Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989), страница 9

(21) Суммируя (21) по )от 1 до й1 — 1, получим М-« У-1 Улон — У о~ = Я "Уго«х+ ~~~, 'лУ~Ф~ы нлн У-« и ~ ну~о«х= — у~ лу- о~ + уяон — у«от. зз Учитывая, что Угог = о! (У! — Уо) + 'Ьуо = ~%У„-л + о!Ум получим Ф-~ Ф ,Я~ "Уьо .' = ~~", Ио!У„- ! + Унан — Уо1!и $=1 С=г Обозначая (в, г) = ~ч~ Инчги а=г (22) (ш, г) = 'Я И1осги перепишем последнее тождество в виде (У, ох) = — (о, У31+ Унон — У.о,. (23) Тождество (23) является разностным аналогом формулы интегрирования по частям ~ у (х) о' (х) ах = — ~ о (х) у' (х) ах + у (Ь) о (Ь) — у (а) о (а) и называется формулой суммирования по частям.

4. Разностная задача на собственные значения. Задача на собственные значения и" (х)+Ли(х) =О, а .х(Ь, и(а) =и(Ь) =О (24) 0 0 0 2 — 1 0 0 — 1 2 — ! 0 0 †! 2 — 1 0 0 0 0 0 0 А= 0 0 0 ° .. — 1 2 — 1 0 0 О ... 0 — 1 2 0 0 имеет решение Ль = ( — ) иь (х) =51п яа ~~ . яа(х — а) И=1,2, ... Ь вЂ” а) Ь вЂ” а Рассмотрим на равномерной сетке (2) разностный аналог задачи (24), '"+Л!"!У!=0, 1 1,2, ..., Ф вЂ” 1, (25) 1Р У,=У„=О, Ип'=Ь вЂ” а, у! — — У(х„), х1=а+1И.

Система уравнений (25) представляет собой задачу на собственные значения Ау = Л'"'у для симметричной матрицы порядка )т' — 1. Поэтому существует ровно >»' — 1 вещественных собственных значений )»>">, а=1, 2, ..., 7т' — 1, матрицы А. Построим в явном виде собственные значения и собственные функции задачи (25). Перепишем разностное уравнение (25) в виде (2 „ ) ! 0 ь>)„о> (26) и рассмотрим отвечающее (26) характеристическое уравнение дг (2»)9+1=0, (27) Общее решение уравнения (26) имеет вид у>=сф+с,д>„ (28) где с„с,— произвольные постоянные и д„д,— корни уравнения (27).

Из граничных условий у,=у =0 получаем с, + с, = О, с>у~+ с,~ф = О. Эта однородная система уравнений имеет нетривиальное решение при условии д»> д» Учитывая, что д,>),=1, приходим к условию у»» 1 (29) Отсюда, представляя а, в тригонометрической форме д, ре", получим р=1 и — я=1, 2, ..., 1!>' — 1. (30) С другой стороны, из уравнения (27) имеем д=1 — -+ 1 — — — 1 » 7»>' 2 'т 2) следовательно, соз >р = 1 — 0,5», и из (30) получим » = 2 (1 — соз >р) = 4 з!и' т = 4 з! и' — .

2 2>>> Таким образом, собственные числа задачи (25) имеют вид Х» = †, з)п — , Й = 1, 2, ..., У вЂ” 1, <а> 4 . э »е (31) 40 где ЙУ=6 — а. Собственные функции у, вычисляются согласно (28), где с,= — с,. Так как д,д,=1, то у; =с, (а,' — у!) = с, (д> — >) >! =с, (еуе — е-»т), где ~р определено согласно (30). Полагая с,= — 0,5ю', получим у)а)=з!и —, й,)=1,2, ..., У вЂ” 1.

