Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989), страница 7

Если функции иь о, линейно зависимы, то ш;=О для всех УенУ. 28 представляется в виде линейной комбинации двух его линейно независимых решений, а общее решение неоднородного уравнения (1) — в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. Изучим более подробно свойства разностного уравнения (26). Будем считать сейчас, что У=(0, +.1, ~-2, ...), т. е. уравнение (26) определено для всех целых у.

Заметим прежде всего, что если и, и о,— два решения уравнения (26), то и любая линейная комбинация а,и,+а,о,. также является решением. Этот факт следует из линейности и однородности уравнения (26). Для дальнейшего потребуются понятия линейной зависимости и линейной независимости функций, заданных на множестве У. Две функции и, и о, целочисленного аргумента уепУ называются линейно зависимыми, если существуют постоянные а„аь одновременно не равные нулю и такие, что выполнено равенство а,и;+а,о;=0 для всех )яУ. (27) Действительно, согласно (27) для всех 1енУ выполняются равенства и,а,+о,а,=О, (29) ииа,+о;, =О, (30) и;,ма, + оич,а, = 0 относительно неизвестных а,„а,. Поскольку определитель этой системы равен нулю, существует нетривиальное решение (ао аД Образуем с помощью этого решения (а„а,) функцию г;= а,и;+а,о~ (31) и покажем, что г,=О для всех 1.

Поскольку и, и о,— решения однородного уравнения (26) „ функция (31) также является его решением, т. е. удовлетворяет уравнению (32) а;г,,— с;г,+Ь,гн., — — О. Кроме того, согласно (30) выполнены условия г =г„+,— — О. По предположению коэффициенты и„Ь, отличны от нуля для всех 1.

Следовательно, для уравнения (32) можно рассмотреть задачи Коши с~ аг г;„= — г~ — — г; „1=1, +1,1 + 2,..., г" ь! ьl г" ги=г~„,=О, с ь, гьн = — г; — — г;+„1=1„1,— 1,1,— 2,..., аг а; (33) г;,=г~„,=О. (34) Из рекуррентных соотношений (33), (34) получаем, что г;=0 для всех 1=0, -~-1, ~-2, ... Последнее означает, что а,и;+а,о;=0 для всех 1, причем а,'+ь4ФО. Следовательно, функции иь о; линейно зависимы, что противоречит предположению леммы 2. и,+,а,+он,а, = О, где а,'+ а',4=0. Рассматривая (29) при каждом фиксированном 1 как однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно а„а, и учитывая, чтоа,'+а',ФО, получим, что определитель го, этой системы равен нулю.

Для решений однородного уравнения (26) справедливо утверждение, обратное лемме 1. Л е м м а 2. Если иь о; — линейно независимые решения однородного уравнения (26) и а,ФО, Ь,ФО для всех 1, то определитель юДи, о'1 не обращается в нуль ни в одной точке 1ену. Д о к а з а т е л ь с т в о проведем от противного. Предположим, что найдется точка 1,~7, для которой гвь(и, о) =О.

Рассмотрим систему уравнений Следствие !. Определитель (28), составленный для двух решений уравнения (26), или тождественно по 1 равен нулю, или отличен от нуля для всех /. Любая система из двух линейно независимых решений уравне- ния (26) называется фундаментальной системой. Теорема 1. Уравнение (26) с аЯО, Ь;ФО. !енУ, всегда имеет фундаментальную систему. Д о к а з а т е л ь с т в о. Фундаментальную систему образуют, например, решения и; и о; следующих задач Коши: а;и;,— с;и;+Ь,и,.„= О, 1=0, +.1, +-2,..., и,=О, и,=!; а о;,— с;о;+Ь;о,.+, — — О, 1=0, .+1, -+2,..., о,=1, о,=О.

Действительно, и согласно следствию 1 ой[и, о]~0 для всех !. Но тогда согласно лемме 1 функции иь о, линейно независимы. Т е о р е м а 2. Если ип о,— фундаментальная система решений уравнения (26), то его общее решение имеет вид у,=а,и;+а,оь (35) где а, и а,— произвольные постоянные. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть у; — любое решение уравнения (26) и иь о; — два заданных линейно независимых решения. Надо показать, что найдутся постоянные а, и а„для которых справедливо (35).

Пусть у, и у,— значения решения у; в точках !=0 и 1= =1 соответственно. Выберем постоянные а, и а, из условий и,а,+о,а~=ум и,а,+о,а,=у,. (36) Определитель этой системы ш,[и, о]4=0, так как и и о — линейно независимые решения. Следовательно, при заданных у„у, система (36) имеет единственное решение (а„а ).

