Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (Рихтмайер - Принципы современной математической физики), страница 96

17.Д. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ Область сходимости разложения ~я~~~)уах/уа функции 7=7(х, у) в степенной бз ряд определяется особенностями 7, рассматриваемой как аналитическая функция аг двух комплексных переменных. В задаче об отсоединенной ударной волне мало что известно об особенностях функций и, а, р и р, но совершенно ясно. что область сходимости слишком мала и не содержит вещественные точки (х, у) с достаточно большими положительными х, не достигая тем самым поверхности тела (т. е. линии тока ф=О). Чтобы преодолеть зто затруднение, Прилож. к ел. /7.

Зидичо об отсоединенной ударной аолне 488 Левис (!959) предложил три метода аналитического продолжения решения, один из них будет описан в этом параграфе. Пусть точка (хе, уе) принадлежит области сходимости рядов для функций и, о, р н р, причем ха ) О, и пусть х †хе †, а у= уа =Ч. Тогда уравнение я= 0(я=хе) определнет в области течения кривую ю', которая будет экви. днстантой для ударной волны. Функции получаются на 5' в некоторой окрестности точки (хэ, у,) с помощью описанных выше вычислений. Следовательно, можно рассмотреть новую задачу Коши, для которой и(хэ Уе+Ч) о(ха Уе+Ч) Р(хю Уе+Ч) Р(хо Уо+Ч) предполагаются известными функциями переменной Ч на 5' и дифференциальные уравнения в частных производных используются еще раз, как и выше, длЯ РазложениЯ и(ха+К, Уа+Ч) и т.

д. в РЯды по степенЯм 4 и Ч, напРимеР и(ха+3 Уе+Ч) =~~~~ й/»Ч/Ч». /. » Начальные данные для нового разложения, а именно коэффициенты ие» и т, д. выражаются через коэффициенты и» и т. д. предыдущего разложения. Чтобы найти эту зависимость, запишем, что и (хе Уа+Ч) =~ йа»Ч =~ ///»хо (Уа+Ч) . » 7» Здесь для простоты уа можно приравнять нулю (при этом новая точка, отнаситеньно которой делается разложение, будет находиться на том же расстоянии от оси тела, что н старая); тогда / иа»= р,и/»хе ! Аналогичные выражения получаются и для функций о, р и р, Пусть К, — наивысший показатель степени первого разложения, так что в это разложение включены асе те члены, для которых /'+»~К/ (зто К, мы ранее обозначали через К), н пусть Ке имеет такой же смысл для второго разложения.

Левис доказал, что если наложить определенное ограничение на выбор тачки (х„у,), то найдется такая постоянная з (О < з~1), что при стремлении К, и К, к бесконечности таким образом, что К, всегда равняется целой части от зК,, второе разложение сходится к решению задачи Коши в области схаднмости разложения этого решения а степенной ряд относительно точки (ха, уэ); следовательно, получается правильное аналитическое продолжение.

Это обстоячельство является существенныи, потому что используемые для второго разложения данные Коши получаются со все возрастающей точ. пастью, когда К, оэ. (В теореме предполагается, что все арифметические действия выполняются точно и поэтому не происходит потери значащих цифр.) Для многих задач, включая задачу об отсаединенной ударной волне, можно положить з = 1, так чта тогда К, =К,.

Всю эту процедуру можно повторить, чтобы таким образом достичь еще больших значений х. В рассматриваемой задаче достаточно двух разложений,. чтобы достичь поверхности тела, за исключением части течения вниз по потоку, где иногда приходилась использовать три разложения. На рис, !7.8 изображены ударная волна, тело и звуковая линия для одного из расчетов Левиса, проводившегося с двойной точностью (с 54 двоичными знаками) прн помощи ненормализованной арифметики Метрополиса. Ударная волна выбрана в виде гиперболоида вращения с таким углом между аснмптотами гиперболы, который в точности равен углу прн вершине звуковога конуса на бесконечности; число Маха М = 12, постоянная для идеального газа у= 1.4, степени разложений К, =Кз = 19. На основании тех трех возможностей проверить численные результаты, о которых упоминалось в начале Гж 17.

