Антидемидович 3 - интегралы (Антидемидович), страница 26

/ )(( — „/*)Н/*/( — х+ х!+ (» — х+ у! = 1. авнением ((х — у+ 4 + ~у — х 3, по- сторона позер ве хиости, заданной ура н ое поверхностью Я. Применив формулу ( ° я Обозначим ч(ерез Т тело, р , ог аниченное лучин д НхНУН» = 3 АхНу х — Н», з( ду дв .)+ —,—.

Ч(а а дх т т — — л»з — »+х,мжх— х+у ен переменных, полагая и — х у+я, у Произведем в интеграле замену пе Принимая во П во вииыание равенство 1 3У(х, у, х) 31(и, з, 10) 3У(и, в, со) 3У(х, у, ») 1 -1 1 1 — 1 1 1 — 1 1 находим 1- 1-— б ~О НиНвАи=б/Ни~А« «~ Ни)= «+«+на» «ао, ано, нао 1 о , )" (1- )',и С, = б ~А~ / (1 — — )Нов о о о г 3 Я («(+( ~+(н(я» в соз;) НЯ, где — ча Я вЂ” сть конической поверхности, 195. 1 = Д(в~ сова+ у» говд+ в соз;), — " хностн, д, сов э — напразлзющ ие косинусы хэ + з = хз, 0 С я < 14, н сов и, сов, с заданной уравнением х +у = х, этой поверхности.

ой Осгроградско- впешией норьгааи н к кн та, то воспояьзоватьсв формул /я Поскольку позер иове хиость Я незамкнута, то восп ю пол чим, п нсоединив ко Рассмотрим замкнутую паве —,х)бй )х +у го (3) нельзя. Я е во точек круга Яз = х, у, а н иа окружноюльк верпшж конуса б псевдомно, ольк е елен. ' ти — йз — ц т и н опр 1'и м / к как О. и асслаатривать интеграл иа ми к как онн имеют меру .

и р мн можно пренебречь, так как 193 ~~~го, Грни а н Стокса $ б. Формулы Остр Р фе ы, заданной з »,1.НУ, где ' — в внешняя сторона с еры/ ' 193, ~~х Н,Н.+у ° » 3+⻠— а УРавнениеы х У к го (3), находим /я Используя форааулу Остроградского 1 = 3 ~~~(х' + у +» ) Нх Ну Н*, » .

1'са а. После перехода в интеграле к 1 +» С а ) — шар радиуса а. ос е )б«жлз(Х +„ сфернческ ф нческиы координатам получиы 13 л /Н = — яа.> /~/ /,/,= —, о о Гл. 2. Кратные н криволинейные нн е нтет алы 196 Яз = Оз '1("а О (О, О, О)). Имеем равенство 2 2 =д х ' - -'Ы5 — 0(х созе+у соа,О+ г соэ;) 1= /(хзсоэа+у соа41+ - соат) 5213 формулу Остроградского ого 3, а иа мио- Л, ага = аах йу. Поэтому получила К интегралу иа лаиожестве Бз ьаож р -ем п имеиить жестве 2 '4 3 инее Я '4 м созга = сов З9 = О, соз 3 = 1, г 1 = 2~~~(х+ у+ г) йх йуйг — Ь 2 а главу аз+42<аз т = г Я О ° + *а а.

а, а. — *а'. т л л (х+у+г)йх у г= ар сог +г 41гга 1а1аа.а, .аа*а,а. =)аа,)а,а, (а,а,+. ~а-:-.аа*= о о р т 2. Ь Ь2 р2 3 — а(са р(Л р)(сох 43 + пп 42) + — — — рад= — Л . о о — — Л4 хЬ4 — ДЬ4. > Окоичательио имеем 1 =— 196. Вычислить интеграл Гаусса / соз(т, и) 1(х. у, г) = ,з я поверхность, ограничивающая компакт Г С й', и— где ~р~~~~ заьзкпутая гладкая лове ПОВЕ ХПОСти О В ЕЕ ТОЧКЕ (С, Ла Ьа а 4' — Р +(~ )2 , и г = (С вЂ” х) +(Π— уа ( ) б) : а) позе хпость Я ие окружает точку х, у, М Рассзаотрааза два случая: а) поверхпост Я окружает точку (х, у, г). ого (3). Приняв во внимание равен- В случае а) можем применить ф р у о м лу троградск Ство СОЭ(Т, и) ж ~ а )а ПОЛ1ЧИМ ) (4 — * (х К г)— — -) = аз ! тз Я (а (4-*) а ( —,) „а (4-.)) т ) "=И~" тз т т г а ского р , итег ал 1(ха у, г) стаг а ского применять нельзя, так как и р отвеине Д~~ этого рассмотрим П том ' вычислим его пепосредств е полот Т с к аем,зз, лелсащий лсим, что (х, у, г) Е 2аз, где е г — внутренность компакта 3 .

