1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике, страница 80

Момент инерции поперечного сечения балки У, модуль упругости Е. Массой балки пренебречь. / Е ~Е ( Етв А((н Ответ: й =5,69 ~/ —, 92=22,04 ~ —, — '=1, ( 'з1/ (1(3 2 ' '1/ <з(3 ' А(о ° А(2! — 2„= — 1; формы главных колебаний указаны на рисунке. ~(2) К зазаче 55,35 К задаче 55.3! 55.31(54.30). Найти частоты и формы главных поперечных .

колебаний балки длины 1, опертой по концам и несущей два груза (е( = (е и (ез =0,5(е, равноудаленных от опор на расстояние 1/3. Массой балки пренебречь. А(п Ответ: й, = 6,55 ~/ — , 92 = 27,2 ~/ — , 2 = 0,95. з~/ 0(3 ' ' ~/ д(3 ' А(о А(2' — „, = — 2,09; формы главных колебаний указаны на рисунке. 2 ( 55.32(54.32). Найти частоты главных колебаний двух одинаковых грузов ((, закрепленных на концах горизонтальной консольной балки на рав- 3 3 ных расстояниях 1 от ее опор. Балка длины 31 свободно лежит на двух опо- Х заа 5533 рах, отстоящих друг от друга на расстоянии 1, момент инерции поперечного сечения балки !; модуль упругости Е.

Массой балки пренебречь. Ответ: й( — — ~/ з -ф. 93 16 еУ / ете 55.33(54.33). Однородная прямоугольная пластинка массы т закреплена в конце А балки длины 1, другой конец которой заделан неподвижно. Система находится в горизонтальной плоскости и совершает в этой плоскости свободные колебания около положения равновесия. Определить частоты и формы этих колебаний, если в, А с '4 а =0,21, Ь = 0,11. Массой балки т еа ( пренебречь. а — Уя аз а ни е. Сила Я и момент М, которые должны быть приложены и яон- К задаче ЭЭЭЭ цу А балки, чтобы создать в этой точке прогиб 1 н поворот касательной и изогнутой оси балки р, определяются формулами 1= рЯ+зи, за = ЭС1+еи, причем в рассматриваемом случае однородной балки, заделанной одним концом, р )а/(зе1), о = 0(е1), з = Р!(2е1).

Ответ: Частоты главных колебаний равны соответственно 0,804 ч(3Е))(т(э), 20,7 ч13Е1(((т(э) первое главное колебание можно рассматривать как колебание поворота вокруг точки Оь расположенной на оси балки слева от точки А на расстоянии 01А = 0,6121, второе — вокруг точки Оз, расположенной на продолжении оси балки на расстоянии ОЭА = = 0,1061 справа от точки А.

55.34(54.34). К первому из двух первоначально неподвижных дисков, соединенных упругим валом жесткости с, внезапно прилоу с, жен постоянный вращающий момент М; моменты инерции дисков 1. Пренебрегая массой вала, определить 1, последующее движение системы. Ег. Ответ: И И1 11 11 <рэ = — (з + — ( 1 — соз ~( 2 — (), 41 4с ч, '~/ 1 )' г, 11 М М( / с с; / %= — (э — — 1 — соз л 2 — 11. 41 4с~ у 1 а 55.35(54.35). Двухъярусная шарнирно-стержневая система удерживается в вертикальном положении тремя пружинами, как это показано К аалаче ЭЭЭЭ на рисунке.

Стержни абсолютно жесткие, однородные: вес на длину 1 равен О. Полагая коэффициенты жесткости пружин равными с1 = сз = 106/1, определить устойчивость равновесия системы, а также частоты и формы 11 и )э главных колебаний системы. Массой пружин пренебречь: 1~ = (э= 1. Ответ: Равновесие устойчивое; йэ = 0.412 ~/у/(, йэ = 1,673.)(Щ )а = — 1,455, 1э = 3,495.

