Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989) (1095856), страница 2
Текст из файла (страница 2)
4. Примеры мнагошаговых рзэнастиых методов (235). б 4. Сходимость и оценка ногрешности миогошагового разностного метода 1. Уравнение для погрешности (236). 2. Однородное разностное уравнение с по. стояннымн коэффициентами. Частные решения (288).
3. Однородное разнастное уравнение с постояниымн коэффяпиентами. Устойчивость по начальным данмым (240). 4. Оцеяка решения неоднородного уравнения (243). 5. Оценки погрешности размостного метода (244). $5. Численное интегрирование жесткнх систем обыкновенных дифференциальных уравнений 1 Условна устойчивые и абсолютно устойчивые разностные методы (247). 2.
Понятие жесткой системы дифференциальных уравнений (249). 3. Нелиней. ные системы дифференциальных уравнемий (251). 4. Спепиальные определения устойчивости (252). 5. Чисто меявные ревностные методы (255). 214 214 218 230 236 247 ЧАСТЬ Н! РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Г л а в а 1. Вводные понятия $1. Примеры разностных аппроксимаций $2. Построение разностных схем иитегро-интерполяционным методом 1.
Построение разностиай схемы (262). $3. Исследование аппроксимации и сходимости 1. Аппроксимация дифференциального уравнения (255). 2 Аппроксимация граничного условия (267), 3. Уравнение для погрешности (268). 4. Ревностные тождества и неравенства (269). 5. Доказательство сходнмости (270). $4, Разностные схемы для уравнения теплопроводности 1. Исходная задача (272). 2.
Явная схема (272). 3. Неявные схемы (276). 4 Уравнения с переменными коэффициентами и нелинейные уравнения (279). $5. Трехслойные разностные схемы 1 Ревностные схемы для уравнения колебаний (283). 2 Трехслойные схемы длк уравнения теплопрааодности (285). $ б. Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, сходимость, устойчивость 1 Ввеленне (286). 2. Погрешность аппроксимации и погрешность скеиы (287). 3. Корректность ревностной схемы. Схадимость. Связь между устойчивостью н схадимостью (290). 259 259 262 265 272 283 286 $4.
Численное дифференцирование........... 186 1. Некоррептнасть операции численного дифференцирования (186). 2. Применение интерполнровани» (188). 291 291 Г л а в а 2. Принцип максимума для разностных схем 9 1. Разностная аппроксимация задачи Днрихле для уравнения Пуассона !. Постановка разностной задачи (29!). 2.
),аноьический вид ревностного уравнения (293). $2. Принцип максимума для разностных схем. Основные теоремы 1. Исходные предоолажения (294). 2. Принцип максимума и его следствия (295). 3. Теорема сравнения устойчивость по граничным условиям (298). 4. Примеры (299). $ 3. Доказательство устойчивости и сходимости разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона 1. Устойчивость па граничным условиям (300). 2.
Устойчивость по правой части и сходимость (302). $4. Примеры применения принципа максимума $ 5. Монотонные разностные схемы для уравнений второго порядка, содержаших первые производные 294 300 304 308 Г л а в а 4. Теория устойчивости разностных схем $1. Разностные схемы как операторные уравнения 1. Представление рази стных схем в виде операторных уравнений (339). 2. Корректность аператорнык уравнений (342). 3. Операторы первой разностной производной (347) $2. Канонический вид и условия устойчивости двуслойных разностных схем 1.
Канонический вид двуслойных раэностных схем (349). 2. Устойчивость разностных схем (351). 3. Теоремы об устойчивости по начальным данным (354). 4. Несамосопряженные ревностные схемы (359). 5 3. Канонический вид и условия устойчивости трехслойных разностных схем 1 Канонический вид (362). 2. Эквивалентность трехслойной скемы двуслойной (363). 3. Устойчивость по начальным данным (364).
4. Примеры (366). 9 4. Об экономичных методах решения многомерных нестационарных задач математической физики 1. Недостатки обычных разностных методов (369). 2. Пример метода пеоеменных направлений (372). 3 Абсолютная устойчивость пролольно-поперечной схеьгы (373). 4 Понятие суммарной аппроксимации (376). 339 339 349 362 369 Г л а в а 5. Прямые н итерационные методы решения сеточных уравнений 9 1. Модельная задача 1. Введение (378) 2 Модельная задача (379) 3. Применение методов якоби и Зейлеля (381).
4. Метод верхней релаксации (364). 5 2. Применение явного итерационного метода с оптимальным набором параметров 1. Явный итерационный метод с чебышевскими параметрамн (389). 2 Приме. некие к молельной задаче (390). 3. Применение чебышевского метола к разностиым аппроксимациям уравнений эллиптического типа (391). 378 378 389 Г л а в а 3, Метод разделения переменных , . . .