иожес аииым кРаем О" 43 Яа, где Оа — Р- компактом с ориеитироваииым кра ио мали и т очку (х, у, г) и являетсл акта Та. в каждоа точке которой единичный вектор р ептироваииая граница компа гз'2 2 2ахз2<г<Ь) ° где = хау,г У вЂ” (( а,г)бП:х +у <Ь,г~ +у и к илиндрическпм координатам и и залаеиим получеииыи В тройном интеграле перейдем к пилив интеграл повториыла. Найдем 198 Гл. З. Кратные и криволинейные интегралы Применив формуву Стокса (9), получим уж ЗЦ буях+ у1яяй + 2 гхгу жЗЦ( з'и+ Гб+ Гт)йяж г 0 йВж ЗВ, 5 5 5 где  — плов[адь площадки Я.

И Применяя формулу Стокса (9), вычислить интегралы: 189. 1 = ~убх+хеу+х Их, где 2 — окружность, полученная в результате пересечения сферы Я = ((х, у, х) е Я~: х + уз + зз = аз) с плоскостью Яы заданной уравнением х + у+ х = О, пробегаемая против кода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны осн Ох. П Применим формулу Стокса. взяв в ней в качестве поверхности круг 52 радиуса а, лежащий в плоскости Я2.

Получим т=- Дг,».~»~ »ьь=- Д»..»». р~. ею, 52 52 где созе, созд, сову — направляющие косинусы нормали и к плоскости оы Так как вектор и и орт й оси Оз образуют острый угол, то в ка2кдой из формул для вычисления сова, со»,9, созз перед радикалом в знаменателе следует взять знак "+». Приняв во внн- 1 манне, что соз а = соя Д = соз т =, имеем чз ' 2' = — ~ГЗ ЧИЮ = — ъ~Зха, так как площадь круга Яз равна яа .

° 2 л()(). 2 = ((у — х) йх+ (х — х) йу+ (х — у) ях, где у — кривая. полученная в результате 7 пересечения поверхности Я цилиндра Т = ((х, У. 5) б Я~: х + у ~С аз, х б И) с плоскостью х з Яю заданной уравнением — + — = 1, а ) О, я ) О, пробегаемая протяв хода часовой стрелки, а а если смотреть с положительной стороны оси Ох. М По форыуле Стокса (9) имеем ю» -гЦю 9.99*» ьь=-юД[ + д+ )и», 52 52 где зз = Т й Яг — ь2иожество всех точек эллипса оз=)(х,у,я)ияс:х +у (~а, — + — =1), ' а я сова., сов Д. соху — направляющие косинусы нормали и к плоскости 52.

Множество точек Яз проектируется на круг Р = ((х, У) б м~: 52+у ( (а ). Поскольку нормаль к плоскости 52 образует острый угол с ортом й оси 05, то в кюкдой из формул х» Ф х 1 созе ж *ДГ»+7.' *»5Г»+».' »»5+».'+ У перед радикалом в знаменателе следует взять знак "+".. Перехода от поверхностного инте- грала к двоякому н принимая во внимание равенство ИЯ = 1+ я' + я„' ах ву, получим ~2 1 = 3 ~~ (я'(х, у)+ я„'(х, у) — 1) дх Иу. о у б. Формулы Остроградского, Грина и Сток такса 199 л = й — -х то х', = —, х = О.

Следовал Так как на множестве 8~ выполняется равенство х = — —,, з —,, з = тельно, — г // (1+ ) сгх лгу = -2 1+ -~ рта = -2рга( + ). а и 201. 1= (у +х)Нх+(х + ) у з з з злй + (хз + уз) 4г, где у — кривая, полученная е ы о = ((ярур ) Е Вз: х +У + = гях х > О) н в результате пересечения полусф Р е ол 'с е ы о наименьшая область остается слева. ограниченная ею на внешней стороне полусферы наимень а Ч Применив формулу Стокса, получим поверхностный интеграл 1=2 (у — х)буйх+(х — х)Охах+(х — у)йхйу= зр = 2 // ((у — х) соз о + (х — х) соз рб + (х — у) соз -р) а'Яр Яр Я, вы езанный из нее поверхностью Яр, сохо, созлг, созт — нагде Яз — кусок полусферы, выр Я в полнеиы равенства п авляющие косинусы вектора нормали и к Яз, а множестве з ы — — хз — з, г» = —, х' = — К. Так как вектор и н орт й оси Ог образуют острый ' ол, то в формулах для вычисления соз о, соз рар соз з перед рад угол, г' Ых й, получим взять знак "+ .

ринам "»".и р рр-»' р*.р 1 ж 2 //((у — х(х, у))(-х' (х, у)) + (х(х, у) — х)( — гз(х, у)) + (х — у)) йх йу = ,а( ° 1 /' 1'(у - '(* ))(™) + ('(* "' х) у +. у '1 Ь бр рх гя Ц (1 - — "~ бх йу, о где Р = ((х. у) Е м~: хз+ у ( 2гх). Поскольку /2з- 2 — р. -~р. п ,Гз з-лр то окончательно имеем 1 = 2Я Охи = гяйг . З» 2 В 202. — а р( + Ых, где т — заыкнугая кривая, заданная уравнениями 2. 1=~ у х ах+я * у х'у х = а сох з, у = асов 21, х = асов ЗГ» робегаемая в направлении возрастания параметра Г. Ч и нзм М = (х, х) пробегает часть кривой у ч П и изменении г от О до з подвижная точка М = (, у, 2 чкаМ ол жном направлении — от точки М~ до к ~~А ~~им~о а«ладываются, н зта кривая ю часть к ивой т в протпвоположн и т чкн Ме.

