Ллойд Дж. Системы тепловидения (1978), страница 12

и Сельвином [6[ в 1948 г. Общие вопросы фурье-оптики рассмотрены в книгах Гудмена [1), ОгНейла [2[, Франсона [7) и Линфута [8[. Основные проблемы оптики рассматриваются в работах [9 — 17[; в качестве руководства ГЛАВА 3 86 по ОПФ оптических и оптико-электронных систем можно рекомендовать ряд отличных работ (20 — 33].

Фурье-анализ в оптике, за немногими исключениями, аналогичен анализу Лапласа в теории электрических цепей. Как указал О'Нейл (2], временнйе фильтры имеют два существенных отличия от пространственных. Во-первых, временнйе фильтры являются односторонними во времени и должны удовлетворять требованию физической осуществимости, т.

е. изменения на выходе временного фильтра не могут проявиться раньше, чем они возникли на входе. Оптические же фильтры являются двусторонними в пространстве. Как показано во многих книгах по математике и теории электрической фильтрации, вследствие этой разницы становится целесообразным использовать при анализе временных фильтров одностороннее преобразование Лапласа, а не преобразование Фурье. Во-вторых, электрические сигналы могут быть положительными и отрицательными, в то время как интенсивность оптического сигнала всегда положительна.

3.5. Применение операции свертки к процессам воспроизведения изображения Поскольку теория линейной фильтрации является широко используемым средством анализа изображения, часто имеет смысл аппроксимировать процессы, не подчиняющиеся закономерностям свертки (несвертываемые процессы) процессами, подчиняющимися закономерностям свертки (свертываемые процессы), так чтобы отклонения от истинного поведения были незначительными. Например, процесс получения изображения, характеризующийся умеренной пространственной неинвариантностью, может быть аппроксимирован свертываемым процессом по малым участкам поверхности объекта, называемым изопланатическими зонами.

Изображение, образованное выборками свертки, большей частью будет достаточно хорошо отфильтровано, что делает процесс выборки близким к свертываемому. Аналогично влиянием небольших шумов и нелинейности обычно можно пренебречь. Один из наиболее важных свертываемых процессов при получении теплового изображения — разложение изображения путем сканирования приемником излучения. Рассмотрим фиг.

3.11, где квадратный приемник с размерами а Х а сканирует плоскость изображения (х, у), причем середина линии сканирования соответствует у = у'. Вели приемник имеет равномерную по поверхности чувствительность и мгновенно интегрирует все падающее излучение, обеспечивая получение единого электрического сигнала, то при сканировании сигнал в точке х, у' определяется величиной 1 (х', у') и зависит от распределения энергии в плоскости изобра- ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОЙ ФНЛЪТРАЦИИ вт Поле зрения Проеяиия яриегннина () ярос~проели)до обзенл)оо Линия спанирояония Фиг. 3.11. Сканирующий приемник излучения, жения 0 (х, у) следующим образом: ямв(а)2) и'-)-(а)2) 1 (х', у') = ~ ~ 0 (х, у) с)х с(у. и -(а/2) я' — ЙП2) (3.23) Определим теперь импульсную реакцию приемника г (х) как г,(х) = 1 при — — ( х ( —, (3.24) г(х) =О для всех остальных х. При сканировании х принимает непрерывный ряд значений х, а у все время остается равным у'.

Соответственно можно перепи- сать уравнение (3.23) в виде у'+(а)2) 1(х', у')=- ~ ~ ~ 0(х, у)г(х' — х)((х]с(у. (3.25) И'-(а/2) -оэ Интеграл в скобках представляет собой свертку; таким образом, процесс является свертываемым в направлении сканирования. Интеграл по у указывает на пространственную неинвариантность, так что в направлении, перпендикулярном сканированию, процесс является несвертываемым. Хорошо знакомый пример такого типа сканирования для получения изображения — телевизионное вещание. Можно привести множество других примеров несвертываемых процессов получения изображения. Строго говоря, к ним,следует отнести и зрение, поскольку используется конечное число приемников и разрешение падает от центра к краю поля зрения.