В силу единственности решения задачи Коши функция (35), построенная с помощью найденных постоянных а, и а„совпадает с заданным решением уь С л е д с т в и е. Любые три решения однородного уравнения (26) линейно зависимы. Пусть иь оь у; — любые решения уравнения (26). Если и, и о, линейно зависимы, то утверждение доказано. Если же и, и о, линейно независимы, то они образуют фундаментальную систему и согласно теореме 2 решение у, представляется в виде линейной комбинации и; и оь В качестве упражнения предлагается проверить, что частные решения (11) уравнения (7) с постоянными коэффициентами будут линейно независимы при д,Фд, и линейно зависимы в при д,=д,. В последнем случае линейно независимыми будут решения зо (13). Заметим, что вследствие предположения аФО характеристическое уравнение (9) не имеет нулевых корней.

4. Неоднородное разностное уравнение второго порядка. Обратимся снова к неоднородному уравнению ату,,— с,у,+Ь,у,+, — — — ~ь (37) Уравнение а;ут,— с;у,+ Ь,у;„= О (38) называется однородным уравнением, соответствующим уравнению (37). Теорема 3. Общее решение неоднородного уравнения (37) есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть У; — какое-либо частное решение неоднородного уравнения (37) и иь о,— линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения (38). Тогда общее решение однородного уравнения (38) имеет вид а,из+а,оь где а, и а, — произвольные постоянные.

Непосредственной подстановкой проверяется, что функция у; = Уз+а,и,+азат (39) является решением неоднородного уравнения (37). Остается доказать, что функция (39) является общим решением, т. е. что при соответствующем выборе параметров а„а, любое решение уравнения (37) можно записать в виде (39). Пусть г,— любое решение уравнения (37). Оно однозначно определяется заданием начальных условий г, и г,. Поэтому для совпадения уь определенного согласно (39), с заданным решением г, достаточно потребовать у,=г„у,=г„т. е. а,и,+а,о,=г,— У„ а,и,+а,о, = г,— У,. Рассматривая эти условия как систему уравнений относительно а„а„получаем, что она имеет единственное решеаие, поскольку определитель е! и,(и отличен от нуля в силу линейной независимости решений иь оа Теорема 3 доказана. Частное решение неоднородного уравнения (37) можно построить, если известны линейно независимые решения иь о; соответствующего однородного уравнения (38).

Для такого построения применяется метод вариации постоянных. Напомним метод вариации постоянных на примере дифференциального ураиыения у" (х) = — 1(х). (40) Пусть н(х), о(х) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, т. е. и" (х) О, и" (х)=0. (41) 31 (1' (х) = (46) и (х) о' (х) — и' (х) о (х) Знаменатель в полученных выражениях отличен от нуля, так как он является определителем Вронского для линейно независимых решений однородною уравнения. Из выражений (46) козффициенты а(х), р(х) находятся в квадратурах. Обращаясь к разностному уравнению (37), будем искать его решение в виде (47) у, = а,и;+[),оь где иь о; — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения (38) и аь ~,— искомые функции. Потребуем по аналогии с (43), чтобы разность у,е,— у; представлялась в виде у;„— у,= а;(и,,— из)+[)1(оз„— ц).

(48) Такое требование эквивалентно выполнению условия (а;,,— а,) из~,+ ([)„,— [)з) оью — — О. (49) Далее, из (48) получим У,— У;,=а,,(и; — Цьо)+~1,(О,— О;,) нли У; — Уз, =аз (Ц вЂ” Ц,) + [(з(оз — Ц,) — гРи (50) где грз= (а, †,,) (и, — ц ,) + (р, — [3,,)(о, — о;,). Для дальнейшего удобно представить уравнение (37) в виде (а,— с,+Ь;) у,+Ь,(у;,— у;) — а,(у,— у;,) = — [е (51) Подставляя в (51) выражения (47), (48), (50) и собирая коэффициенты при а„5ь получим ат [(а( — с; + Ь;) иг + Ьг (и;„— иг) — аг (и; — и;,)) + +81[(а; — с;+Ь;) о)+Ьг (о)„— о;) — ат(ог — о1 „)1+ирр, = — ~ь 32 Будем искать решение неоднородного уравнения (40) в виде р(х) а(х) я(х) +р(х) о(х), (42) где а(х), р(х) — функции, подлежащие определению.

Для нахождения функций а(х), р(х) необходимо получить два уравнения. Первое из них получается из требования, чтобы производная у'(х) имела вид у'(х) =а(х) и'(х)+ 5(х) о'(х), (43) которое, очевидно, эквивалентно требованию а'(х)я(х) + ()'(х)о(х) =О. (44) Второе уравнение, связывающее а(х) н 5(х), получается в результате подстановки (42) в исходное уравнение (40).

Учитывая (43), (41), получим у" (х) =ап" (х) + рс" (х) +а'(х) и'(х) + р'(х) и'(х) =а'(х) и'(х) +р'(х) о'(х), Следовательно, уравнение (40) будет выполнено, если а' (х) и' (х) + р'(х) о'(х) = — ((х) . (46) Из системы уравнений (44), (43) найдем а'(х) = 7 (х) о (х) и (х) о'(х) — и' (х) о (х) (54) и! г! Ь! — 8!-. =— о!и! — го! а! Знаменатель полученных выражений совпадает с определителем и!»,(и, о] (см.