426 55.36(54.36). Груз массы М укреплен на вершине стойки, жестко связанной с балкой АВ, свободно лежащей на двух опорах. Полагая, что момент инерции поперечного сечения /, а модули упругости Е балки и стойки одинаковы, определить частоты главных изгибных колебаний системы. Массами бал- .т, ки и стойки пренебречь. Ответ: й~ = 0,497 т/ЕУ/(Маз), Йз = 1,602 ~/ЕЩМа.'). 1 55.37(54.37).

Фундамент машины массы т, = 102.10' кг, установленный на упругом / грунте, совершает вертикальные вынужден- А / Ю ные колебания под действием вертикальной возмущающей силы, меняющейся по закону Р = 98з1па1 кН. С целью устранении резонансных колебаний, обнаруживающихся при угловой скорости вала машины е = = 100 рад/с, на фундаменте установлен на упругих пружинах гаситель в виде тяжелой рамы. Подобрать массу рамы т и суммарную жесткость пружин сз гасителя так, чтобы амплитуда вынужденных колебаний фундамента при вышеуказанной скорости вала обратилась в нуль, а амплитуда колебаний гасителя не превосходила А = 2 мм.

Ответ: гл = 4,9 10з кг, сэ —— 49 10' кН/м. 55.38(54.38). Определить уравнения вынужденных колебаний системы дисков, описанной в задаче 55.2, при действии на средний диск возмущающего момента М = Мсзйп рй З(с (с — 7Р') в(сс где й~ и вз — частоты главных колебаний системы. 55.39(54.39). Электромотор веса Я~ закреплен на упругом бетонном фундаменте (в виде сплошного параллелепипеда) веса Ос с коэффициентом жесткости см установленном на жестком грунте. Ротор веса Р насажен на упругий горизонтальный вал с коэффициентом жесткости при изгибе сп эксцентриситет ротора относительно вала г; угловая скорость вала а.

Определить вынужденные вертикальные колебания статора электромотора, Учесть влияние массы фундамента путем присоединения одной трети его массы к массе статора. с~Руге с!и в( с с е~ — 1(с, + сД Р + с~ (Я~ + '/зЯ0] ям'+ Р (Ф + 'lзЯс) мс ' где у в отклонение статора от положения равновесия. 55.40(54.40). В точке А балки АВ (см. задачу 55.14) приложена сила Р = Рсз)п р( (Р, и р — постоянные), составляющая все время с нитью ОА прямой угол и расположенная в плоскости движения балки.

Какова должна быть длина Ь нитей, на которых подвешена балка СО, чтобы амплитуда вынужденных колебаний балки АВ равнялась пулюем Ответ: Ь = д/рз. 55.41(54.41). Для поглощения крутильных колебаний к одной из колеблющихся масс системы прикрепляется маятник. На рисунке схематически изображена система, состоящая из двух масс У и УУ, вращающихся с постоянной угловой скоростью ез.

Ко второй массе прикреплен маятник. Моменты инерции масс относительно оси вращения У1 и Уз, момент инерции маятника относительно оси, К задаче мл1 параллельной оси вращения системы и проходящей через центр масс маятника, Уз. Расстояние между осью вращения системы и осью подвеса маятника ОА = (; расстояние между осью подвеса и параллельной осью, проходящей через центр масс маятника, АС= а; масса маятника вз. Коэффициент упругости (жесткость при кручении) участка вала между массами с1. Ко второй массе приложен внешний момент М =Меайпай Написать дифференциальные уравнения движения обеих масс системы и маятника.

При составлении выражения для потенциальной энергии системы пренебречь потенциальной энергией маятника в поле силы тяжести. Ответ: У,ф, + с, (1р1 — 1рз) = О, (Хз + т(з) зрз + та(зрз соз (зрз — ~рз) + + взайрз юп (фз — 1рз) + с1 (рз — зр1) = М, ззп Оэгэ (Хз+ ™з) Фз + вза~фз соз (1Рз фз) лза(ф~~ з(п (1Рз — 1Рз) = О. 55.42(54.42). Бак, имеющий форму куба, опирается четырьмя нижними углами на четыре одинаковые пружины; длина стороны куба 2а.

