Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(28)) и согласно лемме 2 не обращается в нуль ни в одной точке !. В результате суммирования каждого из уравнений (54) получим ! а= +~~с„' »=1 ! 8!=8,+ ~ о»и» — и»о» а„ о»и»-~ и»о»-1 а» Подставляя найденные выражения для а», 8! в формулу (47), получаем общее решение неоднородного уравнения (37) в виде и! о! ! и» о» р! = а,и! + роо! + ;Я и»-к ~»-1 а» и» о» где а„б,— произвольные постоянные и иь о; — линейно независимые решения однородного уравнения (38). Отметим, что сумма (55) г!=аси!+8со! является общим решением однородного уравнения (38), а сумма и» о» !» и» о» а» (56) 2 А.
А. Скиарскка, А. В. Гулок 33 Выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю, потому что и; и о; являются решениями однородного уравнения (38). Следовательно, уравнение (37) будет выполнено, если потребовать а!<р!= — ~ь т. е. (а; — а; с) (и! — и!,) + (р! — ~!иа) (о! — о;,) = — †. (52) а! Поскольку индекс ! произволен, уравнение (49) можно переписать в виде (а,— а;,) и»+ (8! — 8!,) о»= О. (53) Решая систему уравнений (52), (53), получим 7! а — а. ! !-»в э о»и! — и!о! а! — частным решением неоднородного уравнения (37), соответствующим значениям а,=[),=0. Следовательно, функция (55) является общим решением неоднородного уравнения (37).
В заключение параграфа отметим, что многие понятия ирезультаты, относящиеся к разностным уравнениям второго порядка, можно обобщить и на разностные уравнения произвольного порядка (см., например, [35)). й 4. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений 1. Сетки и сеточные функции. Для численного решении дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, часто применяется метод сеток или разностный метод. В настоящем параграфе поясняются основные идеи разностного метода на самых простых примерах.
Систематическое изложение теории разностных методов содержится в ч. 1П (см. также [32]). Сеткой на отрезке [а, Ь) называется любое конечное множество точек этого отрезка. Функция, определенная в точках сетки, называется сеточной функцией. Будем обозначать через ви сетку, удовлетворяющую условиям а=х,<х,<х,« "х,<х„=Ь, (1) и через /, — значение сеточной функции /(х) в точке х,~в , т. е. /,=/(х,). Точки х,~в называются узлами сетки а„. Равномерной сеткой на [а, Ь] называется множество точек ыь=(х,=а+/Ь, 1=0, 1, ..., й)), (2) где Ь= (Ь вЂ” а)/й/ — шаг сетки. Рассмотрим задачу о приближенном вычислении производных функции и(х), определенной и непрерывной на отрезке [а, Ь).
Будем считать, что и(х) обладает необходимой по ходу изложения гладкостью. Введем согласно (2) сетку ы, и обозначим гц = и (х~), и„-, = (и; — и;,)/Ь, и,,~ = (щ„— и)/И, и, = (и;„— и;,)/(2Ь). Выписанные здесь разностные отношения называются, соответственно, левой, правой и центральной разностными производньсми функции и(х) в точке х=хь Если точка х, фиксирована, а шаг й стремится к нулю (при этом 1- со), то каждое из упомянутых разностных отношений стремится к значению производной функции и(х) в точке хи Поэтому в качестве приближенного значения и'(х) можно взять любое из этих разностных отношений.
Нетрудно получить выражение для погрешности, возникающей при замене дифференциального выражения разностным. Рассмотрим, например, левую разностную производную в точке х=х< и запишем ее в виде и (х) — и (х — й) хл По формуле Тейлора получим и (х — Ь) = и (х) — Ьи' (х) + — и (ь), ь ~ (х — Ь, х), 2 следовательно, иу,. = и' (х;) — — и" (~;). (3) Погрешность и„-, — и'(х,), возникающая при замене дифферен- циального выражения и'(х) разностным выражением и,,~, назы- вается погрешностью аппроксимации. Из разложения (3) видно, что погрешность аппроксимации является величиной 0(Ь) при Ь-«.0. В этом случае говорят, что имеет место аппроксимация пер- вого порядка. Приведем разложения, аналогичные (3), для других разност- ных отношений: и«и = и' (хс) + — и" (ь)о), ь)о с= (хь хид, 2 и.
=и'(хд+ — "' и (Ь)м), ~';вен (х~-ьхоп). «х 6 (4) (5) Из разложения (5) видно, что центральная разностная производная аппроксимирует и'(х) со вторым порядком и, следовательно, является более точным приближением к и'(х), чем левая или правая разностные производные. В дальнейшем наряду с (3)— (5) будем использовать менее детальную запись тех же разложений, а именно иу,=и,'. + 0(Ь), и„л =и,'+ 0(Ь), и.
=и,'+ 0(Ь ). Вторую производную и" (х) можно приближенно заменить в точке х,енв«второй разностной производной 1 и;„,— 2и +и;, и- = — (и; — и- )= ««Х Ь «' «В Ь« (6) Разложение по формуле Тейлора приводит к следующему выражению для погрешности: и-, — й (х;) = — и'ч (~;) (7) т. е. имеет место аппроксимация второго порядка.
Мы привели простейшие примеры аппроксимации дифференциальных выражений разиостными на равномерной сетке. В общем случае погрешность, возникающая в результате замены дифференциального выражения разностным, зависит как от распределения узлов сетки, так и от гладкости функции. 2. Разностная краевая задача.
