Ллойд Дж. Системы тепловидения (1978), страница 10

А., Аегозо! Ехмпсг!оп Сопгг!Ьп«!оп го А«тповрйег!с АЬяогриоп !п !и!гатей «(гаче!еп8«Ьв, А рр!. Орг., 11, 2304-2310 (1972). 16. Ной8ев 7. А., Хегох Е!ее!го-Орг!са! Яувгешв, Равайепа, СаЬИогп!а (частное сообщение). 17. Мовег Р. А., Кача! А!г Вече!орщеп! Сепгег, Кгагш!пв!ег, Реппву1чап!а (частное сообщение). 18. Яе1Ьу 7. Е. А., МсС!агсЬеу В.

М., АгшозрЬеПс Тгапвпимапсе 1гогп 0.25 Го 28.5рш: Сошрпсег сойе ЬОКгТВА)Ч 2, О.Я.А.Р. СашЬг!йяе ВевеагсЬ ЬаЬогагомев Верах! АРСКЬ-72-0745, 1972. 19. МасВопа1й В. А., НопеумеН Вай!а!!оп Сепгег, Ьех!п9«оп, МаввасЬпвемв (частное сообщение). 20. Хае8ег Т.. )ЧогйЬгуЬп А., Ягосйвегй Р. А., Вегесыоп о! Ьочч Соп!гааз Тагбегв а! 5)мп апй 10)мп: А Согпрагмоп, А р р!. Орг., 11, 1833-1835 (1972). Глава 3 Теория линейной фильтрации 3.1. Области применения В практике тепловидення часто требуется описать реакцию системы на различные сигналы, оценить пространственное разрешение, разработать схемы для повышения качества изображения. Математический аппарат, применяемый для этих целей,— теория линейной фильтрации [1, 2), являющаяся ветвью фурье-анализа, используемого для изучения реакции на сигнал линейных инвариантных устойчивых систем.

Теорию линейной фильтрации можно применять к оптическим, оптино-электронным, механическим и электронным приборам. Разработанная первоначально для описания электрических цепей и следящих систем, эта теория была распространена затем на оптические системы. Теория линейной фильтрации является частью теории анализа изображения и необходима при разработке и оценке любой тепловизионной системы. Определяя систему, Гудмен 11! считает основным ее признаком способность преобразовывать ряд входных функций в ряд выходных функций. Будем рассматривать здесь только системы однозначных функций или взаимно однозначных преобразований, т. е.

системы с шумами исключаются из рассмотрения. На фиг. 3.1 показана система координат и применяемые обозначения. Точка в пространстве объектов определяется угловыми координатами (х„у,), отсчитываемыми от оптической оси. Координаты (х;, у;) в плоскости изображения для системы без искажений определяются соотноп|ениями х; = Мх, и р; =- Му„где лМ вЂ” угловое увеличение.

Теория линейной фильтрации применима только к таким оптическим системам, которые преобразуют распределение яркости объекта в распределение яркости изображения в результате свертки. В большинстве изображающих систем в максимально возможной степени осуществляются процессы свертки, так как именно эти процессы обеспечивают изображение наилучшего качества. Следовательно, понимание сущности процессов свертки является весьма важным; нужно также уметь отличать процессы, не подчиняющиеся закономерностям свертки. та глана 3 /1хасьесса ееьеььеа ьрнг. Зд.

Пространстаенные координаты а илоскостн объекта и изображения. 3.2. Интеграл свертки Рассмотрим двумерный объект, энергетическая яркость которого описывается распределением О (хь, у,) в координатах (х„у,) в пространстве объектов.

Действие изображающей системы на объект обозначим оператором Я ( ). Тогда распределение яркости в пространстве изображения будет Я (О (х„ у„)). Система называетсн линейной, если для любых двух функций О, (х„, у„), О, (х„у,), взвешенных по любым комплексным скалярным постоянным с и с(. выполняется условие ое (сОт (хо, Уа) + сььОе (хе Уь)) = сое (Оь (хь, Уо)) + + с(Я (О, (х„у,)). (3.1) Следствием линейности системы является возможность представления функции распределения яркости объекта в виде ряда более простых функций или в пределе в виде интеграла. Чтобы быть уверенным, что это важное упрощение возможно, ограничим рассмотрение системами, которые являются или могут быть аппрокснмированы линейными операторами во времени и пространстве, воздействующими на представляющие интерес сигналы.

ткогпя лннкянои чилы~ хцип В оощем случае функции распределения яркости объекта являются четырехмерными функциями пространства и времени, однако при аяализе обычно считают, что глубина не имеет значения, н описывают объекты функциями двух угловых пространственных координат и одной временной координаты. Функцию распределения яркости объекта удобно разложить на комбинацию взвешенных дельта-функций Дирака, используя так называемое фильтрующее свойство дельта-функции 6 (х). Математически это записывается в двух измерениях в виде О(хо у~)= ~ ~ О(6, ц)6(х„— $)6(р,— ц)с$дг), (3.2) а геометрическая интерпретация дана па фиг.

3.2. Смысл рассматриваемого интеграла заключается в том, что любую функцию можно представить как бесконечную сумму взвешенных и смещенных дельта-функций. Распределение яркости изображения 1 (зо у,) определяется следующим образом: 1(х;, у,) = Я (О (х„у,)) =- Я ( ~ ~ О (с, Ч) 6(х„— с) 6 (у,— ц) г)сг)ц) . (3.3) Предполагая. что выполняется свойство линейности, получаем 1 (х;, у;) =- ~ ~ О ($.