Таким образом, точки замкнутой крпвррй т взаимно накл пе ограничивает никакой поверхности. Слсдоаател ио, 200 Гл. 2. Кратныен криволинейные интегралы Упражнения для самостоятелъной работы Прнл~еняя формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы: 139. !=уху бу — х убх,где у=((х,у)ЕИг:хг+уг=а ). 140. 1 = у(х + у) йх — (х — у) Ау, где ", = ((х, у) Е Иг: -,т + улт = 1) . т 141. ? = у е ~» ег ~(соя 2ху ах+ зщ 2хуЫу), где т = ((х, у) Е Иг: ха + у = Аг).

7 142. Какому условию должна удовлетворять дифференцируеыая функция (х, у) Р(х, у), чтобы криволинейный интеграл Г(х, у)(убх+ хну) А»В не зависел от вида пути интегрирования? 143. Вычислить 1 = — у — ггт —, если Х = ах+ бу, У = ох+ бу и простой замкиутый аг-уах 2. г хгег контур ", окружает начало координат (аб — бс ф 0). 144. Вычислить интеграл 1 (см. предыдущую задачу), если Х = р(х, у). ?» = 9(х. у) и простой контур ", окружает начало координат, причем кривые, определяемые уравнениями с»(х, у) = О и 0(х, у) = О, имеют несколько простых точек пересечения внутри контура т. 145.

Вычнсл1щь площадь фигуры, ограниченной кривой т, заданной уравнением (х+ у)"+ + = ах"у, а > О. п > О, ил > О. 146. Доказатгч что объелг тела, образованного вращением вокруг осп Ох простого замкнутого контура;, расположенного в верхней полуплоскости у > О, равен К = —:г ~ уг бх. Применяя формулу Остроградского, преобразовать следующие поверхностные интегралы, если гладкая поверхность Я ограничивает конечный объем Н н соха, созб, соз;— направляющпе косинусы внешней норлгали и к поверхности Я: 14Т )')»хгЫуаг+ у 4»Ых+ гг бхбр 148 )) '" ~г'"»~'"' ао г г » +г +» 149.

Д' (ф соя о+ ф соз)? 4- фебу) ЫЯ. 5 150. Вычислить интеграл г' = ц х 4уйг+ уг Ыггбх+ г бх бу,где Я вЂ” внешняя с~арона г границы куба К = ((х. у, г) б Иг: 0 ( х ( а, О ( у ( а, О ~ (г ~ (а). 151. Найти объем тела Т. ограниченного поверхностью Я, аацапиой уравнениями г = асахи, у = и ил е, г = -а+ а сох е, а > О, а > О, н плоскостямн х = О, г = О. 152. Доказать формулу щ — 'ге»»с = -' ц соя(т, и) ао, где Я вЂ” край компакта К, и — внешняя единичнал норыаль к поверхности Я в точке (с, «, с). г = (б — х)г+(у — «)г+(ь — г)з и т ж (б — х, « — у, г' — г) — радиус-вектор, идущий от точки (х, у, г) к точке Я, «, 1). 153. Вычислить интеграл ) х~у йх+ бу+ гЫг, гце; = ((х, у, г) Е Иг; х + у ?л~, г = 0): а) непосредственно; б) используя формулу Стокса (в качестве поверхности В а "у»' ~1» "» " х-» — «').

г Р " исгти и иояожггтельном направаеннн. 1 6. Элементы векторного анализа 201 164. Применяя формулу Стокса, вычислить криволинейный интеграл у у Ыя+ я йу+ я 4я, 7 где -, — окружность, полученная в результате пересечения сферы Я = ((х, у, з) б Й х + уз+ яэ = а ) с плоскостью, заданной уравнением я+ у+я = О, пробегаемая против хода часовой стрелки. если смотреть с положительной стороны осн Оя. 166. Вычислить интеграл (яэ — уэ) йх+ (у — хэ) Ыу+ (г — ху) йэ, яюВ взятый по отрезку винтовой линии, заданной уравнениями х = асов р, у = амит, г = — т, от точки А = (а, О. О) до точки В = (а, О.

Й). Прил~екал формулу Стокса, вычислить интегралы: 166. 1 = у(у+ г) зя+ (э+ х)Ыу+ (я+ у) Иг, где ", — эллипс. заданный уравнениями я = аз1п Г. у = 2аз)п1созй г = асозэ Д 0 ( 1 ( т, пробегаемый в направлении возрастания параметра д г — уг(уэ — э) 1я Ф (яэ — яэ) 4у Ф (хэ — ут) Иэ, где ; — сечение поаертиостп куба К = ((х.