Нелинейныэ эадачан гидродиналака Е !7.А, можно сделать вывод о том, что для изображенной на рис, (78 области точность определения контура тела составляет примерно 8 десятичных знаков, компонент скорости и и о †пример 6 знаков. а давления р и плотности р †пример 7 знаков. 0.8 0 0.2 Рис. !7.8. Эскиз контура тела, рассчитанный Левисом. 1 — ударная волна; 2 — звуковая линия; 3 — тело. Таким образом, метод степенных рядов может оказаться эффективным для решения аналитической задачи Коши, если при этом используются (!) алгебраические преобразования степенных рядов на ЭВМ, (2) арифметика с подсчетом значащих цифр и (3) аналитическое продолжение по методу Левиса, СПИСОК ЛИТЕРАТУРЬ( г) Абрамовиц, Стигаи (АЬгашомПх М., 8(еяип 1.

А.) [1964]. Напдйоой о! гпа1Ьегпа(!са! (ипс11опз.— Фаей!пй!опс ]с]а(. Вигеаи о! 8!апб., Арр(. МаПи 8ег!ез. [Имеется перевод: Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган.— Мл Наука, 1979.] Арнольд В. И. [!971]. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— Мл Наука; 2-е изд.— Мл Наука, !975. Ахиезер Н. И., Глазман И. М.

[1950]. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.— Мл Гостехиздат; 2-е изд.— Мл Физматгиз, 1966. Ашенхерст, Метрополис (Азйепйигж ((. 1, Месгоро1!з ]с). С.). [1959). Оппогша! Таей !!оа()пй ро!п1 апПппе1(с.— й Азчос. Сошри1. Маей., ч. 6, р. 415 — 428. Баернстейн (ВаегпЛе!п А.) [1971]. )(ергезеп1а1!оп о1 Ьо)опюгрй!с (ипс(1опз Ьу Ьоипбагу сп1едгаВ.— Тгапз. Ашег.

Ма1Ь. 8ос., ч. 160, р. 27 — 37. Банах (Вапасй 8.) [!955]. ТЬеопе без орега11опз !шеа1гез.— Хем уогй, СЬе!- сеа РиЬЬ Со. Барут (Ваги! А. О.) [!967]. ТЬе Гпеогу о! 1Ье зсаПег!пй ша1пх.— Ьопбоп; Ма спи( Пап. Беккер (Вес1сег (с.) [1922). 8!оззчсеПе ипб Ве1опаНоп.— 2. РЬуя1с, В. 8, 8. 321. Берс Л. (Вегз 1..) (1958]. Ма!Ьеша11са! азресИ о1 аиЬзопк апб (гапзойс йаз бупаппсз.— )с)есч Уог1сс лойп ссГПеу апд 8опз.

[Имеется перевод: Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики.— Мл ИЛ, 1961.] Бете Г., Солпитер Е. (Ве!Ье Н. А„За!ре1ег Е. Е.) [!957]. Яиап1иш шесйаи!сз о1 опе- апб 1чю-е!ее!гоп а(ошз.— 8рг!пйег. [Имеется перевод: Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами.— Мл Физматгиз, 1960.] Бнркгоф (В!гйЬоЛ О.) [1962]. Не!шйоПз апб Тау!ог !пКаЬс! Пу.— !п: Рсос. о! Зугпройа )п Арр). МаПт., Аспег. Ма1Ь. 8ос,, ж 92, р.

13 П. Биркгоф, Рота (В!гйЬоП О., йо!а О.) [!962]. ОпНпагу йПегеп1(а) есрш1!опз.— 'ссса!!Ьвш (Маза,): Осип апб Со, Блнкин, Тауб (В!еа1спеу ссс., ТаиЬ А. Н.) [1949]. 1п1егасПоп о! зЬос1с счачез.— Кеч. Мой РЬуз., ч. 21, р. 584 — 605. *Борисов Ал. А., Борисов А. А., Кутателидзе С. С., Накоряков В. Е. [!980]. Эволюция волн разрежения вблизи термодинамической критической точки.— Письма в ЖЭТФ, т.

31, вып. !1, 619 — 622. Вазов В. (Фазочс Сйг.) [1976]. Азуспр1о1к ехрапйопз (ог огб!вагу йПегеп1!а! ес(иа1!опз.— Нипс!пй(оп (Х. у ): Кг!ейег РиЬ. Со. [Имеется перевод нзд. !965 гл Асимптотические разложения решений дифференциальных уравнений.— Мл Мир, !968,] Вайдиан (%е(бшапп й) [1971]. ОзхИ1а1!опмпе1Ьобеп (йг Зуз1еше йесчбйпПсйег ОП!егеп1(а)81е!сйипйеп.— Ма(Ь.