. . . . . 3!О $ 1. Разностная задача на собственные значения . . . . . . . 31! 1. Оператор второй разностной производной (3!1) 2. Задача иа собственные зна. чеиия (312). 3. Свойства собственных значений и собственных функций (313). 4 Операторные неравенства (315). $ 2. Задача на собственные значения для пятиточечного разностного оператора Лапласа . . . . .
. . . . . . . . . . 3!7 1. Самосопряженность (317). 2. Оце ка собстеен ых чисе . П ж тельиость оператора (318). 5 3. Исследование устойчивости н сходимости схемы с весами для уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . 320 1. Исходная задача и разностная схема (320). 2. Устойчивость схемы по начальным данным (322). 3. Устойчивость по правой частя и скодимость (324). 4 Схема с весами для двумерного уравнения теплопроводнастн (326). 5. Асимптатическая устойчивость (328). 8 4. Решение разностного уравнения второго порядка методом Фурье . 332 $ 5. Быстрое дискретное преобразование Фурье . . . .
. . . . 334 $ 6. Решение разностного уравнения Пуассона с использованием быстрого преобразования Фурье й 3. Попеременно-треугольный итерационный метод 1. Алгебраическая теория (394). 2. Применение к модельной задаче (398). 3, По. переменно-треугольный метод с чебышевскими итерационными параметрами (401). 4.
Модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод (402). $4. Итерационный метод переменных направлений 1. Формулировка метода и исследование скодимости (404). 2. Пример (400). 3. Случай прямоугольной области (408). 4 5, Метод матричной прогонки 1. Введение (4П). 2. Запись раэностнога уравнения Пуассона в виде системы векторнык уравнений (412). 3 Алгоритм матричной прогонки (414). 4. Устойчивость матричной прогонки (413). 6 6. Метод редукции 1. Вывод оснавнык формул (418). 2. Обращение матриц (421).
3. Вычисление нравык частей (423). 4 Формулировка и обсувгдение алгоритма (424). 394 411 418 Список литературы Предметный указатель 426 428 ПРЕДИСЛОВИЕ В книге излагаются основы численных методов решения задач алгебры, анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики. Книга предназначена для студентов вузов, специализирующихся в области прикладной математики. Она может оказаться полезной также студентам других специальностей, желающим получить представление о методах решения математических задач с помощью ЭВМ.
Книга основана на курсе лекций, который читался в течение ряда лет студентам факультета вычислительной математики и кибернетики Московского университета. В курсах численных методов изучаются вопросы построения, применения и теоретического обоснования алгоритмов приближенного решения различных классов математических задач. В настоящее время большинство вычислительных алгоритмов ориентировано на использование быстродействующих ЭВМ, что существенно влияет на отбор учебного материала и на характер его изложения.
Следует отметить некоторые особенности предмета численных методов. Во-первых, для численных методов характерна множественность, т. е. возможность решить одну и ту же задачу различными методами. Во-вторых, вновь возникающие естественно-научные задачи и быстрое развитие вычислительной техники вынуждают переоценивать значение существующих алгоритмов и приводят к созданию новых.
Перечисленные особенности предмета, его обширность и неоднородность делают иллюзорной попытку изложить предмет «во всей полноте и строгости». Поэтому авторы настоящей книги поставили перед собой задачу собрать минимальный материал, достаточный для дальнейшей работы выпускников вузов в области применения и создания вычислительных методов. Вычислительный алгоритм естественно рассматривать как необходимую составную часть вычислительного эксперимента— эффективного метода решения крупных естественно-научных и народнохозяйственных задач. С этих позиций и ведется изложение численных методов в данной книге. Рассматриваются только те в методы, которые выдержали испытание практикой и применяются для решения реальных задач. Наибольшее внимание уделяется фундаментальным разделам численных методов — численному решению систем линейных алгебраических уравнений и разностным методам решения задач математической физики.
В то же время авторы сознают, что многие интересные и важные методы изложены недостаточно полно или совсем не вошли в книгу. За рамками книги остались такие этапы вычислительного эксперимента, как построение математической модели, программирование и организация вычислений. В тех случаях, когда подробное изложение численного метода оказывалось слишком громоздким, содержало много выкладок или опиралось на труднодоступный студентам мате. матический аппарат, авторы предпочитали ограничиться харак. териыми примерами.
Книга состоит из трех частей. Часть 1 является вводной, в ней дается представление о месте численных методов в общем процессе математического моделирования и вычислительного эксперимента, а также рассматриваются на уровне примеров некоторые вычислительные алгоритмы. В части П излагаются традиционные разделы численных методов, такие как прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, интерполирование, численное интегрирование, решение нелинейных уравнений, методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Может возникнуть вопрос, зачем нужно столь подробно излагать методы, для большинства из которых уже давно существует хорошо зарекомендовавшая себя программная реализация? Дело в том, что сознательное использование существующих программ и тем более создание новых улучшенных версий вряд ли возможно без изучения самих методов и связанных с ними теоретических представлений, В части П! рассматриваются разностные методы решения задач математической физики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
