Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы (1989)

ББК 22.19 С17 УДК 519.61075,8) Са и арский А. А., Г улин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов.— Мл Наука. Гл. ред. физ-мат. лиг., 1989.— 432 с.— 1ВВ1т1 6.02-013996-3. Излагаются основные принципы построения и исследования численных методов решения на ЭВМ различных классов математических задач. Наряду с традиционными разделами, такими как интерполирование, численное интегрирование, методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, большое место в книге занимают разностные методы для уравнений в частных производных и итерационные методы решения сеточных уравнений. Для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика» н «Физикал, а также для широкого круга специалистов, применяющих ЭВМ для научных расчетов.

Табл. 2. Ил. 16. Библиогр. 46 иазв. Рецензент доктор физико.математических наук А. А. Абрамов 1602!20000 — 046 С 62-89 063(02)-89 © Издательство «Нарна». Главная реланчня фнзнно-математннесноа лнтературы, !ЗЗЗ 15ВХ 5-02-013996-3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Э 1. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент 1. Схема вычислительного эксперимента (П), 2.

Вычислительнмй алгоритм 62). 3. Требования к вычислительным методам (14). 6 2. Погрешности округления 1. Представление вещественных чисел в ЭВМ (16). 2. Округление чисел в ЭВМ (17). 3. Накопление погрешностей округления (19). 4. Ревностные уравнения первого порядка (20). 5. Оценки погрешностей округления (22) Э 3. Разностные уравнения второго порядна 1. Задача Коши и краевые задачи для разностных уравнений (25). 2. Однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (26). 3. Однородное разностное уравнение второго порядка с переменными коэф. фициснтами (23). 4.

Неоднородное ревностное уравнение второго порядка (31). $4. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений 1. Сетки и сеточные функции (34). 2. Разностная краевая задача (35). 3. Некоторые разностные тождества (33). 4. Разностнан задача на собственные значения (39). 5. Свойства собственных значений н собственных функций (41). 6. Разрешимость и сходимасть ревностной задачи (43). 7. Метод прогонки (45).

26 ЧАСТЬ П ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА $ 1. Метод Гаусса численного решения систем линейных алгебраических уравнений 1. Основная идея методе (49). 2. Расчетные 4юрмулы (51). 3. Подсчет числа действий (53). $2. Условия применимости метода Гаусса 1. Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители (54). 2. Теорема об Ь()-разложении (55). 3. Элементарные треугольные матрицы (53).

б 3. Метод Гаусса с выбором главного элемента )..основная идея метода (60). 2. Матрицы перестановок (61). 3 Пример (62). 4. Общий вывод (65). 5. Доказательство теоремы 1 (66). 6. Вычисление определителя (671. 6 4. Обращение матрицы $ 6. Метод квадратного корня 1. факторизация эрмитовой матрицы (69).

2. Пример (70). 3. Общие расчетные формулы (71). 4. Подсчет числа действий (72). $6. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений 1. Устойчивость системм линейных алгебраических уравнений (74). 2. Число обусловленности <76). 3. Полная оценка относительной погрешности (77). 4. Влияние погрешностей округления при -решении систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (79), 60 68 69 14 3 Г л а в а 1. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений . . .

, . . . . . . , . . . . . . . 48 Гл а в а 2. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений $1. Примеры н каноинчесний вид итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений 1. Итерационные методы Якоби и Зейделя (82). 2. Матричная запись методов Якоби и Зейделя (83).

3. Каноническая форма одношаговмх итерационных методов (84). 9 2. Исследование сходимостн итерационных методов 6 3. Необходимое и достаточное условие сходимостн стационарных итера. циоиных методов 1. Введение (90). 2. Норма матрицы (91). 3. Теорема а сходнмости итерационного метода (92). 4. Продолжение доказательства (93). $4.

Оценки скорости сходимости стационарных итерационных методов 1. Скорость сходимостн итерационного метода (9о). 2. Оценки скорости сходи. люсти в случае симметричных матриц А и В (96). 3. Правила действий с матричными неравенствами (98). 4. Доказательство теоремы 1 (100). 5. Оценка погрешности в случае несимметричной матрицы В (102). 9 5. Многочлены Чебышева 1.

Миогочлен Чебышева на отрезке ! — 1, Ц (103). 2. Случай произвольного отрезка (105). 3. Другая нормировка многочленав Чебышева (106). 4. Примеры применения многочленов Чебышева (107). $6. Итерационные методы с чебышевскнм набором параметров 1. Явный итерационный метод (109). 2. Численная устойчивость итерационного метода с чебышевским набором параметров (112). 3. Неявный чебышевский нтеоационнмй метод (113).

