Двайт - Таблицы интегралов и другие математические формулы, страница 10

л где у = — — х. 2 ]См, 436.00.] !См. 436.5.] (См. 436.7.] 460.1. и где у = — — х. 2 460.2. 461, 480.1. 480.2. 480.3. 480.4. 480.9. 481.1. ! 5)п х сов х = — 51п 2х. 2 481.2. 470.1. 482.1. 470.2. ) 22 * — *( ,) !+Созх~в!Нх 222 ~ А- Б 2 ~ ' ]15 +5 =-)п!1а— Ьсовх+св!Нх г ! 2 где г=$~ Ь'+с*, в!пО =Ь('г, сов О=с,'г. ]См.

401.2 и 432.10.] 2!х (' 2((х+ Б) а+Ьс05 х+а 5!и х,) а+15!и (х +5) ° где г и О даны в 456.1. Лх 1 уЬ = — агс1а ~ — 1а х ах 1 1 )Ь)яг+а) авса525 — Ь'5!и'х 2аЬ !Ь)КХ вЂ” а)' 5!и" хсов'х(ГХ. Если одно из чисел гл или и нечетное целое положительное, то следует сделать подстановку 5!и х~ 1 — с05 х и 5!п х(тх= (т сов х нли сов х=! 51п х и совх((х=(та!Пх.

Если оба числа Гл и и четные целые положительные, то следует сделать подстановки 5(п'х — (1 — сов 2Х), сов х =-(1+ сов 2х) ! 2 Получив аналогичные выражения, но с аргументом 2х вместо х, преобразовать их далее подобным же образом.

См. также 450.9. сов (л( — л) х сав (Гл+ л) х з!пглхс05их((х — — 2( ) 2( + ]ГЛ1 чь и']. ~При л('= и' см. 450.11,] - — '( ( ю *1МТ~ ( (. ! + Л(* 51Н1 5 сов х ах — аГЕБГП (га Б!и х), ! — ГЛ1 в!и' к 221 2 1( (У(2- тйъ — 1 (-(- ' Ь'*2- — ( ( 2 *.(. 2 2гл 4212. 1( *((Т вЂ” ' ( *2 5!ПЛ Г 2 . 1 ! — 1 — Гл 5(п х+ — ЕГсв!и (гл 5!Нх) 2 2(л 475.1.

'] 7 (х, в!п х) (Гх = — ~ у ( — — у, сову) 5!у2 475.2. ~У(х, совх)а(х= — ~У( — — у, 51пу)а(у, Интегралы, содержащие 1дх ] 16х((х — 1п) созх]=1П)весх(, (СИ. 452.11 и 603.4] ] 16'хс(Х=15х — х. ~СИ. 452.22.] (6 хс(х= — ф х+1п] совх(. [См. 452,33.] 132 хв)х= ! 1Й1Х вЂ” 1йх+х. =3 12" 'х 1д" х((х= — — ] 12" 'х()х ]и чь 1; см.

452.8], Х16Х(ГХ= — + — + — х + — х + х' х' 2 1 17 1 3 15 103 2333 2 „2(2"' — 1 !!.2335 ' ' ' (2л + Ц! И' . х ( 4, см 41503 н 45] !ахах 51 2 1 17 1 — + — + — х'+ — х'+ х 9 75 2293 62 1 2'л (25*- !) В„25 +9.2333 + '''+ (Ел — Ц(2 )! + ° * н* х* < —; см. 415.03 и 45~, 4 ' Лх х ! = ~- — + — !и ] в!их (- совх]. )См. 456.05 и 455,06.] 102 тРигонометРнческнт еункцни [См.

463.11 и 503.1.] [См. 4Б3.22.] 490.3. [См. 453.33.] 490.4. 491.1. 502. 503. 492.1. 604. 492.2. 505.1. 493. [х>1]. [х к — !], 482.2, л! = ] — = — =Р— !п(з(их+ сов х[. Г 1йхдх Г ах х ! .) !их),] 1~с!йх= 2 2 [См. 466.03, 465.04 и 492.1.] 483. нх Г соя х ах а+Ь !йх,)а сов х+Ьз!н х 1 ° = —,(ах+Ь!п(а созх+Ьв!их(). Интегралы, содержащие с(ЗХ ~ с(8 х дх = 1п ( з!п х !. с(8* х г!х — с(8 х- х.

с(8 хг)х — — с!8 х — 1п!в!пх[. $ 1 2 с(З'х гух = — — с(З' х+ с)8 х+х. 3 сгйь" г х с(Захе= — — ] с(8""гх!!х [и чь 1; см. 4Б3.8]. х' х' 2х' х с!и х г!х = х — — — — —— 9 225 бб!5 х' ' 2'"В„ с!Ехал 1 х хг 2х' х х 3 135 4725 7 4725 ' ' ' (2л — 1) (2л)! х —... [См. 415.04 и 4Б.] -~ — ° г(х Г !йхах 1~ сгйх ] !йх ~1' [См. 482.2.1 ггх 1 з!и х г(х а+Ь с!йх 3а мп х+Ь сов х —, (ах — Ь 1п ! а з!п х-)- Ь соз х ! ).