Полутоновая газетная фотография — также несвертываемый процесс, поскольку в каждой точке он по интенсивности бинарный. Следовательно, это процесс одновременно нелинейный и не обладающий пространственной инвариантностью. Обычная фотография является нелинейным процессом, кроме того при проявлении наблюдаются эффекты соседства, что приводит к нарушению пространственной инвариантности. Однако такие ГЛАВА 3 процессы могут рассматриваться н как свертываемые, если выбран соответствующий масштаб или анализируются только ограниченные площади.

3.6. Сокращенная система обозначений в фурье-анализе Прежде чем обратиться к рассмотрению конкретных импульсных реакций и их преобразований полезно остановиться на системе обозначений в фурье-анализе. Во многих задачах для описания процессов формирования изображения в области частот используются ряды и интегралы Фурье, записанные в явной форме. К сожалению, такие соотношения часто трудно наглядно представить, с ними трудно манипулировать в сложных задачах, когда приходится свертывать или перемножать множество функций. Дело значительно упрощается, если использовать сокращенную систему обозначений, введенную Брейсуэллом (3! и Гудмэном (1!.

Эта система содержит два элемента — математические операторы и пары преобразований основных функций. В предыдущих разделах было показано, что оператор двумерного преобразования ') Фурье определяется формулой Ю г (д(х, у)) = ~ ~ д(х, у) ехр ! — 2яг(ху", + у!в)! Ыхс)у=я(7'„, 1„). (3.26) Свертка двух функций 7' (х, у) и д (х, у) обозначается у д, где )(х, у) д(х, у)= ~ ~ ~(х — ~, у — ц)д(~, т!)с$г(ц (3.27) е Свертки применяются также к частотным функциям и обладают свойствами ассоциативности, коммутативности и дистрнбутивности. Скалярное произведение обозначается знаком °, например 1 ь'. Операции свертки и умножения представляют собой пары преобразований; таким образом, 7г 0.И = Р И ° Р' (у) (3.28) Основные функции, применяемые в тепловидении, представлены на фиг.

3.12 в мнемоническом виде; даны их определения, графическое представление и преобразования Фурье. Для сохранения простоты обозначений фильтруюшее свойство ') Всякий раз, когда процесс получения изображения подвергается временнои фильтрации, будем рассматривать только стационарные картины и, не оговаривая особо, производить преобразование координат в область пространственных частот, так что необходимо только двумерное преобразование. Ъ, н Ю Ш ОЭ -1~~ л й~н сз" Н ! Ф4 ЬН с3 И и!~ .5 <а ф с с~ сь О 9 ~з ъР 5 ОЪ с~ с Р !ч л ЪЯ а ъфю й1ю М ч л ~1. «! .

Сь И Ц М~о, и Ц .Ь ~с с~~ .СЬ Е с.Ъ Ф и Р3 Ф' Ю Ю о ~О о 2 Ф Ф й, Х о о ОЪ С» И!Ю м~ь 4 Е Ю Ю Ъ Ф $. о Я ь 3 3~ ~в чР о .й ~2 Ф~ ь ~Ъ 6 ~Ма 3~ ~ ~ и ~(а Р й В ~сч М сГ И ц ГЛАВА В Фиг. 333. Линейка чувствительных элементов нриемника излучения. дельта-функции Дирака /(а) = ~ /(х) 6(х — а) Ых Ю (3.29) представлено в виде (3.30) у (а) = 6 (а) / (х). Выполняя последовательные преобразования, получаем Р (([Весь(х/а) Весь(у/р)]«[СошЬ(у/у) 6 (х)Ц Вес1(у/В))= =- Р([Весь (х/сс) Весь (у/р)]«[СошЬ (у/у) 6 (х)])«/с (Вест (у/В)) =- = [г" (Весь (х/а) Весе (у/р)).