2., В, 1!9, 8. 349 — 373. Вейнбергер ( сЧе!пйегйег Н. Р.) [1965]. А (!гз( соигзе сп рагКа1 йПегеп1(а! ес)иа1!опз.— ]с)ечс Уогй: В1а!збеП РиЬ. Со. Вернер (!Чегпег Р.) [1969]. Вешегйипйеп зиг ТЬеопе бег йр Ейшпе.— й Гбг йе ге!пе ипб апйесч. Ма1Ь., В. 2397240, 8. 40! — 434. ') Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе. В ссылках в тексте номера страниц приводятся по изданию, год выхода которого указан после фамилии автора.— Прим, перев. Список литературы Винер (Уч'!епег Х.) [1930[. ОепегаИхед Ьаппопй апа1уяз.— Ас1а Май,, ч, 55, р. !17 †2. Гантмахер Ф.

Р. [1953). Теория матриц. — Мп Гостехиздат; 2-е изд. — Мп Наука, !966. Гарабедян (ОагаЬегИап Р. Я.) [1964). РвгНа! дИ!егеп(!а! ейиаНопя.— Хегч Уогй: дойп улг(!еу зпд Золя. Гельфанд и, м., шилов Г. е. [1959). Обобщенные функции. Вып. 1. Обобщенные функции и действия над ними.— 2-е изд.— Мл Фнзматгиз. — — [1958].

Обобщенные функции. Вып. 2. Пространства основных и обобщенных функций.— Мл Гостехиздат. — — [1958). Обобщенные функции. Вып. 3. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений.— Мх Гостехиздат. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. [1961]. Обобщенные функции. Вып. 4. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. — Мл Физматгнз. Гельфанд И. М„ Граев М. И., Виленкин Н.

Я. [1962). Обобщенные функции. Вып. 5. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы представлений.— Мл Физматгиз. Грей, Гаррисон (Огау Н. С., НаггЬоп С.) [1959). Хоггпа(1хед Иоа1(пб-ро!п1 апИипеНс мИЬ ап (пдех о1 Мбп(Исапсе,— !п: Ргос. Еаягегп до!п! Сошригег Соп1егепсе.

Гросс (Отозз 1..) [1966). ТЬе Саисйу ргоЫеш 1ог йе соир!ед Махие!1 апд О(гас ейиа1(опя.— Согпгп. Риге Арр!. Ма1Ь., ч. !9, р. ! — 15. Густафсон, Джонсон (Сшя1аВоп К., дойпяоп О.) [1974]. Оп йе аЬяо!и1е1ч соп(!пипия зиЬярасе о! а яеИ-ад]о[п! арета(ог.— Не1ч. РЬугдса Ас1а, ч. 47, р. !63 — 166. Густафсон, Рейто (Оия!а!яоп К, )(е]1о Р. А.) [!973). Зогпе езяепг!а1(у леИ- ад)о(п( Ь(гас орега1огз м(!Ь ярйепса!(у яупипе(Нс ро1епНа(я.— 1ягае( доит.

Май., ч. !4, р. 63 — 75. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. (Оип!огд Х., Зсйлчаг1х Л. Т.) [1958]. 1.!пеаг орега(огя. Раг1 1: Оепега! йеогу.— Хелч Уогй: 1п(егяс!епсе, (Имеется перевод: Линейные операторы. Ч. 1. Общая теория.— Мл ИЛ, 1962.) — — [1963]. (.!пеаг орега1огя. Раг( Н. "Зрес!а! ТЬеогу.— Хелч Уогй: !п1егяс!епсе.

[ Имеется перевод: Линейные операторы. Ч. 2. Спектральная теория.— Мх Мир, !966.) Дафф (ОиИ )!. Е ) [1962). ЗИр !!пе шщаЫ1Иу.— (п: Ргос. о1 Зушроыз (п Арр(. Ма1Ь., Аптег. Май. Зос., ч. !3, р. 77И. Джон (дойп Р.) [1971]. РагИа! дИ!егеп!!а( ейиа(йпз.— Зрг!пбег. Джонсон (уоппяоп О.) (1968[. Наппоп!с !ипс(!опя оп 1Ье ипИ д(яс, 1, П.— Ш. 1. Ма1Ь., ч. 12, р. 366 — 396. Дим, Маккин (Оугп Н., МсКеап Н. Р.) [1972).