Жесткости пружин в направлении осей, параллельных сторонам куба, равны с», сз, с; момент инерции куба относительно главных центральных осей Х. Составить уравнения малых колебаний ы определить их частоты в случае с» = с„. Масса бака равна М. Ответ: Мх + с»х — с„аерз = О, Му + с„у + сзвзр1 = О, М2+ с э=О, Уф1 + сзау+ сзаззр1 + сзаз1р1 = О, Хфз + с„а'ерз — с,ах + с,аз1рз = О, Хфз + с,азч1з+ сзаз~рз = О, Ззв где х, у, г — координаты центра куба, зрь зрз, 4рз — углы поворота куба относительно координатных осей. Если с, = сз, то й = ~/с,/М, й, = 412с„а~(1, ("+~з).*+ "4 йз зи1 + с„с,— = 55.43(54.43). Однородная горизонтальная прямоугольная пластина со сторонами а и Ь опирается своими углами на четыре К задаче %АЗ К задаче %.4з одинаковые пружины жесткости с; масса пластины М. Определить частоты свободных колебаний.

Ответ: Ьз = з14с~М, Ьз=аз= 4|Ъ2с)М. 55.44(54.44). Три железнодорожных груженых вагона веса Яь Яз и Яз сцеплены между собой. Жесткости сцепок равны ез и ез, Найти частоты главных колебаний системы. 1 Ответ: й, =О, а йз и йз суть корни уравнения 1 К задаче ББА4 К задаче %.44 55.45(54.45). При условиях предыдущей задачи найти уравнения движения вагонов и построить формы главных колебаний для случая вагонов равного веса 94 Яа = Яз = Я, соединенных сцепками одинаковой жесткости сз сз = с. В начальный момент два вагона находятся в положении равновесия, а крайний правый вагон отклонен на хз от положения равновесия. Ответ: х, = — — — соз /ге!+ — ссз йз(, хз = — — — соз йог, «о «е «о «о «о 6 ' З З хз= — + — соз /ггг+ — сов йзц !го= ~т/ —, йз — — ~1,/3 —.

«о «о «о /се / се 3 2 г 6 ' Ч гг' Ч гг Формы главных колебаний изображены на рисунке. 55.46(54.46). Найти частоты и формы главных колебаний системы, состоящей из трех одинаковых масс вг, закрепленных на балке на одинаковых расстояниях друг от друга и от опор. Балку считать свободно положенной Л)(ч на опоры; длина балки !, момент инерции поперечного сечения /, модуль упругости Е. Е1 Ответ: /гг = 4,93 ~/ —,, )г1г й«=19,6 т/ —,, / Ез' йз= 41,8 т/ —,.

6 ~т,дгз . К задаче КК46 Формы главных колебаний показаны на рисунке. 55.47(54.47). Система л одинаковых масс т, соединенных пружинами жесткости с, образует механический фильтр для продольных колебаний. Считая заданным закон поступательного движения левой массы х = хо з!п гог, показать, что система является фильтром К задаче 66«П К задаче 66,46 низких частот, т. е. что после перехода частоты оз через определенную границу амплитуды вынужденных колебаний отдельных масс изменяются в зависимости от номера массы по экспоненциальному закону, а до перехода — по гармоническому. Ответ: Фильтр пропускает колебания с частотой 0 < 64 ( ( 2 т/с/вг. 55.48(54,48).

Фильтр крутильных колебаний схематизируется и виде длинного вала с насаженными на него дисками. Считая заданным закон движения левого диска в форме 6 = 6, з!и гог, определить вынужденные колебания системы и вычислить амплитуды колебаний отдельных дисков. Моменты инерции дисков /, жесткости участков вала между дисками одинаковы и равны с. Исследовать полученное решение и показать, что система является фильтром низких частот. Ответ: до =(босов !зlг+ с, з!и р/г) з!и озг, з!и (р/2) =(оз/2) ~г!/с, где бо — угол поворота гг-го диска, сг — постоянная, определяемая из граничного условия на втором конце вала; первый диск имеет нулевой номер, частота сс должна заключаться в пределах 0 ( < 99 < 2 ~/с//.