Р(СошЬ (у/у).6 (х))]«х' (Весь (у/В)). Чтобы понять на простом примере, как используются обозначения, рассмотрим традиционную линейку чувствительных элементов приемника излучения, показанную на фиг. З.тЗ. Отдельные элементы приемника описываются выражением Весь (х/а).Весь (у/р), бесконечно длинная линейка описывается выражением [Вес1 (х/а) Весй (у/р)] «[СошЬ (у/у) 6[(х)], а линейка конечной длины ограничивается выражением Весь (у/В). Таким образом, линейка, изображенная на фиг. 3 [3, полностью описывается выражением ([Весь (х/а).Вес[ (у/р)] [СошЬ (у/т).6 (х)]) Вес1 (у/В).

ткогия лннкйной аильтгьцнн 93 При использовании приведенных выше пар преобразований полученное выражение сводится к виду (3)пс (а/„) 3)пс (р/2) СошЬ (772) ) 2 Б)пс (В/„). Данный пример показывает порядок обычно проводимых манипу- ляций. 3.7. Оптические передаточные функции типичных элементов Полезными аппроксимациями функций рассеяния, присущих обычным элементам систем изображения, являются следующие три функции.

Это, во-первых, двумерная прямоугольная функция [Кес1 (х/а) ° Кес1 (у/Р)), профиль которой по оси х показан на фиг. 3.14. В первом приближении можно полагать, что такую пространственную импульсную реакцию имеют чувствительные элементы прямоугольной формы. В действительности чувствительность приемника излучения может описываться далеко не прямоугольной функцией, однако точно контролировать форму функции при изготовлении приемника обычно не представляется возможным и большей частью принимают указанное первое приближение. Если сканирование производится только в направлении х, то ОПФ приемника излучения есть преобразование Кеес (х/а) Табллза 3.1 Значеввя а!и (па/ )/паУ' и [На (паУ)/пад)2 аю (пи/) )2 [ па/ а си (пи1) пи/ [ 2!и (пи/) 12 пи/ 22п (пи/) пи1 и/ 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 О,З 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 0,996 0,984 0,963 0,935 0,900 0,858 0,810 0,757 0,699 0,637 0,572 0,505 0,436 0,368 0,300 0,234 0,170 0,109 0,052 1 0,992 0,968 0,928 0,875 0,810 0,737 0,657 0,573 0,488 0,405 0,327 0,255 0,190 0,135 0,090 0,055 0,029 0,012 0,003 1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 1,3 1,35 1,4 1,45 1,5 1,55 1,6 1,65 1,7 1,75 1,8 1,9 1,95 2,0 0 — 0,047 — 0,089 — О, 126 — О, 156 — 0,180 — О, 198 — 0,210 — 0,216 — 0,217 — 0,212 — 0,202 — О, 189 — 0,172 — 0,151 — 0,129 — 0,078 — О, 052 — 0,025 0 0 О, 002 О, 008 0,016 0,024 0,032 0,039 0,044 0,047 0,047 0,045 0,041 0,036 0,030 0,023 0,017 0,006 О,ООЗ 0,001 О' ГЛАВА 3 94 Фиг, 3.14.

Профиль прострапствениой импульсной реакции прямоугольного приемника иалучепия. — а/Я и является действительной функцией вида гл = з1п (лес/х)2яи(х =- З(пс (сс/„). (3.31) Значения этой функции и ее квадрата приведены в табл. 3.1 и представлены графически на фнг. 3.15. Прямоугольная функция может также описывать прямоугольные элементы индикаторных устройств, например светодиоды или ячейки газоразрядных индикаторных панелей. Вторая употребительная функция рассеяния — двумерное гауссово распределение; в простейшем случае это гауссоида с круговой симметрией, сечение которой по осн х показано на фнг. 3.16. Функция рассеяния имеет следующий вид: 1 г хз+уаг г (х, у) = —, ехр ( — —, (3.32) О,в о,в 0,6 0,4 % 0,4 0,2 о,г о -в -г -! о 1 г з /а -0,22 Фиг.