Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989), страница 6

до тек пор, пока впервые не получим число, большее еднннцы. Затем полученное частнчйое произведение будем последовательно умножать на уь уз н т. д. до тек пор, пока новое частичное произведение не станет меньше сднннцы. Процесс повторяется до тек пор, пока все оставшиеся сомножнтелн будут либо только большими единицы по модулю, либо только меньшими. Далее умножение проводится в произвольном порядке. П р и м е р 2. Рассмотрим процесс вычисления суммы г.=у!+уз+...+у.. (24) Для простоты изложения предположим, что все у, положительны и больше машинного нуля. Тогда в процессе вычислений не может появиться нулевого результата. Алгоритм вычисления суммы (24) состоит в решении разностного уравнения (10) при начальном значении г,=б.

Получим уравнение, которому удовлетворяет приближенное пешение Еь Предположим, что вместо точного значения г,, в результате накопления погрешностей округления получено приближенное значение з! ь Тогда согласно (7) вместо г; получим число з, =1! (2!, + у ) = ( ! + е,) Е!, + у!), ( где [е!! <2-'. Таким образом, приближенное значение г, удовлетворяет разностному уравнению Ы!=д!г! г+уь 1=1, 2,..., и, гч=0, (25) 23 где д;=1+ел у,=(1+е;)уь Можно считать, что уравнение (25) получено из исходного уравнения (10) путем внесения возмущений в коэффициенты и в правые части, причем для каждого 1 возмущение пропорционально е; н не превосходит 2 '. Оценим теперь результирующую погрешность г„— г„.

Для этого выпишем в явном виде решения уравнений (!О) и (25), предполагая, что г,=г,=0. Согласно (16), (18) имеем л и гл= ~~~ у», гл=~ Рп, »у», »=» »=» где у»=д»у». Поэтому для погрешности получим следующее выражение: гл — гл = '~~~ Е„»уы (26) »=» где дл — 1, А=и, Ел» = чДл, -» — 1 = дпдп — ...

у» у» — 1, й =1, 2,..., и — 1. (27) Коэффициент Ел» в формуле (26) указывает, какую долю погрешности вносит й-е слагаемое суммы (24) в общую погрешность. Покажем, что чем меньше номер А, тем большая погрешность вносится за счет у,. Для этого оценим приближенно величины Е Так как д;=1+в; и 1е;1<в=2 ', то )д ) <1+е, 1д Ч.— .. Ч»» Ч»1< <(1+е)" »+'.

Отбрасывая величины второго порядка малости относительно е, можно считать, что ~ д.д„,... д» ~ < 1+ (и-1+1) е, ! Е„» ~ < (и — й+! ) е, й=1, 2,..., и. и тогда (28) Поэтому для у,=г,— г,, справедливо неравенство 0<у»<!г»~+12» — ~ 2!г ! л»=1, 2, ..., и.

Отсюда и из (26) получим оценну л ~ гп гл ! » ~2 ~ гп ~ Ч~'~ ~ Ел» ~. Учитывая приближенное неравенство (28), приходим к следующей 24 Из формулы (26) легко получить оценку относительной 'погрешности ~ㄠ— г„~/~г„~. Заметим сначала, что для положительных у„ ..., у. последовательность гь определенная согласно (10), неотрицательная и монотонно возрастающая, т.

е. 0<г„,<г„, й=1, 2,..., и. оценке относительной погрешности: Следовательно, относительная погрешность, возникающая при суммировании и положительных чисел, оценивается примерно как и'2-', где à — число разрядов, отводимое для записи мантиссы. Например, при 2-'=10-", и= !О' получаем, что результирующая относительная погрешность не превзойдет 10-'. 3 3. Разностные уравнения второго порядка !.

Задача Коши и краевые задачи для разностных уравнений. В п. 4 $ 2 рассматривалась задача Коши для разностного уравнения первого порядка. Обратимся теперь к линейным разностным уравнениям второго порядка а,у;,— с;у;+ Ь,у,„= — уь (1) где аь Ьь сь Ун — заданные коэффициенты и правая часть и у; — искомое решение. Индекс ! в уравнении (1) пробегает некоторое допустимое множество У целых чисел. Например, У=(0, 1, 2,...), У=(1, 2,..., У вЂ” 1), У=(0, +.1, ~2,...), где Ж) ! — заданное целое число.

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что Ь,ФО, а;~0 для всех допустимых !. Коэффициенты, правую часть и решение уравнения (1) следует рассматривать как функции целочисленного аргумента уеиУ, т. е. у;=у(!), У,=)(!) и т. д. Уравнение (1) имеет бесконечное множество решений. Каждое отдельное решение называется частным решением уравнения (1). Оба(им решением уравнения (1) называется такое двухпараметрическое семейство решений, которое содержит любое частное решение.

В пп. 3, 4 будет показано, каким образом строится общее решение уравнения (1). Для того чтобы из совокупности всех решений уравнения (1) выделить единственное, необходимо задать те или иные дополнительные условия. Задача Коши состоит в отыскании решения уь 1=0,1,2,..., уравнения (1), удовлетворяющего при 1=0, ! заданным начальным условиям (2) Уа=!г1 У~=рм Если Ь,~О для всех допустимых !', то уравнение (1) можно разрешить относительно у;+„т.

