппю из отрезков прямых, параллельных координатным осям П не пересекающих гранину области Р.

Тогда. в силу того что !(у = О. если у = уо, и !(х = О. если х = х1, получим формулу (з!. и) рд +() у= ~р(.уо)л-+~4)(.1.у)лу. (А) (зо Хо) зо Ыо Вычислить следующие криволинейные интегралы: (з, -о) 146. 1 = х !(х + у о(у. (о,м и Поскольку хат + уеду = -' !((х~ + уз), то !(з. -1) 1=-(х +у)~ =12.> 2 ~(е, П (1. 1) 147.

1 = / (х — у)(!(х — !(у). (1, -1) < Вз равенства (х — у)(!(х — о(у) = (х — у) !((х — у) = - о((х — у) получаем 2 ((1 1) 1ж (х-у) ' ' = — 2. > 2 (1, -1) (1, 2) 1 у!(х — хо(у 148. хз вдоль путей, не пересекающих осн Оу, (2. !! 14. Ииъегрировазпге на многообразиях 167 окружности радиуса 1 с центром в начале координат.

В плоскости хОу выполняются равенства х = О, йх ш О, в силу чего на кривой 1 подынтегральиое выражение и принимает вид о! = уз о(х — хз !(у. Записав параметрические уравнения кривой Т! в виде 165 1'л. 2. Кратные и криволинейные интегралы ы Здесь Р(х. у) = ~»", ч)(х, у) = — —. х ф О, позтоыу е = е„= -о.. Следовательно, в любой одиосвязиой области, ие содержащей точек оси Оу. подыитегральиое выражеиие является полным диффереициалол! некоторой фуикции. Применив форл!улу (А) ! получим ! 2 ГЬх Г З Уы ( — — (Иу=--,» /хз ) 2' з ! 1о. з) х !(х + у йу 149. 1 = ~ вдоль путей, ие проходящих через начало координат. / /г2 .) уз (л, о) ~ Посколько = г) (Лг хо 4- уз), то з 4*+О Ся !)о, з) хз 4.

у ' ' = О. » <!.о! ! о — 1 )2. ° ) ло!. Х= / (! — —,„,— ог!),;,-+-, -)! ...„тч.„ .) (, * ° *) )!.ч) оси Оу, < В силу равенства Э/ у' у') Ой.у у у1 2у у у', у — 1 — — соз — — — !1о1в — + соз / = соз + о!в —, ар (л з х/ Эх ~ х х ' х/ = ...,з можем применить формулу (А), в которой иитеграл по перемеииой у равеи нулю (таь как путь иитегрироваиия параллелен оси Оз): г я х1 ! = )! (! — -) ! - (* ! .

ч -) ! В примерах 152 — ) 56 будем иаходить первообразвую функцию по известиому ее дифференциалу ыо, пользуясь ири атом формуламп (6) и (7), п.4А. или видоизмевив их. например. иногда вл!есто формулы (6) бывает полезна формула з ы в(х. В) = / Р(!. О) Щ + ~ )О(хо, 1) ЛГ + С. (в) Уо если путь из точки (хо, уо) в точку (х. о) юобраи о ввле ломавоб. состоящей из отрезка.

парзл- лельиоге >си Оо и отрезка. иараллольиого сн Ог (рис. 1 ). 1!, а) х !(у — у йх 150. 1 = г вдоль путей. ие пересекающих биссектрису первого коорди(х — у)з )а. -П иатиаго угла. ° Здесь Р(х. у) = — ф-) —,, я(х, у) = з г, о Е = з = — 2"т, и мы убехсдаемся атом, что подыитегральиое выражение является полиым дифференциалом некоторой функции во всякой одиосвязиой области.

содержащей точки (О, -1), (1, О) и ие содержащей точек прямой ; = ((х, у) Е И~ ! у = х). Применив формулу (А), получим 14. Иитетркроваине иа хиотообразияк 169 Найтк первообразиую функцию в, если: 152. 6з = (х +2ху — у )(!х+(х' — 2ху-У )(!У. м Применим формулу (6), пА.4, взяв ха = О Уо = О. Получим (*л)=Уза,У(' — 3 -Р(ю,а- а о з уз +,'у- ху' — — +С. (в 3 3 (ха + 2ху+ буг) ((х+(х — 2ху+ у ) ~у (х + у)з < Применим формулу (В) считая, что хо = О, Уо За О— любое фиксированное. Приняв во внимание равенства Р(х, У) = — + з, 1З(х, У) оа з, 1 4 уз (х — у) = +у (х+у)" ' =(+у)" получим Ркс. 1Т (х, у) = ) ~~ — + — ~) 61+ ~ — + С = (~!+у (!+у)з) / З зо = !з )я+у! — !з)у) — +2+!и !у(-!з)уо)+С = !з (я+ у! — +Сг, С( = сааза. м 2уг 2 уз (.

зс )г (х+ у)' 154. (!з = а (а" (х — у + 2) + у) (!х + а* (о"(х — у) + 1) 6У. ч Применим формулу (6), п.4.4, подагоя хо = О, уо = О. Получим (о (о (*, (=!( з+ (з ° ")(а(.-(+ ( + -(+и"~ +:("( — +и+(~ +- о о а а не +з(х — у+1)+а у+С(, С( =С вЂ” 1. в Найтк первообразную фуикпкю н, если: 155.

