Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия (7-е изд., 2004), страница 8

В случае, когда определитель системы А ~ О, это тривиальное решение является единственным (в силу п. 6). Докажем, что в случае, когда определитель б равен нулю, однородная система (Д1.32) имеет бесчисленное множество реьиений. Если все определители второго порядка, которые можно составить из матрицы а, Ь, с, а, (Д1.33) а, Ь, с, равны нулю, то в силу утверждения из п. 1 соответствуюшие коэффициенты всех трех уравнений (Д1.32) пропорциональны.

Но тогда второе и Для того чтобы получить решение в виде, симметричном относительно всех неизвестных х, у и г, положим ( = г/Сз (отметим, что в силу (Д1.27) определитель С, отличен от нуля). Поскольку г может принимать любые значения, то и новая переменная ( может принимать любые значения. Мы приходим к выводу, что в случае, когда определитель (Д1.27) отличен от нуля, однородная система (Д1.25) имеет бесчисленное множество решении, определяемых формулами дополнаниа к гллвк ~ третье уравнения (Д1,32) являются следствиями первого и могут быть отброшены, а одно уравнение а,х+ Ь,у+ с,г = О, как уже отмечалось в предыдущем пункте, имеет бесчисленное множество решений. Остается рассмотреть случай, когда хотя бы один минор матрицы (Д1.33) отличен от нуля. Так как порядок следования уравнений и неизвестных находится в нашем распоряжении, то, не ограничивая общности, мы можем считать, что отличен от нуля определитель (Д1.27).

Но тогда, как установлено в предыдущем пункте, система п е р в ы х д в у х уравнений (Д1.32) имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулами (Д1.31) (при любом 1). Остается доказать, что х, у и г, определяемые формулами (Д1.31) (при любом 1), обращают в тождество и третье уравнение (Д1.32). Подставляя в левую часть третьего уравнения (Д1.32) х, у и г, определяемые формулами (Д1.31), будем иметь азх+ ЬзУ+ сзг = (азАз+ ЬзВз + сзСз) 1 = ~ ' Г Мы воспользовались тем, что в силу свойства 9 выражение в круглых скобках равно определителю Л системы (Д! .32).

Но определитель Л по условию равен нулю, и поэтому при любом ( мы получим азх+ Ьзу+ сзг = О. Итак, доказано, что однородная система (Д!.32) с определителем А равным нулю, имеет бесчисленное множество решений. Если отличен от нуля минор (Д1.27), то эти решения определяются формулами (Д1.31) при произвольно взятом Е Полученный результат можно сформулировать еще и так: однородная система (Д1.32) имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, когда определитель ее равен нулю. 9. Неоднородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными с определителем, равным нулю. Теперь мы располагаем аппаратом для рассмотрения неоднородной системы (Д1.19) с определителем А равным нулю.

Могут представиться д в а с л у ч а я: а) хотя бы один из определителей Л„Л, или Л, отличен от нуля; б) все три определителя Л„Л, и Л, равны нулю. В случае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (Д1. 23), т. е, система (Д! .23) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и исходная система (Д1.19) (следствием которой является система (Д1.23)). Переходим к рассмотрению случая б), т. е. случая, когда все четыре определителя т1, Л„Л, и Л„равны нулю. Начнем с примера, показывающего, что в этом случае система может не иметь ни одного решения. Рассмотрим систему х+у+г=1, 2х+ 2у+ 2г = 3, Зх+ Зу + Зг = 4.

СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ло !Гл ! Ясно, что эта система не имеет решений. В самом деле, если бы решение хо, уо, го существовало, то из первых двух уравнений мы получили бы хо+ уо+ го — — 1, 2хо+ 2уо+ 2го = 3, а отсюда, умножая первое равенство на 2, получили бы, что 2 = 3. Далее, очевидно, что все четыре определителя Л, Л„, Л„и Л, равны нулю.

В самом деле, определитель 1 ! 1 2 2 2 3 3 3 имеет три одинаковых столбца, определители Л,, Л„и Л, получаются путем замены одного из этих столбцов свободными членами и, стало быть, имеют по два одинаков«лх столбца. В силу своиства 3 все эти определители равны нулю. Докажем теперь, что если система (Д1.19) с определителем Л, равнььи нулю, имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесчисленное м нозкество различных решений. Предположим, что указанная система имеет решение хо, уо, го. Тогда справедливы тождества а!хо+ Ь!Уо+ с!го = Ь! а2хо+ Ь2УО+ с2го Ьз азхо+ Ьзуо+ сзго = "з. (Д1.34) Вычитая почленно из уравнений (Д1.19) тождества (Д1. 34), получим сис- тему уравнений: а,(х — хо) + Ь,(у — уо) + с>(г — го) = О, а2(х — хо) + Ь2(у — уо) ж сз(г — го) = О, аз(х — хо) + Ьз(у уо) + сз(г — го) = О, (Д1.35) .к=хо «Аз! У=уо+Взй а=гол-Сз! (! принимает любые значения).

