Гильберт, Кон-Фоссен - Наглядная геометрия (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 74

Напротив, в пространстве Е4 существуют поверхности, изометричные плоскости в малом и не являющиеся линейчатыми поверхностями. Дадим пример подобной поверхности Р; она целиком расположена в конечной области и топологически эквивалентна поверхности тора. Эта поверхность Р представляется в параметрической форме очень просто: х~ соз и, хз = соз в, ха = з)п и, хч = з1п о. Линейный элемент поверхности Р есть (а'= ~~'~+ «4+ «хз+ «4- = з1п' и Ыи'+ соз' и дит+ з1пт о й~т+ сов' в г(е' = г(и'+ доз гл. Як топология ЯОБАВлеиия> Таким образом поверхность г" в самом деле изометричиа плоскости с прямоугольными координатами и, о.

Эта поверхность целиком расположена в конечной области, так как все координаты лежат между — 1 и +1. Впрочем можно представить поверхность Р как сечение двух трехмерных гиперцилиидров хт1+ Ал = 1 и х',+ х1 = 1. Все точки поверхности Р можно получить, если заставить и, о в декартовой плоскости координат (и, о) пробегать все точки квадрата со сторонами, параллельными осям и имеющими длину 2п.

Различным внутренним точкам квадрата соответствуют различные точки поверхности г. Наоборот, две граничные точки квадрата представляют одну и ту же точку поверхности Г", если они расположены иа одной и той же прямой и-сопз1, или О-сопз1 на противоположных сторонах квадрата. Следовательно, г" есть поверхность тора, а (и, о)- плоскость есть универсальная поверхность наложения для поверхности Р.

Можно было бы попытаться осуществить евклидову геомет. рию на замкнутых поверхностях, не имеющих вида тора. Оказывается, однако, что для этого можно взять только бутылку Клейна. Но иа замкнутых поверхностях со связностью Ь ~ 3 и только иа них можно осуществить гиперболическую геометрию.

Эллиптическая геометрия не может быть осуществлена ни на какой замкнутой поверхности, кроме шара и проективной плоскости. Этн теоремы можно вывести из дифференциально-геометрической формулы Бонне относительно полной кривизны. ПРЕДМ ЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ Льтнотга Архимеда 136, ЯΠ— Кантора 210 Лк оид неоодвнжимй 235 — полввжиый 236 Лип 60 Бплорчаль !82 Блок призматический 292 Вар»виновное исчисление 192 Варнационные задачи Ю Ветвь гиперболы П Винтовое движепне 91, ЫБ Вращение 63, 233 Гауссова кривизна 195 — 198 Гауссово изображение 176. 132 Геликонд 212.

233 Геолезическое отображение 260 Геомогрия днфференцнальна» 174 — евка~гдова 235 — исчислительная 161-167 — Лобачевского 243 — неевклидова 174, 235, 246 — просктивная !02 — эллиптнческа» 235 †2 Геитаэдр 201 †3 Гипербола 11, 17, 12! Гиперболоид вращения двтполостиый !9 — — однополостиый 19 — двуполостиый 23, 25, 29 — олнополостиый 23, 25, 22. 127 Гиперболы софокусные 13 Г»вару»око»да 277, 278 Гипоциклоида 277 — 731 Главна» нормаль 182 Горвзонт П9 Граикцы поверхности 296 Группа бетти 322 — преобразований 66 Группы движений, дискретные 66 — дискретные гиперболических движений 258 — — федоровские на плоскости 67, ТБ, 96 — — — пространственные 90.

96 — 96 — плоских движений днекретные, их классификация 69-90 сдвигов 258 Движение винтовое 91, Ж вЂ” иле»кое 67 Движения гиперболической плоскости 256, ЖО, %4 .Девятиугольник, одновременно вписаинмй в описанный около самого себя ПТ Дегятиугольник, адновременяо вписанный и описанимй около самого себя 134 Двректрисв гиперболы 35 — 37 — параболы 12, ЭГ Э7 — ттлнпса 35 — 37 Дискретные группы гиперболических дви. женнй %8 — — двкжгний 67 Дифференциальная геометрия пз Додекаэдр 99, 150. !52, 153 Задача Днричле 265 — Дугласа 270 — о красках 333-338 — о нит» 332, 333 — о паркетах 90 — а соседник областях 331, 332 — Плато 269 Задачи варнацнонные 192 — минимальные 215 Закручивание лннейчзтой поверхности 209 — нространствснной кривой 212-214 Зеркальное изображение 9 Изгнбаемость поверхности 229.