йи = (х — 2ух)(!х + (уг — 2хх)(!у+ (зг — 2ху)(!х. М Записав (!ги в виде г г г 'х +у +з ('з з з Их+ У (!у+х (!з — 2(у*(!с+ хо(!у+хубх) =(! ~ 3 — 2хуз имеем са(х, у, з) = -(х +у +х ) — 2хух+ С, С =сааза. 6ь з з з 3 156. 6н= 1--+- 6х+ — + —, 6у ) ~ ") о о (..и..(-~(ь- — + — )з а! ( — ~-)а-1 — а~а, а М Вмре(кение и является полным дифференциалом в любой области, не содерхз(пей качана коордикат и точек плоскостей хОУ, хОх.

Применив формулу (Т), пА.4, получим 1то Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы где (хз. уо. зз) — некоторая фиксированная точка, С = сопзы 1Интегрирул, находим 1 уз ~ / 1 уо) ху х хуз х ху ху ы(х. у, г)=х 1 — — + — — хе 1 — — + — ) + — — — — — + — + — — — +С. уо хз ) ~, уз хо ) га у хо уо г ло Взяв, например, хо ж уз ж го = 1! получим х ху ге(х, у. х) = х — -+ — +С!, С! = сопзп > у 157. Найти работу. производимую силой тюкести, юзгда материальная точка массы пг перелгещается из полол!ения (хг, уг, х!) в положение (хэ! уэ, хз), Ось Ох направлена вертикально вверх. < Сила тюкести есть вектор †функц Р ж (Р, 0! Рь) = (О! О! -гпд), где д — ускорение свободного падения! а выражение Р Нх + 0!1у + К!1х ж — пздйх является полныл! днфференциалолг функции и = -гоуз. Поэтому работа силы У по перемещению материальной точки из положения (хг! уг, х!) в положение (хг, уз, хг) не зависит от формы траектории и равна величине 1 з,эз,зг) А = Розх +Яг1у+ Аозт = и(хэ, уг.

зз) — и(х!. уг, х!) = -пгд(гг — гг). > 1*! э! *!1 158. Найти работу упругой силы, направленной к началу координат, величина которой пропорциональна удалемию материальной точки от начала координат, если эта точка списывает в направлении. иротмвоположнолг коду часовой стрелки, положительную четверть хэ уз эллипса; = (х. у) Е И ! — + — = 1 лз $2 м Пусть М = (х, у) — произвольная точка па кривой; !. положительной четверти эллипса ",, а г =,/хэ + уэ — расстояние от этой точки до начала координат. Тогда упругая сила Р, направленная из точки М в начало координат, имеет внд У(х, у) = рте(М, О) ! где д — некоторая постоянная, е(М, О) — орт, направленный из точки М в начало координат.

Поскольку е(М, О) = — —,, где г = (х! у) — радиус-вехтор точки М, то Х(х, у) = -дг = (-дх, -ну). Значение работы А найдем, вычислив интеграл Л = — д / хйх+у!гу= — — о(х +у ). г( э! Как и в предыдущей задаче. работа А не зависит от формы траектории точки и равна разности змачений потенциала н(х, у) = — «(х + уэ) силовой функции Х в точках (О, З) и (и. О): А= — — (Ь вЂ” а ). в д з 2 » 159. Найти работу силы тяготемия )Х( = —, где г = хэ+уэ+лз„действующей на гз ' единичную массу, когда последняя перемещается из точки М! = (хг, уг, л!) в точку Мэ = (хэ, уз, гг). М Сила тяготения У является центральной а!пой; поскольку ее линия действия проходит через начало координат. Поэтому можем ее представить в анде Р= — е(М,0)= — — ' ж-»~ —.

—. — ), 1» г(ОМ) гх у хт г 1гз' „з гз) ' ГУ2 Гл. 2. Кратные и яриволпнейиые интегралы Окончательно получаем л = «(1+ л/2). л» ГГ а'а 162. 1 и 0 — где Я вЂ” поверхность эллиисонда с полуосями я, 6. с. а б — расстояние 0 л ' от центра эллипсоида до плоскости, касательной х элеыенту Ыо поверхности эллипсоида. М расстояние б определяется формулой б = х соь О + у соя р + х соя э. где соха, саад, сол Э вЂ” направляющие хосииусы внешней единичной норлшли и к поверхности эллппсоида в точке (х, у, г).

Запишем параметрические уравнения поверхности эллипсаида в виде х ю а зш В соь р, у ««Ь ьлл В зш р, г ь«с соя В (О ( В < т, О ( л«< 2«). Применим форыулу (9), п.4.3, полагая там и = В, л = л«, б1схадя иэ симыегрии. мохсен написать равенство 51 где Ял — васьыая часть поверхности эллипсоида, леясащая в первоы антанте. Если (х, у. «) б 5л, то 0 (~ В ( <$, 0 < р ( <-'. Вычлгслплг направляющие косинусы вектора внешней единичной нормали п в тачке (х, у. -) б Ял ~ д5л.

где дал — край поверхности ал. Для этога найдем Р(у, х) Р(х, х) Р(х, у) Р(В, р) ' Р(В, р): Р(В, р) Писем А = бсыл Всеь р, В = ясьглг див лг, С = ьбьш ВсозВ. Тах как С ) 0 при 0 < В < -' и указанный вектор единичной нормали и в кюкдай точке г множества Ял ~дЯл образует с положительныы направлением оси Ох острый угол, то соь Э > О, следовательно, А "т=й«»т*»с "'«=~+« »~Э': "л=~ »в*.С Залгеиив поверхностный интег ал соответствующим еллл двойным, получим, приниллая ва вниыание, что ьЯ = Аз+ Вг+СгВВНль, Аг+3г+Сг '=' ) Ах(В,р)+Ву(В,„)+С,(В,,)"" =П и где й = ((В.