Рассматриваемое утверждение доказано, и мы можем сделать следующее заключение: ее~!и Л=Л,=Л„=Л,=О, то неоднородная система эквивалентную системе (Д1.19). Но система (Д1.35) является однородной системой трех линейных уравнений относительно трех неизвестных (х — хо) (У вЂ” ухо) и (г — го) с определителем Л, равным нулю. Согласно п. 8 последняя система (а стало быть, и система (Д1.19)) имеет бесчисленное множество решений. Например, в случае, когда отличен от нуля минор (Д1,27), мы с помощью формул (Д1.31) получим следующее бесконечное множество решений системы (Д1.19): 41 ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ ! 1Д!.19) либо совсем не имеет решений, либо имеет их бесконечное множество. В качестве примеров предлатаем читателю рассмотреть следующие три системы: и убедиться в том, что п е р в а я система имеет единственное решение х=1, у= 1, г = 1 1для иее о=ст,=б,=б,=ЗЗ), вторая система ие имеет решений(для неера=О, бт — — 1), а т р е т ь я система имеет бесчисленное множество решений (для нее Л = Л, = Л, = Л, = О), определяемых при произвольном 1 формулами: х = 1, у = Д г = — й х+2у+г=4, Зх-бу4-Зг = 1, 2х+7у — г = 8, хч-у+г = 2, Зх+ 2у+ 2г = 1, 4х+ Зу+ Зг = 4, хч-уч-г = 1, 2х+у+г=2, Зх+ 2у+ 2г = 3, ГЛАВА 2 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В этой главе изучаются векторные величины (или просто векторы), т.е.

такие величины, которые, кроме своего численного значения, характеризуются еше направленностью. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила. В главе изучаются простейшие операции над векторами (сложение векторов, умножение векторов на число), вводится понятие линейной зависимости векторов и рассматриваются основные приложения этого понятия, изучаются различные типы произведений векторов, актуальные для физических приложений (скалярное и векторное произведение двух векторов, смешанное и двойное векторное произведение трех векторов).

ф 1. Понятие вектора и линейные операции над векторами 1. Понятие вектора. Абстрагируясь от конкретных свойств встречающихся в природе физических векторных величин, мы приходим к понятию геометрического вектора, или просто вектора. Геом е три чес к им вектором (или простовектором)будем назьчеать направленный отрезок. Мы будем обозначать вектор либо как направленный отрезок символом АВ, где точки А и В обозначают соответственно начало и конец Г данного направленного отрезка (вектора), либо ода ной жирной латинской буквой, например а или Ь. На чертеже будем изображать вектор стрелкой, причем латинскую букву, обозначающую этот вектор, будем Рис, 2Л писать у его конца (рис.

2.! ). Начало вектора называют точкой его приложения. Если точка А является началом вектора а, то мы будем говорить, что вектор а приложен в точке А. Для обозначения длины вектора будем пользоваться символом модуля (или абсолютной величины). Так, ~ АВ ~ и ~ а ~ обозначают длины векторов АВ и а соответственно. 43 линеиные Оперлции нлд Векторлми Вектор называется н у л е е ы м, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Это позволяет при записи отождествлять нулевой вектор с вещественным числом нуль.

Введем важное понятие коллинеарности векторов. Векторы называются к о л л и н е а р н ы м и, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Теперь можно сформулировать понятие р а в е н с т в а д в у х в е к т о р о в: деа вектора называются равными, если они коллинеарны, т. е.

имеют одинаковую длину и одина-,га новое направление. Все нулевые векторы счита- „Г ются разными. На рис. 2.2 изображены слева неравные, а спраа на равные векторы а и Ь. Из определения равенства векторов непосредственно вытекает следуюгцее утверждение: каковы бог ни бьг ги вектор а и точка Р, существует, и притом единственный, вектор РО с началом е точке Р, равный вектору а ). Иными словами, точка приложения данного вектора а может быть еьгбрана произвольно гмы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один из другого параллельным переносом). В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют сеободньгми (они определены с точностью до точки приложения) ). 2. Линейные операции над векторами.

Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа. Сначала определим операцию сложения двух векторов. Определение!. Сумм ой ач-Ь двух векторов а и Ь называется вектор, идущий из начала вектора а е конец вектора Ь при условии, что вектор Ь приложен к канну вектора а. ) В самом леле. существует липгь одна прямая, проходящая через точку Р и параллельная тои праман, на которои лежит вектор а. На указаннои праман существует единственная точка Ь) такая, что отрезок Рс) имеет длину, равную длине вектора а. и направлен в туже сторону, что и вектор а.

) В механике и физике, кроме сэободнэгх векторов, иногда рассматривают схольэяпгпе и связанные векторы Скользящими называют такие векторы, которые считаются эквивалентными, если они гге только равны, но и лежат на олнои прямои. Примером скользящего вектора может служить сила, приложенная к абсолютно твердому телу (известно, что две силы, равные и расположенные на одной прямои, оказывают на абсолютно тверлое тело олинаковое механическое воздействие>. Саяэаинымп ггазываются такие векторы, которые считаются эквивалентными, если они не только равны. но и иыеют общее начало Примером связанного вектора может служить сила, приложенная к некоторой точке нетверлого гнапример, упругого) тела.

Векторнля ллгеврл ~ГЛ 2 Правило сложения двух векторов, содержащееся в этом определении, обычно называют правилом треугольника. Это название объясняется тем, что в соответствии с указанным правилом слагаемые векторы а и Ь (в случае, если они не коллинеарны) и их сумма а+ Ь образуют треугольник (рис. 2.3). Правило сложения векторов обладает теми же самыми четырьмя свойствами, что и правило сложения вещественных (или рациональных) чисел ): 1' а+ Ь = Ь+ а (пгргместитгльног свойство); 2' (а+ Ь) + с = а+ (Ь+ с) (сочгтательное свойство); 3' существует нулевой вектор О такой, что а + О = а для любого вектора а (особая роль нулевого вектора); 4' для каждого вектора а суи(ествугт противоположный ему вектор а' такой, что а ма'=О.