Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 71

Пусть теперь АВСР— квадратная фундаментальная область группы переносных движений (г) в плоскости Е, которая соответствует группе (г). Пусть А'В'С'Р' есть образ квадрата АВСР при отображении Т. Тогда А'В'С'0' также должны образовать основной параллелограмм группы (1). Отображение тора л тогда и только тогда представляет деформацию, когда АВСР может быть приведена переносным движением в А'В'С'0'. Остальные классы отображений тора соответствуют другим формам, которые может иметь образующий параллелограмм решетки (рис. 39, с. 40), а также вращениям и зеркальным отображениям квадрата АВСР в себя ').

Понятие универсальной накрывающей может быть определено для всех поверхностей, Для замкнутых ориентируемых поверхностей можно получить универсальные накрывающие, если прикладывать 4р-угольники таким же образом, как мы это сделали с квадратами для тора. Однако для случая р ) 1 уже нельзя наглядно представить фундаментальную группу при помощи евклидовой группы переносных движений. Но можно представить фундаментальную группу при помощи гиперболической группы смещений, а 4р-угольники — при помощи ее фундаментальных областей (рис.

249, с. 259), и рис, 286, с. 299, для случая р = 2). В случае поверхностей с границей мы приходим к группам переносов или смещений с незамкнутой фундаментальной областью. Для неорнентируемых поверхностей необходимо при метрическом осуществлении фундаментальной группы добавить также евклидовы н гиперболические зеркальные преобразования к переносным движениям и сдвигам. 5 50. Конформиое отображение тора В $ 39 мы поставили вопрос о том, можно лн некоторую поверхность конформно отобразить на самое себя или на другуго ') Если определить решетку как совокупность точек с пелочислеииыми координатами в декартовой системе и если привести точку А' при помощи переиосиого движения в совпадение с началом координат, то параллелограмм А'В'С'Р' определяется координатами а, Ь точки В и координатами с, гГ точки С.

Чтобы охарактериэовать все классы отображений тора, иеоб. ходимо подставлять вместо а, Ь, с, гГ все пелые числа, удоалетворяюгдпе условию ао — Ьс ~1. 328 гл. ть топология поверхность и сколькими способами можно осуществить такое отображение. Там мы ограничивались такими поверхностями, которые топологически эквивалентны кругу, или сфере, или внутренности круга. Понятие универсальной накрывающей поверхности позволяет рассмотреть этот вопрос и для всех других поверхностей, Мы ограничимся тем, что будем искать все конформные отображения тора иа другой тор или на тот же самый, Для других поверхностей мы можем достигнуть цели при помощи тех же методов, как и в случае тора, но в случае тора этн методы оказываются более наглядными.

Здесь и далее мы будем называть тором не только поверхность вращения, образованную окружностью, вращающейся вокруг оси, лежащей в ее плоскости, но не пересекающей ее, но и всякую поверхность, топологически эквивалентную этой. Согласно днзъюнкции, упомянутой в 5 39, всякая поверхность, топологически соответствующая внутренности круга, илн, что то же самое, евклидовой плоскости, может быть конформно отображена либо на гиперболическую, либо на евклидову плоскость. Эту теорему мы можем применить к универсальной поверхности наложения У тора Т, так как эта поверхность удов.летворяет условиям теоремы, Пусть, таким образом, поверхность 0 конформно отображена на плоскость Е, причем мы оставляем сначала открытым вопрос о том, является ли Е евклидовой или гиперболической плоскостью.

Фундаментальная группа (() есть группа конформных отображений поверхности С/ на себя, так как эти отображения преобразуют всякую частичную область поверхности 0 в конгруэнтную область. Таким образом группе (() при конформном отображении У вЂ” «Е должна соответствовать группа (() конформных отображений плоскости Е. Но все конформные отображения плоскости Е на себя известны, Это в гиперболические движения в случае, если Š— гиперболическая плоскость, и евклидовы движения и преобразования подобия, если Š— евклидова плоскость (с. 269). Кроме того, относительно группы (() известно, что она имеет определенное сходство с евклидовой федоровской группой переносов; в самом деле, за исключением тождественного преобразования все отображения группы (1) не имеют неподвижных точек, и группа обладает четырехугольной фундаментальной областью.

Если бы Е была гиперболической плоскостью, то группа (~) должна была бы быть дискретной группой сдвигов с конечной фундаментальной областью, а мы уже выяснили ранее, что фундаментальные области этих групп имеют по крайней мере восемь вершин. Поэтому остается предположить, что Е представляет евклидову плоскость, Можно очень просто доказать, что всякое евклидово преобразование подобия, отличное от движения, пмссг неподвижную точку. Таким 5 ее. конФОРмное ОтОБРАжение ТОРА 329 образом группа (1) должна содержать кроме тождественного преобразования только движения, не имеющие неподвижных точек, т. е. переносы. Так как, кроме того, группа (() дискретна и имеет конечную фундаментальную область, то она должна представлять группу переносов, рассмотренную нами на с.