1 ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКНИИ Приведенные ниже формулы относятся к главным значениям обратныхтригонометрическнхфункцнй: для агсмнх н згс(дх анре- и и делах от — — до —, лля агссозх н згсс!Зх от 0 до гг. Инте- 2 2 ' грнруя зтн функции, следует выбирать пределы таким образом, чтобы между ними не было точек разрыва. Полезно предварительно построить график подынтегральной функции. так как он может состоять нз несколькнз ветвей. хг ! Зх' ! З.яхт + 3+ 45+2457 [х* < !]. ( ! Получается разложением в ряд и последугощим У 1 — х' ин гегрировзнием его.) и / х' 1 Зх' ! 3.5х' згссозх= — (х+ — + — + + ...) [х (1]. 2 ~ 23 245 24б7 1 1 ! 3 1.3 5 агссзсх= — + —,+ —,+,+ ... [х' 1].

и /! ! 13 135 агсзес х = — !ь — + — + — + + ) 2 (,х 2.3х' 2 4 бх' 24 57х' [х'>!1. „г г хг агс(Зх=х — — + — — — +... 3 5 7 [х' -1]. ( 1 Получаетси разложением в ряд — и последую:цим 1-1-х' интегрированием его.) 506.2. агс!8 х = — — + —. — — + —— и 1 1 1 1 2 х Зх' 5х' 7х' БОБ.З. агс(8 х = — — — — -(- — — -(— и 1 1 1 1 2 х Зх' бх' 7х' 105 5!2.3] '104 ПРОНЗВОДНЫВ Иначе: 605.4. 607.22а. 607.226. [хк < 1]. 606.1. [х> 1]. 608.2. 607.30.

!х < — 1]. 606.3. Иначе: 607.10 607.31. [См. 604.] 607.32. 507.11 507. 12 508. 607.13а 607.13б а х ! — агсз(п— ак а 1/ ав — хз 6!2.1. л х — ! — агссоз — = ак а рав — кв Б12.2. л х а — агсг6 — =— ах а а'+ хх Б07.20 Б07.21 Б12.3. а х — а — агссг3 — =— ах а а'+х' 612.4. О < агсзес — <: — ] .

х л1 а а' х а — агсзес — = х у к' — а' Б12.6. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ и х' к' к' атос[3 х = — — х+ —, — — + —— 2 3 5 7 1 1 ! ! агав!3 х = — — — + — — — + х Зх' бх' 7к' ! ! 1 ! агссгц х = л+ — — —, + — — — + ° ° . х Зх' 5х' 7х' Агсз! и (х (- !у) = ал + ( — 1)" а!сей п — ~ ух у+4 ~ !( — !)" Агс(г — .

2 Значения р и а см. 607.11 и 507.12. Величина [=$ — 1, а и — целое число или О. Вели- чина х может быть положительна нли отрицательна, а у — положительна. Здесь обозначено р=]~(1+х)'+у*. Здесь обозначено 0=]г(1 — х)'+у' Заметим, что прн у=ОН х) 1, о=х — 1 н р+0=2х. Прн у=О и х < 1 а=! — х и р+0=2. Иначе: Агсз!пА= — [!п()- ]г1 — А'+гА)+2лл или Агсезп А = ! 1п (~ ]г 1 — А' — гА) + 2йл, где А может быть комплексной величиной, а й — целое число нля О.

О квадратном корне на комплексной величины см. 33, а о логарифме см. 004. Выражения 507.!За н 307.!Зб тождественны. Из ннх следует выбрать то, в котором не происходит потери точности прн вычитании. Агссоз (х + !у) = (- (агс соя — + 2йл — г Асс(т — ~ . 2х у+ 41 Р+4 2 Агссоз(х — гу) = (- (агссоз — +2йл+ !Асс[! 2х Р+ 41 Р+4 2 где у положительно.

Здесь берется положительное зна- чение Агс)г —. Значения р и д см. 607.11 и 607.12. Р+4 2 АгссозА ~!)п(А+$'Ав — 1)+2йл илн АгссозА ~ (1п(А — ] А' — 1)+2йл, где А может быть комплексной величиной. См. примечание к 607.13. Агсг3(х+ гу) = — ~(20 -(- !) л — асс!3 — — агс!3 — ] + ! !+у ! — у! 2 к х (! + у!'+х' 4 (! — у!'+х' ' А!с[3 (х+ (у) = —, агсгЯ,, + Йл+ — !п 2х где й — целое число или нудгз ага!И,, берется х2 ув в квадранте, определяемом знакамн числителя и знаменатели (а не в смысле главнсго значения).