нй! Ы (32) Собственные функции (32) определены с точностью до произвольного постоянного (не за- л лз висящего от !) множителя. Интересно сопоставить жюо решения дифференциальной (24) и разностной (25) задач на собствен- тппоп ные значения. Значения ЛГ=Л7 собственных функций (32) лоло разностной задачи совпадают в точках сетки со о ю ~ю лп л значениями собственных рнс з, собственные значения днфференннальфункций дифференциаль- ной задачи (сплошная черта) н разностной ной задачи. Спектр диф- схемы ференциальной задачи не ограничен, т. е.

Х;~-оо при й-з-оо, в то время как спектр разностной задачи ограничен сверху при каждом фиксированном шаге Л числом 4Л-*. Для каждого фиксированного номера А(А„ где А, не зависит от Л, собственные значения Хаа"~ разностной задачи сходятся при й-+.0 к соответствующему собственному значению 2,з дифференциальной задачи, т. е. 4 . а мйй Г нй !пп — з(па = — =)е. а е Ла 2(Ь вЂ” а) (Ь вЂ” о/ При атом собственные значения разностной задачи (25) всегда меньше соответствующих собственных значений дифференциальной задачи (24).

Погрешность Х,— Хз минимальна для малых но- (6) меров Л и сильно возрастает с ростом Л. На рис. 3 изображены графини )„(сплошная черта) и ~4 в зависимости от номера Л для з) значений а=О, 5=1, У=25 и У=50. 5. Свойства собственных значений и собственных функций. Перечислим свойства собственных значений и собственных функций разностной задачи (25). Прежде всего из (31) видно, что О " Лр) < ) и) « ...

Л,'") < ф, « ... Л'"', < 4 Ла Последнее неравенство неулучшаемо, так как М> 4 з мЛ Лм, = — соз Лз 2 (Ь вЂ” а) мЛ и соз — ~- 1 при И-т-О. Оценку снизу для наименьшего 2 (Ь вЂ” а) 4! собственного значения Л, можно уточнить, Обозначая ю =нй/(2(Ь вЂ” а) ), получим ( я где Л, = ( — ) — наименьшее собственное значение дифферента- ) циальной задачи.

Не ограничивая общности, можно предположить, что Ь~(Ь вЂ” а)/3. Тогда а(п/6, и поскольку функция з1па/а монотонно убывает при аеи[0, н/6], получим т. е Л,'и > 9/(Ь вЂ” а)'. (33) Таким образом, наименьшее собственное значение задачи (25) отделено от нуля константой 6,=9/(Ь вЂ” а)*, не зависящей от Ь. Покажем теперь, что собственные функции (32) задачи (25), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны в смысле скалярного произведения У-1 (и, о) = ~ и~о~й.

(34) т-1 Запишем уравнение (25) для функций у'"> и уш в виде у-' +Л =0 Умножим уравнение (35) скалярно на у'", уравнение (36)— на у'"> и вычтем из первого полученного равенства второе. Тогда будем иметь (рй, УФ) — Ьщ, у(м) = (Л)ч — Лам) (уа1, цщ). (37) Из разностного аналога формулы интегрирования по частям (23), учитывая условия у<'>=уф=0, получим и точно так же (р-„„, р ) = — (р„-, р„- 1= — (р-„. р„-).

ш <и ю <и <и ш Следовательно, левая часть равенства (37) обращается в нуль, и поскольку Л<мтьЛ<"> при /гчь/, получаем (у'", уо') =О, если й~й Множество функций р= (ре, р, ив, ", р~-о р ), р =р(х~), заданных на сетке (2) и удовлетворяющих нулевым граничным 42 условиям у,=у =О, образует (У вЂ” 1)-мерное линейное пространство Н относительно покоординатного сложения и умножения на число. Собственные функции у'"', 1=1, 2, ..., У вЂ” 1, задачи (25) ортогональны и, следовательно, линейно независимы в Н.