79, Пусть теперь аналогичное рассмотрение проведено для какого-нибудь другого тора Т', пусть 0' — универсальная накрывающая для Т'; пусть фундаментальная группа тора Т' при конформном отображении У' — «Е переходит в федоровскую группу переносов (Е) плоскости Е. Мы уже упоминали, что всякое отображение тора на самого себя может быть дополнено до отображения накрывающей поверхности. Точно так же для всякого конформного отображения Т- Т' можно определить конформное отображение 0 — «О' так, что соответствующие точки У и У' всегда будут налагаться на соответствующие точки Т и Т'. При помощи отображений 0 — «Е и 0'- Е отображение У вЂ” «У' переводится в конформное отображение а плоскости Е на себя.Отображение а должно представлять евклидово движение или преобразование подобия, но, кроме того, оно должно переводить группу переносов (() в группу (Е).

Таким образом мы показали, что тор Т только тогда может быть конформно отображен на тор Т', когда группы (Г) и (Е) переводятся одна в другую при помощи преобразования подобия или при движении. Это условие можно выразить в более наглядной форме. Пусть переносное движение 11 есть кратчайшее среди движений группы (г) и пусть 1А — опять-таки кратчайшее из переносных движений группы (г), не параллельных переносному движению (ь Пусть гл — отношение длин — и, значит, т ~ 1; 3 и сгь а — угол между этими переносными движениями.

Для того чтобы а было однозначно определено, достаточно потребовать, чтобы было 0 ( а ~ (—. Подобным же образом можно приписать группе (Е) даа числа и' и а'. Теперь, для того чтобы гоуппу (г) можно было перевести в группу (Е) при помощи преобразования подобия, необходимы и достаточны условия: т = = гп' и а = я' (простое доказательство этого предоставляем провести читателю).

Таким образом мы можем приписать всякому тору Т два числа т, а, так что Т может быть конформно отображен только на те поверхности тора, для которых оба эти числа имеют то же значение, как для Т. Эту пару чисел (или другую пару, которая может быть поставлена во взаимно однозначное соответствие с этой) называют модулями тора. Для того чтобы было возможно конформное отображение поверхностей двух торов Т и Т', совпадение модулей не только необходимо, но н достаточно. В самом деле, когда имеется пре- ГЛ. ЧЬ ТОПОЛОГИЯ образование подобия или движение а плоскости в себе, переводящее группу (1) в группу (1'), тогда, как легко видеть, принадлежащее к а конформное отображение 0- У' определяет конформное отображение Т- Т', отображение 0-~-0' переводит покрывающие друг друга точки поверхности У и только эти точки всегда в покрывающие друг друга точки аоверхности У'.

Подводя 'итоги, мы можем сказать, что поверхности тора в смысле конформного отображения образуют семейство с двумя параметрами. Если пространственный образ тора не имеет никакой особой правильности, то значение обоих модулей нельзя наглядным образом получить из вида тора; если же тор Т представляет поверхность вращения, то (1) всегда имеет прямоугольную фундаментальную область и потому следует положить а= — . 2' В этом случае отображение У- Е может быть задано явно.

Оно переводит ортогональную сеть меридианов н параллелей в два ортогональных семейства параллельных прямых на плоскости Е. Если в частности Т есть поверхность вращения, образованная окружностью, то отношение т сторон прямоугольной фундаментальной области (1) может зависеть только от отношения ра. диусов меридионального круга и «оси». Поэтому два круговых тора могут в том и только в том случае быть конформно отображены один на другой, если они подобны. В четырехмерном пространстве можно задать поверхность тора так, что для нее поверхность У может быть отображена на эвклидову плоскость даже с сохранением длин (см. добавление 2). Теперь легко обозреть все способы конформного отображения некоторого тора Т на самое себя.

Группа (А) этих отображений должна соответствовать группе (1) движений или преобразований подобия в плоскости Е, которые переводят (1) в самого себя. Группа (1), очевидно, охватывает все переносные движения плоскости Е в самой себе. Эти движения, вообще говоря„ исчерпывают группу (1). Если же группа (1) имеет особенную правильность, например обладает квадратной фундаментальной областью, то группа (1) может содержать также вращения и зеркальные отражения.

Способ, который мы привели для тора, можно перенести также и на все другие классы поверхностей. Однако в большинстве случаев поверхность наложения конформно отображается не на эвклидову плоскость, как в случае тора, а на гиперболическую плоскость; так происходит, например, у всех ориентируемых замкнутых поверхностей рода р ~ 1. В этих случаях мы приходим к группам сдвигов и конформное отображение двух поверхностей зависит От того, могут ли быть соответствующие 33~ авь ЗАЛАЧИ О СОСНЛННХ ОБЛАСТЯХ группы сдвигов переведены друг в друга путем гиперболического движения.