ц) Я (6 (х, — $) 6 (у„— ц)) сй с(ч. (3.4) Таким образом, функция распределения яркости изображения представляет собой взвешенную сумму реакций системы па дельта- функции, являющиеся компонентами объекта. Функция о' (6(х, — з) 6 (у, — з))) называется функцией рассеяния точки или импульсной реакцией системы.

Соотношение (3.4) называется интегралом суперпознции, так как функция 1 (лм р;) выражается как интеграл от наложенных друг на друга реакций на дельта-функцию, соответствующих бесконечно малым пространственным интервалам. В теории электромагнитного поля количественным аналогом функции рассеяния точки является функция Грина для точечного заряда или источника тока, а в теории электрических цепей — реакция на импульс тока или напряжения. Обобщим записанный результат на трехмерный случай, полагая, что временная задержка реакции на входной сигнал прене- ГЛАВА Э Ямяртитуда Уо~ "о ямолитугуа УУо Ч~ Ямооитусга йа'о, Уо ) Фпг.

ВА2. Фпльтрующоо свойство дельта-функции. о — распределение яркоопг объекта; б — дельта-функпня; в — интеграл от произведения распределении яркости объекта на дельта-йункцпю. ТЕОРИЯ ЛИНЕИНОИ ФИЛЬТРАЦИП 77 гЫ Фиг. 3.3. Распределение яркости объекта (а) и функция рассеяния (б). брежимо мала: 1(хы У;, () =-О (0(х„У„()) = = 1 1 1 Оа, Ч, 1') 3(6( .— $) 6(у,— Ч)6(( — '))Д$г(Чй' (3 5) — Ю Интеграл суперпозициги упрощается в случае пространственной инвариантности системы, т. е. если импульсная реакция системы не зависит от времени и положения импульса "). Полагая для простоты увеличение М равным единице, получим Я (6 (х, — $) 6 (у, — Ч) 6 (~ — 7')) = Я (6'(х; — $) 6,(у; — г)) 6 (~ — У))— а г(х;, у» Ц с, Ч, Р). (3.6) Приведенный ниже графический пример показывает, что интеграл суперпозиции приобретает упрощенную форму, называемую интегралом свертки, в случае, когда система пространственно инвариантна, т.

е. когда форма импульсной реакции г не меняется при смещении относительно осей координат. Рассмотрим распределение яркости объекта и функцию рассеяния, показанные на фиг. 3.3. Распределение яркости изображения можно найти, раалагая распределение яркости объекта на взвешенные дель- ') В действительности системы тепловпдсния с кадровой разверткой ие инвариантны во времени, поскольку данная точка объекта соадаот сигнал только в течение малого промежутка общего времени.

Однако мы рассматриваем действие системы прп наблюдении интегрирующим во времени прибором, таким как зрительный аппарат человека. Следовательно, когда объект неподвижен относительно системы можно считать, что система инвариантна во времени. глава з 1(хс ) 1(хс) О~го) б б Фиг. 3.4. 1!остроеипе фуикцпп распределения яркости паображеипя путем разложения фуикцив распределения яркости объекта (а), замены дельтафуикцпй взвешенными функцпямп рассеииии (б) п сумиироваипя (аь та-функции, заменяя каждую из этих дельта-функций функцией рассеяния н производя суммирование, как показано на фпг.

3.4. Таким образом, ординату распределения яркости изображения в точке х; находят, суммируя вклады в точке х; от импульсных реакций с центрами в х; — $, взвешенных по величине 0 во всех точках с. Математически это записывается в виде 1 (х;) = ~ О ($) г (х; — $) с(в. (3.7) Выражение (3.7) является интегралом свертки, для которого применяется краткое обозначение 1 (х) = 0 (х) е г (х). (3.8) Другая, правда, не очевидная на первый взгляд, возможность убедиться в этом — учесть, что для определенного х; переменной в уравнении (3.7) является $ и и (х~ — $) = г ( — ($ — х;)1 есть зеркальное отражение г ($) с центром в хо Тогда интеграл свертки может быть интерпретнрован (фиг. 3.5) как интеграл от произведения распределения яркости объекта на смещенное зеркальное отражение функции рассеяния.

Ясно, что г (хо ры ц $, з), й') = г (х; — Е, у; — во г — г') (3.9) как нз приведенных выше соображений, так и потому, что функция г должна быть иквариантной при параллельном смещении относительно осей координат. Тогда для трехмерного случая интеграл свертки запишется в виде 1(х;, ры й) — ~ ~ ~ О (с, гь г') и (х; — с, у~ — з), с — е') ~Цс(г) сй' = =- О (х;, уы 1) г (х; уы 1), (3.)0) ТЕОРИЯ Н!НКГ1НОЙ ЭИЛЬТРАННН !(оиа)= плошадь пооиздедеиип/ьаьипоилодапа) д/х)п(а-г) ирк. 3.5.

Свертка. 3.3. Преобразование Фурье В одномерном случае прямое преооразование Фурье определяется формулой Г (О (и)) = ~ О (х) е к"!и а)х ~ О (/„). (3.11) Пространственная частота /„(пространство описывается декартовыми координатами) является аналогом обычной времепнбй или электрической, частоты /!. Частота /, измеряется в герцах, а пространственная частота /, — в единицах мрад '. Смысл пространственной частоты ясен из фиг.

3.6, на которой показано синусоидальное изменение интенсивности источника света с пространственным угловым периодом 6, 1Лсточник рассматривается с достаточно большого расстояния Л, чтобы можно было приолиженно считать О =2з1п —. Т Т 2Л ' й (3.12) На фиг.