230 Изгиба»не поверхности Иб, 232 — 235 Изображение гауссово 176, 182 — зеркальное 9 — сферическое !94, !95. 207, 2!О, 2» Икосаэдр 90, !50. 152. 154 Инверсия 253 — 255, 2Й Ивверсор Поселье 273 Инднкатрнса дюпена !91, 218 — касательных 176. 180 Инднкатрисы сферическое 182, 183 Инцидентиость Ю2, 103, !хз, 127, 239, 240 Исчисление вариацнониое 192 Исчнсхительиая геометрия 161 †1 Касательная 9 — 11, 176, 120 — плоскость 165 Катенонд 192 Качение кривых 275 — ЗЭБ Квадрат элементарный 41 Квадратичная форма 47, 46 Класс отображений Эхг-334 Классификация крнсталлографическпк пространственных движений 91 — 96 Классы «ристаллографических плоскик движений 98 — — проетраиственных групп движений 23 — 97 — — — движений 91 Клюв !76, 1ТТ Колпак скрещенный 316 Кои»ЧесК»е СЕ»сипя !72 — — несобственные 17 ПРЕДМЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ Конус 210 — второго порядка 2) — круговой 16 Конфигурации 102-173 — дэойстаенивьиизарнантные 126 — ЕЬ) 130-118 — (10в) 127 Конфигурация (Ув) 106 — 109 (Вв) 109 Брнаишона — Паскаля 113 — Дезарга 130 — Мебиуса 139 — Рейс 140 — Шлефли 167 — 173 Координаты эллиптические ЗО Крендели 295 Криянзна етарая 183 — геодезическая 212, 221 †2 — плоской крнаой 178 — позеркиостн гзуссоаа 194 †1 — — отрииательная 198 — — положительная М — полная средняя 2% — простраистяеииой кривой 183 — средння %6 Конэнзны глаяиые 187 Кривые второго порядка 17, 18 — на шаре (И вЂ” л-го порядка 32 — олнобережные 305 — параболические 199 — плоские 9, 175-181 постоянной криянзны 180 — ширины 216 — фокальиые 28 — четеертого порядка 32 Кристаллическая реоытка алмаза 62 — — пояарениой соли 63 — — углерода 62, Я Крнсталлографнческне классы %-92, !м Кристаллография 40 Кристаллы, их строение 61 — как правильные точечные системм 60 Круг кривизны 178 КРуги большие 222 Круговые сечения поверхностей второго порядка 26, 27 Кручение просграистяеняой кривой 183 Куб 101.

И — 151 Кубическая решетка с цеитрнрозаиными гранямн 64 Кубооктаэдр 160 лннейчатые поаерхностя второго порядка 135 Линни асимптотические 191 геодезические 191 — кратчайшие 22 — криянзяы !36, %7 — наибольшего подъема 14 — прямейшие 221 — уровня 14 — фронтальные Ж\ Линна аиитоаая 214, 215, 232 — гсрлоза» 2В, 211 стрикцноииая 2В Механизмы пварнирные 272 — — прсстраистяеииые 274 Минимальные задачи 215 Многогранник 289 «ыпуклый %9 простой 289 Мно'Вгранинкп праяильные 26 Модел~ гиперболического параболондп подянжная стержневая 27 — гиперболоида пОдвижная стержиеяая 37 Молекула, ее строение 60 Наименьшее значение квадратичной формы 47 Направления асимптотняескне !% — крияизиы 187 Напраяляющая 23 Неподаижиый аксоид %5 Нормаль глазная 182 — к поаерхностн 1% Нормальные формы поаерхиостей 319 Парабола и, 12, 17, 122 Параболическая точка изолирозаина Параболонд зращеиия КВ Ы вЂ” гиперболический 23 — эллиптический 22 Параллельность 127, 230, 245 Параметры естестяеииые !80, 1% — семейстяа 161 Переаертыаание плоскости %2.

253 Передача зубчатая 287 Перепое параллельный 68 Перспектнаа 119 Пленка мыльная %9 Плоские крнэые У(5 Плоскость 233 — бесконечно удаленная 1% — гиперболическая 243, 245, 255 †2 — евклидова 339 — метрическая 298 нормальная 182 — подяижная 275 — проектняная 1% — соприкасающаяся 181 — спрнмляющая 181 — чяслояая %3 — эллиптическая 238 Плотность упаковки кругов 45 — — шарон 53-60 Площадь сферического треугольника 39Т вЂ” элементарного параллелограмма 4! 1983 Область фундаментальная 71 — — бесконечная 77 Образующие 20, 23 — 25 Окружность 9, 1О Октаздр %-101, Оси подобия 142 — эллнпсоида 21 Острке 176, 177 Ось яиптояая %5 — признаны 183 — мгновенная 285 — псаоротная 91, % Отображение геодезическое %0 — зеркальное 97 — конформное %2 — непрерыяное 261 — пояерхиости топологическое «а себя 330 — 334 — с сохранением длин %0 — — — плошадей 260 — — — УГЛов 262 — топалогическое одной пояерхности нь другую 319 Отрицательная крнаизна 198 ПРЕЕМЕТНЫП УКАЭАТЕЛЬ Поаеркиоств Ю4 винтовые 212, 232 — вращения !%-202, 2!9, %3 ВГОРОГО порядка 20 — 33 каналов ЭЮ лниейчатые 23, 208-2!Π— минимальные 19! — 1%, Юб, 227, 2%, %9, 270 — неориеитируемые 305, 301-311, 321 — односторонние 301 †3 ориентнруемые 306, 320.