е. записать в виде а с. У~и = — У~-1 + — У! — — ° (3) Отсюда следует, что задача Коши имеет единственное решение. Более общая постановка задачи Коши состоит в отыскании прн всех /'=О„ ~1, ~2,... решения урввнення (1), удовлетворяющего условиям рз =р,, у/е+г=рз с заданными /и рь рз. Если п,ФО, Ь/~О для всех /, то тзхзя задача имеет единственное решение. Краевая задача состоит в отыскании решения уравнения а)у;,— с/у/+Ь/у/+,— — — !), !=1, 2,..., /)/-1, (4) удовлетворяющего дополнительным условиям Ус=к~у~+ Рм ум=кхун-) + Из где х„ /хч !=1, 2 — заданные числа.

В частности, при х,=х,=О получаем краевые условия первого рода уз=у~ ун=рз (6) а при х,=х,=1 — краевые условия второго рода. Достаточные условия существования единственного решения краевой задачи (4), (5), а также алгоритм построения этого решения будут указаны в и. 754. 2.

Однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим разностное уравнение ау/,— су,+Ьу/е,=О, а~О, ЬФО, с вещественными коэффициентами а, Ь, с, не зависящими от !1 Будем искать частные решения уравнения (7) в виде у/= /), (8) где )7 — число, подлежащее определению. Подставляя (8) в (7)„ получим квадратное уравнение Ь/!' — с//+ а=О, (9) которое называется характеристическим уравнением, соответствующим разностному уравнению (7). В зависимости от знака дискриминанта с' — 4аЬ могут представиться три различных случая.

Если с')4аЬ, то корни с+ )/ сз — 4сЬ с — 1' сз — 4аЬ )/х = 2Ь 2Ь //з = (10) уравнения (9) вещественны и различны. В этом случае разиостное уравнение (7) имеет частные решения У/ =Ч). У/ =//з ()) / (и / (11 26 ! Если с'<4аЬ, то корни //) и //з комплексно сопряжены. Функции (11) и в этом случае являются решениями разностного уравнения (7), однако удобнее представить //, в тригонометрической форме: /7, = т (сов )р+ ! з!и тр), где .т / с .

)/4сЬ вЂ” с' с т = !/ —, 5!П)р =, соз/р= = . (!2) Ь 2 )/сЬ 2 !/сЬ В качестве решений уравнения (7) можно взять функции у';о = г1 соз (/1р), У';" = г1 51п (/1р). Наконец, если с'=4аЬ, то уравнение (9) имеет кратный корень а=с/(2Ь), а разностное уравнение имеет частные решения у~д=у1, у~У=И'. (13) Построим теперь решение задачи Коши ау,,— су1+ЬУ15,=0, /=1, 2,..., (14) (!5) Ую=)51 У~=)55 исходя из найденных частных решений (11). В силу линейности и однородности уравнения (?) любая линейная комбинация у; = а1У1'+ а2д,' (16) также является его решением.

Подберем параметры а, и 55, таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия (15): 521+ 152= И1 52191+ 555У5=)52. (17) Решая систему (17), находим )5142 — )Ч,„)52 — 1141 (18) Ч2 41 42 41 Подставляя (18) в (16) и собирая коэффициенты при )1„ )гь получим, что решение задачи Коши (!4), (15) в случае с1)4аь имеет внд 4152(ч,' ' — ч,' ') ч,' — ч', У)= р1+ — '' р2, /=0,1,2,..., (!9) Ч2 41 Ч2 Ч1 где д1л определены согласно (10). В таком же виде представляется и решение задачи Коши (14), (15) в случае с2(4аЬ.

Заметим, что в этом случае Ч11)2(Ч1 — 5 ) ! 51П ((/ — !) 12) 52 Ч1 5!П 15 — 5)п (/<Р) ! ! 2 1 .11 Ч2 — 51 5!П т где г и гр определены согласно (12). Поэтому решение задачи Коши можно записать в виде Мп ((! — !) Ч1) + ! 5)п (/Ч1) У! = — 1 5)П 15 51П 1Г В случае с'=4аЬ, используя частные решения (13), можно представить решение задачи Коши (14), (!5) в виде (/ 1) 1/1)5 +/1/1 )5 (21) где а=с/(2Ь). 27 Аналогичным образом строится решение краевой задачи ау,,— су;+Ьу~~,=О, 1=1, 2, ..., й( — 1, (22) уо=)х1 Уь=М.

(23) Если с'~4аЬ, то (е' ' — чн ') (41чь)г 4 — ч( (24) где дк, определены согласно (10). Если же с'=4аЬ, то у =(1 — — )Фр + — Г''-пр У 1 ' У ив ! л~у ' л (25) где д=с/(2Ь). 3. Однородное разностное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами.

Для уравнения с переменными коэффициентами (1) существует теория, аналогичная теории линейных дифференциальных уравнений, а именно: общее решение однородного уравнения а,у;,— с;у;+ Ь;у;+, — — 0 (26) Если же из условия (27) следует, что х,=а,=О, то функции иь о, называются линейно независимь2ми, Линейная зависимость решений иь о; характеризуется значениями определителей ш)1и,о1 = (28) являющимися аналогами определителя Вронского. Лемма 1.