4. Случай, когда точные границы спектра неизвестны (1 14). $7. Итерационные методы вариационного типа 1. Метод минимальных невязок (116). 2. Метод минимальных поправок (П8). 3. Метод скорейшего спуска (119). 4. Метод сопряженных градиентов (120). 5. Минимизация погрешности (121). 6. Выбор итерационных параметров в методе сопряженных градиентов (!22).

7 Оценка погрешности в методе сопряженных градиентов (126). 82 82 86 90 95 103 109 115 Г л а в а 3. Интерполирование и приближение функций 4 1. Интерполирование алгебраическими многочленами 1. Ннтерполяционная формула Лагранжа (127). 2, Ннтерпаляциониая формула Ньютона (129). 9 2. Погрешность интерполирования 1. Остаточный член иитерполяциониой формулы (132).

2. Оптимальный выбор узлов интерполирования (134). 3. О сходимости интерполяциониога процесса (134). 9 3. Интерполирование с кратными узлами 1. Ннтерполяционимй многочлен Эрмита (136). 2. Пример (138). 2 4. Интерполирование сплайнами 1. Построение кубического сплайна (!41). 2. Сходимасть процесса интерполнро. алиня кубическими сплайнамн (143). $5. Другие постановки задач интерполирования и приближения функций 1.

Примеры (148). 2. Общая постановка задачи интерполирования (151). 3. Наилучшее приближение функции, заданной табличио (152). 4. Сглаживание сетачнык функций 054). 9 6. Наилучшие приближения в гнльбертовом пространстве 1. Постановка задачи (156). 2. Сведение к алгебраической задаче о минимуме квадратичного функционала (157).

3. Следствия (159). Г л а в а 4 Численное интегрирование и дифференцирование $1. Примеры формул численного интегрирования 1. Введение (161). 2. Формула прямоугольников (162). 3. Формула трапеций (164). 4. Формула Симпсона (165). 5. Апостериориая оценка погрешности метадом Рунге. Автоматический выбор шага интегрирования (168). 6. Экстраполяция Ричардсона (169). 6 2. Квадратурные формулы интерполяцнонного типа 1.

Вывоп формул (172). 2. Оцев«а погрешности (174). 3, Симметричные формулы (175). 4. Формулы Ньютона — Катеса. Численная устойчивость квадратуриых формул (178). $3. Метод Гаусса вычисления определенных интегралов 1. Постановка запачи (180). 2. Основная теорема (181). 3. Существование и единственность квадратурных формул наивысшей алгебраической степени точности (183). 4. Свойства квадратурных форчул Гаусса (184). 5. Частный случай формул Гаусса (185). 127 127 132 136 140 148 156 161 161 172 180 Гл а в а 5, Решение нелинейных уравнений н систем уравнемий $1.

Примеры итерационных методов решения нелинейных уравнений !. Введение (190). 2. Метод простой итерации (19!). 3. Метод Ньютона (193). 4 Метод секущих (194) 5. Интерполяциоиные методы (194). 6. Использование обратной интерполяции (195). $2. Сходимость метола простой итерации 1. Теорема о сходнмости (195). 2. Метод Эйткена ускорения сходимасти (198).

$3. Сходимость ме~ода Ньютона 1 Простой вещественный порень (199). 2. Кратные корни (202). 3. Односторонние приближения (203). 4 Комплексный корень (205). $4. Итерационные методы для систем нелинейных уравнений 1. Общие понятия (207). 2. Сходимость стационарного метода (208). 3. Примеры итерационных методов (2И). 190 190 195 199 207 Гл а в а б.

Численные методы решения задачи Коши для обыкмовенмых дифференциальных уравнений $ !. Исходная задача и примеры численных методов ее решения 1. Постановка исходной задачи (2!4). 2. Примеры численных методов (214). б 2. Методы Рунге — Кутта 1 Общая форму нр нка методов. Семейство метолон второго порядн (218) 2. Доказательство сходимости (221).

3. Методы третьего порядка точности (224). 4. Методы четвертого порядка точности (226). $ 3. Многошаговые разностные методы 1. Формулировка методов (230). 2 Погрешность аппроксимации мяогошаговмх методов (231). 3. Устойчивость и скодимость разностнмх методов (233).