Агсгб(х+!у)= — 1п . + 2йл. !+у — гк 2 ! — у+гх Для малых значений агссозх, агссозх= ]2(1 — х)-(- —,(1 — х)*+ 3 ч ч + — (1 — х)' -(- — (1 — х)' +... ] ' . 45 35 Последним членом можно практически пренебречь. Чнслен. ное аначенне квадратного корня мсжно брать на подробных таблиц квадратных корней (см., например, [!3)).

Обратные тригонометрические фуанции †Производн (Р а 106 (5!2.6 522.9) ИНТЕГРАЛЫ 107 а 2 — й — агсвес— ах ' а х у"хз ° — ( агсвес — ( п~ 2 а — — < агссвс — < О] 2 а [ х п1 0 агссвс — „-, — 1 й 23' И 2.6. 618.2. аг х а — агссвс — = х У~ — а' 612.7. 618.3. 2! Х й — агссвс— й 2 уха — аа га> О всавду, крОмЕ 5!2.3 512.8. 518.4. в 5!2.4.) И8.9.

Б15. 616. Б20. 517.1. 517.2. 517.3. 522.2. х'агсв!ив 522,3. 617,4. х' аГсв!и— а 522.4. Б17.6. Б22,5. 517.6. 617.9. Б22.6. 618.1. Б22.9. овввтные тригонометрические етнкцни Обратные тригонометрические функции — Интегралы (а) О) агсв!и — г(х = х агсв!и — + )/а* — х'. й а Х (агсв!и — ) г)х = х(агсв!п — ! — 2х+2)/а' — х' агсв!п — . а) й/' а ') хагсеип — агх ( — — —,) агсв!и — + 4 )/ а* — х'. '1 2 а х х' х ! х агсв!п — д(х —, агсв!п — + — (х*+ 2а') )/а' — х*, 3 а У ( а .

х / Х' Заа'а . х х агсв!и — г(х. ( — — — ) агссбп — + (,4 32) + — (2х' + Зха*) )/а' — х'. агх = — агсв! п — + х' Х 5 а +„— (Зх'+ 4х'а'+ 8а') г/ а' — х'. / х' 5йа| .2 г)х ( — — — ) агсв!и — + 6 96) а +,!3 (8х' + 10х'а'+ 15ха') Р/а* — х'. х агсв!п — агх — агсв!п — + — (5х' + бх'а'+ а х Х' х ! а 7 а 245 + 8х'а'+ 1ба') ]/ а' — х*, л+а Х ! Г а+а! х агсв!п — агх — акв!п — — — ] — (п.Я вЂ” !]. а Л+! й Л+1,] У~ „а 2 ]См. 321 — 827.] — агсв(п — агх = — + — — +,—., — + ! 3 а а 233 й' 2455 а' 135 х* )24677 йа +'''а —, агсв!п — агх = — — агсв!п — — — 1п ! й+ " й 1 х ! в ! Х а х а й ! .

х ! . х 1/а' — х' —, агсв!п — ггх — — аксБП вЂ”вЂ” Х й 2х' а 2а'х ! х ! . х г/аг:хт —, агсв!и — ггх = — —, агсс4п — — ' х' а Зх' а 6й'х' ! ! ~ а+ )/аа — ха~ ! . х ! х хл — „агссбп — г)х — агсв!п — + а (л — !)х" ' а )и~1] ]Сил 341 — 346.] аксов — г!х = х агссов — ]/а' — х'. й й -) х! ~а хт 2 Х (агссов — ) ггх х (агссов — ) — 2х — 2 у а* — х* агссов — .

х агссов-ггх ( — — ) аксов — 4 ) а' — х*. — — ° х х' х ! х агссов — г(х = — ак сов — — (х' -(-2а') )/ а' — х*. 3 а 9 х агссов — г)х = х а х ! — — —,22*'2-2 '2УР— а', а 32 х' агссов — ггх = а х' х ! — агссов — — — (Зх'+ 4х'а*+ 8а') )/а* — х*, а а х /ха 5йат х х атосов — г(х= ( — — — ) агссов —— (,6 96) — (8х'+ 10х'а'+ 15ха') ]/а' —.~'. х х' Х х' агссов — агх — аксов —— а 7 а —,— (5х'+ бх'а'+ 8х'а'+ 1ба') у' а* —.х', л х х" +' т ! .2' х" +'Их х атосов — г(х= — атосов — -)- — ]— а л+1 а л+1,] 1/йа ха ~пуп — 1]. !См. 321 — 327,] 108 !823.! 328.9) ИНТЕГРАЛЫ 109 623.1. 526.1. 523.2.