Первая краевая задача для уравнения и" (х) = — ~(х) (8) состоит в отыскании функции и(х), дважды непрерывно диффе- 2«36 где )ьо )т, — заданные числа. Нетрудно построить решение задачи (8), (9) в виде квадратур. Представим и(х) в виде суммы двух функций: и(х) о(х)+ш(х), где о"(х)=0, хеа(о, Ь), о(о)=н(, о(Ь)=ц!, ш"(х) = †!(х), х(м(и, Ь), ш(и) ш (Ь) =О. Решением задачи (10) является линейная функция Ь вЂ” х х — о о (х) = — Рг+ — Рз. (10) (1!) (! 2) Далее, интегрируя уравнение (1!), получим ш' 00 = ш' (а) — ) ! (!) (Гз. Интегрируя еше раз предыдущее соотношение и учитывая условие ш(и)=0, получим х/ ! .
(*) - (* - ) ' (.) — 1 ( 1 / (*) (.) ((. а а Из условия ш(Ь) =0 получаем, что ь ! . и- — (/()//о(*))((. а а и, следовательно, ь х ! х — и Г .(*)- !" (/)//в~()(/-!" (/)//н())(( — ь-..) а и а а (1з) Решение краевой задачи (8), (9) есть сумма функций (12) и (13). Для численного решения задачи (8), (9) введем на отрезке (а, Ь) равномерную сетку с шагом Ь согласно (2) и заменим и" (х() второй разностной производной и;„г Тогда вместо дифференциального уравнения (8) получим разностное уравнение второго порядка и!, — 2и+ игм 1 Ьа (14) Это уравнение можно записать для !=1, 2, ..., !)/' — 1, т, е. во всех внутренних точках сетки шь.
В граничных точках в соответствии с (9) следует положить а!= Ко ми= Км (15) 36 ренцируемой на интервале (а, Ь), непрерывной на отрезке (а, Ь), удовлетворяющей уравнению (8) при х~(а, Ь) и дополнительным условиям и(а) =)хь и(Ь) =ры (9) где пхх 1 О 1 1 2 ° ° ° Л' 1 по 1хь он ри Запишем (17) подробнее: и,,— 2о;+о<+,=О, 1=1, 2, ..., )У вЂ” 1, ое=Рь он= ам (17) (18) и заметим, что соответствующее характеристическое уравнение д' — 2о+1=0 имеет кратный корень 9=1. Поэтому согласно (25) из $3, решение разностной краевой задачи (17) имеет вид ( ~) +с Учитывая, что с «~ — а У Ь вЂ” а можно записать о; в виде, аналогичном (12), т. е. Ь— х~ — а Рх + Рх. Ь вЂ” а Ь вЂ” а (19) 37 Таким образом, применение разностного метода позволяет за- менить исходную дифференциальную задачу (8), (9) системой из ()ч' — 1) линейных алгебраических уравнений (14), (15) относи- тельно неизвестных и„и„..., и,.
Система уравнений (14), (15) называется разностной схемой или разностной краевой задачей, соответствующей исходной дифференциальной задаче (8) — (9). В дальнейшем, чтобы не было путаницы в обозначениях, будем через и(х) обозначать решение дифференциальной задачи и через у~ — — у(х,) — решение разностной задачи.
Итак, мы получили разностную схему — 1=1,2, ...,7х' — 1, (16) /Р у~=по дн=ра- В связи с этой разностной схемой возникают следующие про- блемы, которые типичны для разностных методов вообще. Во-пер- вых, необходимо убедиться, что система линейных алгебраических уравнений (16) имеет единственное решение, и указать алгоритм, позволяющий получить это решение.
И, во-вторых, надо показать, что при стремлении шага сетки й к нулю решение разностной за- дачи будет сходиться к решению исходной дифференциальной задачи. Вопросы разрешимости и сходимости разнестной задачи (16) будут исследованы в п. 6. Построим по аналогии с (13) точное решение разностной зада- чи (16). Представим у, в виде суммы у;=о,+гав 1=0, 1,..., л1, Найдем явное выражение для щ. Для этого перепишем уравнение (18) в виде й'-у — и«« ° = й~н ! 1ю 2ю ° з й1 1а и просуммируем по) от 1 до А. Тогда получим ь в- = и- — ~ й)'~ «дм «а или ь щ„,— газ=он«„-,— Й~ 4~в Й=!,2, „л1 — 1. ! 1 Суммируя последнее уравнение по я от 1 да 1 — 1 н учитывая, что гв, = О, получим а в;=1)на„-,— ~ й ',~~ й~ь А=1 г=1 Отсюда и из условия ш«=0 находим и-1 ь и««, = — '~~ Ь '~ ~Ь|~, '-'й=, /=, следовательно, « — а ю-«а нЧ= ' 'Я й 'ЯЦ вЂ” 'Я й'Я 65, 1=2,3, ..., 31 — 1, (20) ь=~ ! « В 1 ~ 1 к-1 ь «~ — а,~~~ й ~-, йг 1=1 /=1 Формула (20) является разностным аналогом формулы (13).
3. Некоторые разностные тождества. Для сеточных функций выполняются разностные аналоги некоторых формул дифференциального н интегрального исчисления. Для простоты изложения будем рассматривать равномерную сетку (2). Разностными аналогами формулы дифференцирования произведения (ии)'= и'о+ +но' являются тождества (У')«~=У' «Г+ ~-~Уко (Уо)«х = УФ«х + У«,НЧы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