Тем самым множество собственных функций задачи (25) образует ортогональный базис в Н. Нетрудно показать, что И-д 1у<'> ~д = '~ ~Ь (у(м) д = 0,5 (Ь вЂ” а) / д для всех й=1, 2, ..., У вЂ” 1. Следовательно, множество собственных функций 1д'", й= 1, 2,..., с координатами ф~= ат — з(п —, 1=1,2, ..., У-1, з l 2 . 3Ы! ь — а тд' образует в Н ортонормированный базис. Любой элемент цеиН можно единственным образом представить в виде разложения Ф-д У= ',~~ сдрм~.

Ф=д 6. Разрешимость и сходимость разностной задачи. Обратимся к исследованию разностной задачи (16). Прежде всего теперь можно утверждать, что система линейных алгебраических уравнений (16) имеет единственное решение. Действительно, в предыдущем пункте показано, что матрица системы (16) не имеет нулевых собственных значений. Поэтому отвечающая (16) однородная система уравнений уд д — 2у!+уд+д=О, д=1, 2, "°, У вЂ” 1, цо=цп=О имеет только тривиальное решение и, следовательно, неоднородная система (16) имеет единственное решение.

Исследуем сходимость при Ь-+-0 решения разностной задачи (16) к решению исходной дифференциальной задачи (8) — (9). Обозначим через хд=уд — и(хд), х,~дед, погрешность е точке хь т. е. разность между решениями задач (25) и (8) — (9). Подставляя в (16) вместо у, сумму х,+и(хд), 1= =1, 2, ..., У вЂ” 1, получим, что погрешность удовлетворяет разностному уравнению — 1=1,2, ..., У вЂ” 1, г,=ам=О,(38) где (39) ф;=и„-„,+ть Сеточная функция др, называется погрешностью аппроксимации или нееязкой разностной схемы (16) на решении задачи (8) — (9).

43 Записывая <Г< в виде <р< = (и;„< — и" (хд) + (и" (х<) + 1<) и учитывая, что согласно (8) выполняется равенство ин(х<)+1<=0, получим ф< = и;„, — й (х<). Разложение по формуле Тейлора показывает, что если и'"(х) ограничена, то <Ь<=0(й') при й-~0. По этой причине говорят, что разностная схема (16) имеет второй порядок аппроксимации на решении исходной задачи (8) — (9). Наша ближайшая цель — показать, что схема (16) сходится, т. е. г;~-0 при й-<-0 и, более того, имеет второй порядок точности, т.

е. г,=0(й'). Воспользуемся возможностью получить решение задачи (38) в явном виде. Уравнение (38) отличается от изученного ранее уравнения (18) только обозначениями. Поэтому согласно (20) решение задачи (38) представляется в виде )н-< а <-< « г<= — ''~ ~й'~~~ йфу — ~ь, 'й~йфь <=2,3, ..., У, (40) г=< ~=< ь=< / < и-< ь г, = й (Ь вЂ” а) '~ й 'Я йфь й=< / < Из разложения по формуле Тейлора и„-, =й(х<)+ — и<с (~д и ограниченности и'"(х) следует, что существует постоянная М,) )О, не зависящая от й и от 1 и такая, что 1<у<1(М<й<, 1=1, 2, ..., У вЂ” 1.

Поэтому из формулы (40) следует оценка ~г1((М,й') ~~ й'(~ 11~+й' <( <. ь — а 2 2 т. е. 1г< ~ ( (М<й') 1 — (У вЂ” !) У+ < (< — 1)1 — . 1.<« 1 2 Выражение в квадратных скобках равно 1(У+1 — 2) и оценивается сверху числом 2У'. Таким образом, 1г~~ ((М~йи)У й' М<(Ь а)~й' т. е..~ г<~ =0(й<) при й-<.0, 1=1, 2, ..., У вЂ” 1. В этом случае говорят, что схема имеет второй порядок точности. Отметим, что прнведениый здесь способ исследования сходи- мости, основанный на явном представлении решения разностной задачи, непригоден для более сложных задач.